Korrektheit und Vollst¨andigkeit von F0

Korrektheit und Vollst¨andigkeit von F

Frage:Lassen sich alle Tautologien als Theoreme in System F0 herleiten?

Satz 2.14 (Korrektheit und Vollst¨andigkeit von F₀) Sei A∈F0 eine Formel der Aussagenlogik.

a) Korrektheit: Gilt⊢F0 A, dann auch|=A

d.h. jedes Theorem in T(F0) ist eine Tautologie.

b) Vollst¨andigkeit: Gilt|=A, dann auch⊢F0 A

d.h. alle Tautologien lassen sich inF0 herleiten.

Korrektheit und Vollst¨andigkeit von F

(Fort.)

Als Hilfsmittel dient:

Lemma 2.15

Seien A∈F₀ und p₁, . . . ,p_n, n >0,die in A vorkommenden Aussagevariablen. Sei ψ eine Belegung. Mit

P_i :=

p_i, falls Bψ(p_i) = 1

¬p_i, falls Bψ(p_i) = 0 A^′ :=

A, falls Bψ(A) = 1

¬A, falls Bψ(A) = 0 gilt P₁, . . . ,P_n⊢A^′.

Folgerung

Folgerung 2.16 Sei Σ⊆F₀,A∈F₀.

Σ⊢F0A gilt genau dann, wenn Σ|=A gilt.

Σist genau dann konsistent, wenn Σerf¨ullbar ist.

IstΣ endlich und A∈F₀, dann istΣ⊢F0A entscheidbar.

Beweis der Folgerung

Beweis:

1. Aussage:

Σ⊢F0 A

⇐⇒2.8 Es gibtA₁, . . . ,A_n∈Σ mit A₁, . . . ,A_n⊢F0 A D.T.⇐⇒ Es gibtA1, . . . ,An∈Σ mit

⊢F0 (A1→(A2 →. . .(An→A). . .))

⇐⇒2.14 Es gibtA₁, . . . ,A_n∈Σ mit

|= (A₁→(A₂→. . .(A_n→A). . .)) D.T.⇐⇒ Es gibtA₁, . . . ,A_n∈Σ mit A₁, . . . ,A_n|=A

⇐⇒K.S.Σ|=A

Beweis der Folgerung (Fort.)

Beweis:

2. Aussage:

Σ ist konsistent

⇐⇒ Es gibt kein Amit Σ⊢Aund Σ⊢ ¬A

⇐⇒ Es gibt kein Amit Σ|=Aund Σ|=¬A

⇐⇒ Σ ist erf¨ullbar (Lemma 1.11(c)).

3. Aussage:

Sei also Σ endlich:

Σ⊢F0 Aist entscheidbar

⇐⇒ Σ|=A ist entscheidbar

⇐⇒ Die endlich vielen Belegungen, die Σ erf¨ullen, lassen sich berechnen

Sequenzenkalk¨ul

Es gibt weitere korrekte und vollst¨andige deduktive Systeme f¨ur die Aussagenlogik. Das folgende System geht aufGerhard Gentzen

(1909–1945) zur¨uck. Es erleichtert das automatische Finden von Beweisen.

Definition 2.17 (Gentzen-Sequenzenkalk¨ul) Seien Γ,∆⊆F endliche Mengen von Formeln.

Eine Sequenz ist eine Zeichenreihe der Form Γ⊢_G ∆ . Die Menge der Sequenzenbezeichnen wir mitF_G.

Wir betrachten die Sequenzen als spezielle Form von Formeln.

Semantische Interpretation von Sequenzen:

Eine Sequenz Γ⊢G ∆ mit Γ ={A1, . . . ,A_n} und ∆ ={B1, . . . ,B_m} ist allgemeing¨ultig, wenn f¨ur jede Belegungψ gilt:

es gibt einAi ∈Γ mit Bψ(Ai) = 0 oder ein Bj ∈∆ mitBψ(Bj) = 1.

Semantisch entspricht Γ⊢G ∆ also der Formel

(A1∧ · · · ∧An)→(B1∨ · · · ∨Bm).

Sequenzenkalk¨ul (Fort.)

Definition 2.17 (Gentzen-Sequenzenkalk¨ul (Fort.))

Die folgenden Schemata definieren die Axiome des Sequenzenkalk¨uls:

(Ax1) Γ,A⊢G A,∆ (Ax2) Γ,A,¬A⊢G ∆ (Ax3) Γ⊢G A,¬A,∆ Die folgenden Schemata definieren die Regeln des Sequenzenkalk¨uls:

R∧,∨: Γ,A,B ⊢G ∆ Γ,A∧B⊢_G ∆

Γ⊢G A,B,∆ Γ⊢_G A∨B,∆ R_→: Γ,A⊢_G ∆,B

Γ⊢G A→B,∆ Γ⊢_G A,∆ ; Γ,B ⊢_G ∆ Γ,A→B⊢G ∆ R_¬: Γ,A⊢_G ∆

Γ⊢G ¬A,∆ Γ⊢_G A,∆

Γ,¬A⊢G ∆ R_∧′: Γ⊢G A,∆ ; Γ⊢G B,∆

Γ⊢_G A∧B,∆ R : Γ,A⊢G ∆ ; Γ,B ⊢G ∆

Sequenzenkalk¨ul (Fort.)

Eine Sequenz Γ⊢G ∆ heißtherleitbar oderableitbar, falls es eine endliche Folge von Sequenzen Γ1 ⊢_G ∆1, . . . ,Γr ⊢_G ∆r gibt mit Γr ≡Γ, ∆r ≡∆, so dass gilt:

Jedes Γ_j ⊢_G ∆_j mit 1≤j ≤r ist ein Axiom oder geht aus vorangehenden Folgegliedern aufgrund einer Regel hervor.

Satz 2.18

Der Sequenzenkalk¨ul ist

korrekt: WennΓ⊢_G ∆herleitbar ist, gilt Γ|= ∆. vollst¨andig: WennΓ|= ∆ gilt, istΓ⊢G ∆herleitbar.

Dabei ist Γ|= ∆ definiert alsΓ|=W

B∈∆B.

Beispiel

Beispiel 2.19

Es gilt p∨q,¬p∨r ⊢_G q∨r.

Beweis:

q,¬p∨r ⊢q,r Ax1

p,r ⊢q,r Ax1

p,¬p⊢q,r Ax2 p,¬p∨r ⊢q,r R_∨′

p∨q,¬p∨r ⊢q,r R_∨′

p∨q,¬p∨r ⊢q∨r R_∨

Beweise im Sequenzenkalk¨ul werden typischerweise aber nicht als eine Folge von Sequenzen angegeben, sondern bottom-up konstruiert und baumartig notiert (siehe Vorlesung).