Vollst¨andigkeit der Logik geteilten Wissens

Vollst¨ andigkeit der Logik geteilten Wissens

Hans Leiß

LMU M¨unchen, CIS Seminar Geteiltes Wissen

SS 2008

7.5.2008

Inhalt

ModellklassenM_n,M^r_n, . . ., Sprachen L_n,L^C_n, Allgemeing¨ultigkeit

AxiomensystemK_n und G¨ultigkeit vonL_n-Formeln in M_n

Axiomensysteme und G¨ultigkeit vonL_n-Formeln in M^r_n, . . . ,M^rst_n

AxiomensystemK_n^C und G¨ultigkeit vonL^C_n-Formeln inM_n

Anwendung auf das logische Puzzle (mit 2 Kindern)

Sprachen

I L_n(Φ) Sprache mit Formeln

ϕ, ψ::=p(∈Φ)| > | ¬ϕ|(ϕ∧ψ)|K1ϕ|. . .|Knϕ

I L^C_n(Φ) Sprache mit Formeln

ϕ, ψ::=p(∈Φ)| > | ¬ϕ|(ϕ∧ψ)|K₁ϕ|. . .|K_nϕ|Cϕ

Modellklassen

I M_n: Klasse aller Modelle M = (S,K₁, . . . ,K_n, π) mit K_i ⊆S ×S und π:S →Φ→B

I M^rst_n ⊆ M_n: alle K_i sind reflexiv, symmetrisch und transitiv.

G¨ultigkeit:

1. in M gilt ϕ(lokal) in der Welt s, (M,s)|=ϕ, definiert mit Hilfe von

(M,s)|=Kiϕ:⇐⇒ f¨ur alle t mit(s,t)∈ K_i ist (M,t)|=ϕ, 2. in M gilt ϕ(global) in allen Welten,

M |=ϕ :⇐⇒ f¨ur alle s ∈S ist(M,s)|=ϕ, 3. in Mgilt ϕallgemein,

M |=ϕ :⇐⇒ f¨ur alle M ∈ M ist M |=ϕ.

Beachte: wennM⁰ ⊆ M undM |=ϕist, so auchM⁰ |=ϕ.

Bedeutung vonCϕ

I Eϕ:=K1ϕ∧. . .∧Knϕ

I E⁰ϕ:=ϕ,E^k+1ϕ:=E(E^kϕ)

I (M,s)|=Cϕ:⇐⇒ f¨ur alle k ∈N:(M,s)|=E^kϕ Lemma

SeiE :=K₁∪. . .∪ K_n und C:=E⁺ die transitive H¨ulle von E.

(M,s)|=Eϕ ⇐⇒ f¨ur alle t mit(s,t)∈ E ist (M,t)|=ϕ (M,s)|=Cϕ ⇐⇒ f¨ur alle t mit (s,t)∈ C ist(M,t)|=ϕ

EinAxiomensystemist besteht aus einer (effektiv aufz¨ahlbaren) Menge von Aussagen, denAxiomen, und Schlußregeln

ϕ₁, . . . , ϕ_k

ϕ (R).

EinBeweis ist eine Folgeϕ~ von Aussagen, die Axiome sind oder aus vorangehenden Folgengliedern nach einer Schlußegeln hervorgehen.

Das Axiomensystem istkorrekt f¨urM, wenn alle seine Axiome in Mallgemeing¨ultig sind und alle seine Schlußregeln die

Allgemeing¨ultigkeit ¨ubertragen, d.h. f¨ur (R)

M |=ϕ1, . . . ,M |=ϕn=⇒ M |=ϕ

Das Axiomensystem istvollst¨andig f¨urM, wenn jede inM allgemeing¨ultige Aussage ϕeinen Beweis ψϕ~ hat.

AxiomensystemK_n f¨ur die G¨ultigkeit in M_n mit Aussagenϕ, ψ∈ L_n(Φ) und K ∈ {K₁, . . . ,K_n}:

A1. (Tautologie) ϕ,

wennϕ aus einer aussagenlogischen Tautologie entsteht, indem man deren Aussagevariablen durch L_n(Φ)-Aussagen ersetzt

A2. (Distribution) K(ϕ→ψ)→(Kϕ→Kψ) (K)

R1. Modus Ponens: ϕ, (ϕ→ψ)

ψ (MP)

R2. Verallgemeinerung: ϕ Kϕ (KG)

Beispiel eines Beweises, als Baum dargestellt:

(p∧q)→p (A1) K_i((p∧q)→p) (KG)

K_i((p∧q)→p)→(K_i(p∧q)→K_ip) (A2)

K_i(p∧q)→K_ip (MP)

Korrektheit vonK_n bez¨uglich M_n Theorem

Jede in K_n beweisbare Aussage ist allgemeing¨ultig inM_n: Ist Kn`ϕ, so ist M_n|=ϕ.

BeweisDurch Induktion ¨uber die L¨ange eines Beweises von ϕ.

Allgemeing¨ultigkeit der Axiome:

A1: selbst machen.

A2: SeiM ∈ M_n unds ∈S, der Menge aller Welten vonM. Um (M,s)|=K_i(ϕ→ψ)→(K_iϕ→K_iψ)

zu zeigen, sei (M,s)|=K_i(ϕ→ψ) und (M,s)|=K_iϕ. Um (M,s)|=K_iψzu zeigen, sei (s,t)∈ K_i. Nach den Annahmen ist (M,t)|= (ϕ→ψ) und (M,t)|=ϕ, also auch (M,t)|=ψ. Daher giltψ in jeder vons K_i-erreichbaren Welt, d.h. (M,s)|=K_iψ.

Korrektheit der Schlußregeln:

R1 Da (ϕ∧(ϕ→ψ))→ψdie Einsetzung in eine AL-Tautologie ist, haben wir M |= (ϕ∧(ϕ→ψ))→ψ f¨ur jedes M ∈ M_n. Daraus folgt, daß M |=ψ, wenn M |= (ϕ→ψ) und M |=ϕ gelten. Also ist R1 korrekt.

R2 Sei M |=ϕ. Um M |=Kiϕzu zeigen, sei s ∈S und (s,t)∈ K_i. Daϕ inM global gilt, ist (M,t)|=ϕ; daher (M,s)|=K_iϕ. Das beliebig war, haben wir M |=K_iϕ.

Bem.R1 und R2 sind korrekt f¨ur jedesM ⊆ M_n. Denn um die G¨ultigkeit der Konklusion ϕin einer Welt M zu zeigen, wurde nur die G¨ultigkeit der Pr¨amissenin M benutzt.

Beachte, daß man f¨ur R2 nicht wie f¨ur R1 argumentieren kann: die Aussageϕ→K_iϕist i.a. nicht allgemeing¨ultig. Daher ist auch das Deduktionstheorem der Aussagen- und Pr¨adikatenlogik,

IstΨ∪ {ϕ} `ψ, so ist auch Ψ`ϕ→ψ, f¨ur die AxiomatisierungK_n der Wissenslogik falsch:

I wir haben p`K_ip, aber

I M 6|=p→Kip f¨ur die StrukturM = ({s,t},K_i, π) mit (M,s)|=p, (s,t)∈ K_i, und (M,t)|=¬p.

I wegen der Korrektheit vonK_n ist also6`p→K_ip.

Vollst¨andigkeit von K_n bez¨uglich M_n

Die Vollst¨andigkeit zeigt man indirekt: wennϕnicht beweisbar ist, istϕnicht allgemeing¨ultig, d.h.¬ϕ muß in einem (M,s) wahr sein. Man versucht daher, ausϕein solches (M,s) zu konstruieren.

I Eine Menge F von L-Formeln heißt konsistent, wenn f¨ur jedes endliche E ⊆F die Aussage ¬V

E nicht beweisbar ist¹.

I Ein konsistentes F ⊆ Lheißt maximal konsistent, wenn f¨ur kein ϕ∈ L \F auch F ∪ {ϕ} konsistent ist.

MitF ist auch jede Teilmenge vonF konsistent.

1V∅:=>

Lemma

Sei AX ein Axiomensystem f¨ur eine Sprache L ⊆ L_n(Φ), die unter

¬,∧ abgeschlossen ist.

1. Wenn AX die Axiome A1und die Regel R1 umfaßt, gibt es zu jeder konsistenten Menge F⁰ ⊆ Leine maximal konsistente Obermenge F ⊇F⁰.

2. Ist F ⊆ Lmaximal konsistent, so gelten f¨ur alleϕ, ψ∈ L:

2.1 Es istϕ6∈F genau dann, wenn¬ϕ∈F .

2.2 Es ist(ϕ∧ψ)∈F genau dann, wennϕ∈F undψ∈F . 2.3 Istϕ∈F und(ϕ→ψ)∈F , so istψ∈F .

2.4 Istϕbeweisbar, so istϕ∈F .

Beweis

1. Sei {ψi | i ∈N}eine Aufz¨ahlung aller Formeln von L.

Konstruiere durch F₀ :=F⁰, F_i+1 :=

(F_i ∪ {ψ_i} falls das konsistent ist

F_i sonst.

eine aufsteigende Kette F₀ ⊆F₁ ⊆ · · · ⊆F_i ⊆F_i+1⊆ · · · von konsistenten Formelmengen, und w¨ahle

F :=[

{Fi | i ∈N} ⊇F⁰.

I F ist konsistent: f¨ur jedes endlicheE ⊆F gibt es großei mit E ⊆Fi, und daFi konsistent ist, ist¬VE unbeweisbar.

I F ist maximal konsistent: Angenommen, es g¨abe

ϕ=ψk ∈ L \F, sodaßF∪ {ϕ}konsistent w¨are. Daϕ /∈Fk+1

ist, kannFk∪ {ϕ}nicht konsistent sein, also auchF∪ {ϕ}

nicht, entgegen der Annahme. Also istF maximal konsistent.

2. Wir zeigen nur 2.4: Sei F maximal konsistent undϕ beweisbar. W¨areϕ /∈F, so w¨are nach 2.1¬ϕ∈F. DaF konsistent ist, d¨urfte ¬V

{¬ϕ}, also ¬¬ϕ, nicht beweisbar sein. Aber da ϕbeweisbar und (ϕ→ ¬¬ϕ) eine Tautologie ist, ist mit (MP) auch ¬¬ϕ beweisbar. Also mußϕ /∈F falsch

sein.

Satz

(Vollst¨andigkeitssatz) Jede inM_n allgemeing¨ultige Aussage ist in Kn beweisbar: istM_n|=ϕ, so ist Kn`ϕ.

Beweis(indirekt). Angenommen, ϕsei nicht beweisbar. Mit ϕist auch¬¬ϕnicht beweisbar, also ¬ϕkonsistent.

SeiM^c = (S,K₁, . . . ,K_n, π)∈ M_n diekanonische Struktur mit S := {V | V ⊆ List maximal konsistent (mitK_n)}.

π(V)(p) :=

(true, fallsp∈V, false, sonst.

K_i := {(V,W)∈S×S | V/K_i ⊆W }, mit V/K_i :={ψ | K_iψ∈V }.

InV h¨alt Agent i alleW f¨ur m¨oglich, die Erweiterungen dessen sind, was er lautV weiß.

Durch Induktion ¨uber den Aufbau von ϕsieht man:

F¨ur alle V ∈S gilt: (M^c,V)|=ϕ ⇐⇒ ϕ∈V. (1) DaS einF ⊇ {¬ϕ} enth¨alt, ist (M^c,F)|=¬ϕ, alsoϕnicht allgemeing¨ultig.

F¨urK_iψbetrachten wir die Richtungen von (1) getrennt:

1. Kiψ∈V =⇒ (M^c,V)|=Kiψ:

IstK_iψ∈V und (V,W)∈ K_i, so istψ∈V/K_i ⊆W, und daher induktiv (M^c,W)|=ψ.

2. (M^c,V)|=Kiψ =⇒ Kiψ∈V:

Sei (M^c,V)|=K_iψ. F¨ur jedes (V,W)∈ K_i ist (M,W)|=ψ, also induktiv ψ∈W. Das heißt, jedes maximal konsistente W ⊇V/Ki enth¨altψ; folglich ist V/Ki ∪ {¬ψ}inkonsistent.

Es gibt alsoϕ1, . . . , ϕk ∈V/Ki mit` ¬(ϕ₁∧. . .∧ϕk∧ ¬ψ).

Nach A1 und R1 ist `ϕ1∧. . .∧ϕ_k →ψ und

`ϕ1 →(ϕ2→(. . .→(ϕk →ψ). . .)), und mit R2, A2 und R1 auch

`K_iϕ₁→(K_iϕ₂→(. . .→(K_iϕ_k →K_iψ). . .)).

Nach dem Lemma ist diese Formel inV, und nach Wahl der ϕ_j auch alle K_iϕ_j. MitK_iϕ_j ∈V und (K_iϕ_j →χ)∈V ist aberχ∈V, nach dem Lemma. Es folgt Kiψ∈V.

Axiomensysteme f¨ur die G¨ultigkeit inM ⊆ M_n

F¨ur die Allgemeing¨ultigkeit in gewissen Teilklassen M ⊆ M_n braucht man weitere Axiome.

F¨ur alle ϕ, ψ∈ L_n(Φ) und K ∈ {K₁, . . . ,K_n}:

A3. (Wissen/Wahrheit) Kϕ→ϕ, (T)

A4. (Positive Introspektion) Kϕ→KKϕ (4) A5. (Negative Introspektion) ¬Kϕ→K¬Kϕ, (5)

A6. (Konsistenz) ¬K¬> (D)

A7. (Symmetrie) ϕ→K¬K¬ϕ

Die Axiome h¨angen mit Eigenschaften der Erreichbarkeitsrelationen K_i der Modelle zusammen; diese muß man bei der Konstruktion des kanonischen ModellsM^c sicherstellen.

Satz

Sei Tn das Axiomensystem aus den Axiomen A1, A2, A3, und den Regeln R1 und R2 f¨urL_n-Formeln. Tn ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^r_n⊆ M_n aller Kripke-Strukturen mit reflexiven Erreichbarkeitsrelation.

Beweis: Korrektheit: A3 ist allgemeing¨ultig f¨ur M^r_n: ist M ∈ M^r_n unds ∈S mit (M,s)|=Kiϕ, so ist (M,t)|=ϕf¨ur jedes t mit (s,t)∈ K_i, und daK_i reflexiv ist, gilt das auch f¨ur t =s.

Vollst¨andigkeit: Das kanonische ModellM^c liegt inM^r_n: Zu zeigen ist, daß (V,V)∈ K_i ist f¨ur jedesV ∈S, d.h. daßV/Ki ⊆V oder daß f¨ur jedes K_iϕ∈V auchϕ∈V ist. DaK_iϕ→ϕnach A3 beweisbar ist, liegt es nach Lemma 3 in jedemV vonM^c, und daher mitKiϕ∈V auchϕ∈V, wieder nach Lemma 3.

Satz

Sei S4n (oder KT4n) das Axiomensystem aus den Axiomen A1, A2, A3, A4 und den Regeln R1 und R2 f¨urL_n-Formeln. S4_n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^rt_n ⊆ M_n aller Kripke-Strukturen mit reflexiven transitiven Erreichbarkeitsrelationen.

Beweis:(Korrektheit) Allgemeing¨ultigkeit von A4 f¨urM^rt_n: Sei M ∈ M^rt_n und s ∈S mit (M,s)|=K_iϕ. Ist r∈S von s in zwei K_i-Schritten erreichbar, so auch in einem Schritt, daK_i transitiv ist, also gilt (M,r)|=ϕ. Es folgt (M,s)|=KiKiϕ.

(Vollst¨andigkeit):M^c ∈ M^rt_n, d.h. alleK_i von M^c sind reflexiv und transitiv: Nach dem Beweis des vorigen Satzes istK_i reflexiv.

K_i ist transitiv: Sei (U,V)∈ K_i und (V,W)∈ K_i. Dann ist U/K_i ⊆V und V/K_i ⊆W. Sei K_iϕ∈U. Nach Lemma 3 liegt das AxiomK_iϕ→K_iK_iϕin U und somit auchK_iK_iϕ∈U. Folglich ist Kiϕ∈U/Ki ⊆V, und dannϕ∈V/Ki. DaKiϕ∈U beliebig war, istU/Ki ⊆W gezeigt, und damit (U,W)∈ K_i.

Eine wichtige Teilklasse vonM_n sind die Kripke-Strukturen, wo alleK_i Aquivalenzrelationen sind. Ihre Beziehung zu den Axiomen¨ A5 und A6 wird ¨uber folgende Eigenschaften von Relationen klar.

Eine RelationK ⊆S ×S heißt

I linkstotal, wenn es zu jedems ∈S eint ∈S mit (s,t)∈ K gibt, und

I euklidisch, wenn zu jedem (r,s),(r,t)∈ Kauch (s,t)∈ Kist.

Lemma

F¨ur eine RelationK ⊆S×S sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

1. K ist total, symmetrisch und transitiv.

2. K ist reflexiv, symmetrisch und transitiv.

3. K ist reflexiv und euklidisch.

Satz

Sei S5_n(oder KT45_n) das Axiomensystem aus A1, A2, A3, A4, A5 und den Regeln R1 und R2 f¨ur L_n-Formeln. S5n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^rst_n ⊆ M_n aller Kripke-Strukturen mit reflexiven, symmetrischen und transitiven Erreichbarkeitsrelationen.

A5 entspricht der Eigenschaft “euklidisch”

Satz

Sei KD45_n das Axiomensystem aus den Axiomen A1, A2, A4, A5, A6 und den Regeln R1 und R2 f¨urL_n-Formeln. KD45n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^elt_n aller Kripke-Strukturen, deren Erreichbarkeitsrelationen euklidisch, linkstotal und transitiv sind.

A6 entspricht der Eigenschaft “linkstotal”.

A7 entspricht der Eigenschaft “symmetrisch”.

AxiomensystemK_n^C f¨ur die Allgemeing¨ultigkeit inMn

F¨ur alle ϕ, ψ∈ L^C_n(Φ):

C1. Eϕ↔(K1ϕ∧. . .∧Knϕ)

C2. Cϕ→E(ϕ∧Cϕ)

RC1. (Induktion) ϕ→E(ψ∧ϕ) ϕ→Cψ (Ind) Satz

Seien K_n^C, T_n^C, S4^C_n, S5^C_n und KD45^C_n die Erweiterungen der Axiomensysteme Kn, Tn, S4n, S5n und KD45num die Axiome C1, C2 und die Regel RC1, jeweils f¨urL^C_n(Φ)-Formeln.

1. K_n^C ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM_n. 2. T_n^C ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^r_n. 3. S4^C_n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^rt_n. 4. S5^C_n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^rst_n . 5. KD45^C_n ist korrekt und vollst¨andig f¨ur die KlasseM^elt_n .

Beweis: Betrachte Eϕnur als eine Abk¨urzung und ignoriere C1.

F¨urM = (S,K₁, . . . ,K_n, π)∈ M_n sei

E :=K₁∪. . .∪ K_n und C:=E⁺. 1.aK_n^C ist korrekt f¨ur M_n:

Allgemeing¨ultigkeit von C2, d.h.M_n|=Cϕ→E(ϕ∧Cϕ).

SeiM ∈ M_n unds ∈S mit (M,s)|=Cϕ. Nach Lemma??

bedeutet (M,s)|=Cϕ, daß (M,r)|=ϕf¨ur alle r ∈S mit (s,r)∈ C.

Um (M,s)|=K_i(ϕ∧Cϕ) zu zeigen, seit∈S mit (s,t)∈ K_i. Wegen (s,t)∈ K_i ⊆ C gilt (M,t)|=ϕ. F¨ur jedesr ∈S mit (t,r)∈ C ist (s,r)∈(K_i;C)⊆ C, so daß (M,r)|=ϕund deshalb auch (M,t)|=Cϕgilt.

Daher ist (M,t)|=ϕ∧Cϕ, und folglich (M,s)|=K_i(ϕ∧Cϕ).

Korrektheit der Regel RC1: SeiM_n|=ϕ→E(ψ∧ϕ). Um die Allgemeing¨ultigkeit vonϕ→Cψ zu zeigen, w¨ahle M ∈ M_n und s ∈S mit (M,s)|=ϕ. Mit der Annahme folgt (M,s)|=E(ψ∧ϕ).

Sei (s,t)∈ C =E⁺, mit einemE-Weg der L¨angen≥1. Wir zeigen (M,t)|=ψ durch Induktion ¨uber n. Daraus folgt (M,s)|=Cψ.

F¨urn = 1 ist (s,t)∈ E, also (M,t)|=ψ, da (M,s)|=E(ψ∧ϕ).

F¨urn =m+ 1>2 sei r ∈S mit (s,r)∈ E und (r,t)∈ E^m. Wegen (M,s)|=E(ψ∧ϕ) ist (M,r)|=ϕ, und nach

Induktionsannahme gilt dann (M,t)|=ψ.

1.bK_n^C ist vollst¨andig f¨urM_n:

Wir zeigen, daß es f¨ur jede konsistente Aussage χ∈ L^C_n ein endlichesM_χ∈ M_n und eine Welt s_χ mit (M_χ,s_χ)|=χgibt.

Zuχ∈ L^C_n sei Sub(χ) die Menge der Teilformeln von

{χ} ∪ {Cϕ→E(ϕ∧Cϕ) | Cϕist Teilformel vonχ}, (mitEψ:=Vn

i=1K_iψ), und

Sub⁺(χ) :=Sub(χ)∪ { ¬ψ | ψ∈Sub(χ)}.

Definiere das (endliche!)Mχ:= (S,K₁, . . . ,K_n, π) durch

S := Con(χ) :={V ⊆Sub⁺(χ) | V ist maximal konsistent} K_i := {(V,W)∈S×S | V/K_i ⊆W },

π(V)(p) :=

(1, fallsp ∈V, 0, sonst.

F¨ursχ w¨ahle einV ∈S mitV ⊇ {χ}.

Durch Induktion ¨uber die Teilformelnϕ vonχ zeigt man:

F¨ur alle V ∈S gilt: (M,V)|=ϕ ⇐⇒ ϕ∈V. (2) Wir setzen den Beweis von Satz 1 auf die neuen Formeln fort.

Cψ∈V =⇒(M,V)|=Cψ:

SeiCψ∈V, und (V,W)∈S×S mitV =V₀,W =V_m+1, und Vj/Kij ⊆Vj+1 f¨urj ≤m. DaV maximal konsistent ist, ist das AxiomCψ→E(ψ∧Cψ) inV, also nach Lemma 3 auch E(ψ∧Cψ)∈V und K_i0(ψ∧Cψ)∈V. Folglich sind

ψ,Cψ∈V/K_i0 ⊆V₁. Durch Induktion ¨uberm folgt:ψ,Cψ∈W. DaW maximal konsistent und|ψ|<|Cψ|ist, hat man induktiv nach (2) schon (M,W)|=ψ. Damit ist (M,V)|=Cψ gezeigt.

(M,V)|=Cψ=⇒Cψ∈V:

Sei (M,V)|=Cψ. Es gen¨ugt, eine Aussage ϕzu finden mit

`V

V →ϕ, (3)

`ϕ→Vn

i=1K_i(ψ∧ϕ) (4)

Denn dann ist wegen (4) und RC1 auch

`ϕ→Cψ, also mit (3) auch`V

V →Cψ. W¨are nunCψ /∈V, so w¨are

¬Cψ∈V nach Lemma 3, daher zusammen

`^

V →Cψ∧ ¬Cψ.

Aber dann w¨areV nicht konsistent. Daher muß Cψ∈V sein.

Sei dazuW :={W ∈S | (M,W)|=Cψ} und ϕ:=_

{^

W | W ∈ W }

WegenV ∈ W ist`V

V →ϕ, also (3). Da die Formel in (4) aussagenlogisch ¨aquivalent zur Konjunktion der Formeln in

Beh. : `ϕ→K_i(ψ∧ϕ) f¨uri = 1, . . . ,n. (5) ist, gen¨ugt es, (5) zu zeigen. Dazu behaupten wir:

(i) F¨urW ∈ W ist `V

W →Kiψ.

(ii) F¨urU ∈ W/ ist`V

W →K_i¬V U. (iii) F¨urW ∈ W ist `V

W →K_i(ψ∧V{ ¬V

U | U ∈ W })./ (iv) `ϕ↔V

{ ¬V

U | U ∈ W }./ Aus (iii) und (iv) erh¨alt man `V

W →Ki(ψ∧ϕ) f¨ur alle W ∈ W, daraus (5).

Beweis von (i):

Wegen (M,W)|=Cψ ist auch (M,W)|=K_iψ. Im Beweis von Satz 1 wurde gezeigt, wie daraus

`Kiϕ1 →. . .→Kiϕk →Kiψ

f¨urW/K_i ={ϕ₁, . . . , ϕ_k} folgt. Wegen K_iϕ_j ∈W ist nat¨urlich

`^

W →K_iϕ_j f¨urj = 1, . . . ,k, (6) woraus mit aussagenlogischen Beweisschritten`V

W →K_iψfolgt.

Beweis von (ii):

Wegen (M,W)|=Cψ und (M,U)6|=Cψmuß (W,U)∈ K/ _i sein, alsoW/K_i 6⊆U. Daher gibt es ein K_iϕ_j ∈W mit ϕ_j ∈/ U, also

¬ϕ_j ∈U nach Lemma 3. Also ist

`^

W →Kiϕj und `^

U → ¬ϕ_j. Mit aussagenlogischen Schritten und R2 folgt

`K<sub>i</sub>ϕ<sub>j</sub> →K<sub>i</sub>¬^ U Zusammen ergibt das die Behauptung`V

W →Ki¬V U.

Beweis von (iii):

Das folgt aus (i) und (ii) mit`(K_iϕ∧K_iψ)↔K_i(ϕ∧ψ), wozu man die Distributivit¨at A2 und die Regel R2 braucht.

Beweis von (iv):

Seiϕ:=W{V

U | U ∈ W }/ und σ :=W{V

W | W ∈S}. Da die Formel die Einsetzung in eine Tautologie ist, ist

`σ ↔(ϕ∨ϕ),

F¨urU,W ∈S mit U 6=W istU∪W ⊆Sub(χ)⁺ inkonsistent, also` ¬(V

W ∧V

U). Daraus folgt mit den De Morgan’schen Regeln der Aussagenlogik, daß

` ¬(ϕ∧ϕ).

Wenn wir`σ zeigen k¨onnen, erhalten wir`(ϕ∨ϕ), zusammen also`ϕ↔ ¬ϕ, was AL-¨aquivalent zur Behauptung (iv) ist.

Es bleibt noch zu zeigen, daß`σ. Wegen

`_ {^

W | W ∈S} ↔ ¬^ { ¬^

W | W ∈S}

bedeutet`σ, daß Ψ :={ ¬V

W | W ∈S} inkonsistent ist.

Angenommen, Ψ w¨are konsistent. Bis auf AL-Umformungen ist Ψ eine Menge von Disjunktionen, denn

` ¬^

W ↔_

{ ¬ψ | ψ∈W }.

F¨ur (χ₁∨χ₂)∈Ψ ist Ψ∪ {χ₁} oder Ψ∪ {χ₂}konsistent.

Zu jedemW ∈S gibt es also ein ψW ∈W, so daß Ψ∪ { ¬ψ_W | W ∈S} konsistent ist und

{ ¬ψ_W | W ∈S} ⊆Sub⁺(χ)

zu einem maximal konsistenemV ∈S erweitert werden kann. Aber dann w¨areψ_V ∈V und¬ψ_V ∈V, alsoV inkonsistent. Daher muß

Ψ inkonsistent, alsoσ beweisbar sein.

Beispiel (inK_A,B^C ,ohneAxiomA3 oderCϕ→ϕ)

F¨uri ∈ {A,B} sei pi die Aussage, daß Kindi schmutzig ist.

Aargumentiert intuitiv wie folgt: B weiß nicht, ob p_B, weiß aber, daß (p_A∨p_B). W¨are¬p_A, so w¨ußte B das, also w¨ußteB sogarp_B. Da er das aber nicht weiß, mu߬p_A falsch, also pA wahr sein.

1. Jeder gibt an, nicht zu wissen, ob er schmutzig ist; also ist es geteiltes Wissen, daß niemand weiß, ob er selber schmutzig ist:

C(¬K_Ap_A∧ ¬K_A¬p_A)∧C(¬K_Bp_B ∧ ¬K_B¬p_B), (7) 2. Da alle einander ansehen, ist es geteiltes Wissen, daß jeder

weiß, daß die anderen wissen, ob er schmutzig ist; schw¨acher:

C(¬p_A→K_B¬p_A)∧C(¬p_B →K_A¬p_B). (8) 3. Die Aussage des Vaters macht es zum geteilten Wissen, daß

mindestens ein Kind schmutzig ist: (und macht (7) falsch!)

C(p_A∨p_B) (9)

Wir haben (weil die Zeit ignoriert wurde)

K_A(K_B(p_A∨p_B)) (nach 9) (10) KA(¬p_A →KB¬p_A) (nach 8) (11) K_A(¬p_A →K_Bp_B) (nach 10,11,D) (12) K_A(¬K_Bp_B) (nach 7) (13) K_Ap_A. (nach 12,13) (14) MitK_B stattK_A erh¨alt man Ep_A, analog Ep_B, also E(p_A∧p_B).

IstCϕdie Zusammenfassung von (7) – (9), so wurde

`Cϕ→E(p_A∧p_B) gezeigt. Nach (C 1) istCϕ→E(ϕ∧Cϕ), also

`Cϕ→E((pA∧pB)∧Cϕ), und durch Anwenden von (RC 1) ergibt das

`Cϕ→C(p_A∧p_B).

Literatur:

R.Fagin, J.Y.Halpern, Y.Moses, M.Y.Vardi.

Reasoning about Knowledge. Chapter 3 MIT Press 2003.