Pole und Nullstellen komplexer Funktionen

Übungsaufgaben 15

Pole und Nullstellen komplexer Funktionen

Aufgabe 1. Seiz0 2Cnfi; igein Punkt mitji z0j<j i z0j. Man bestimme jene Koeffizientenak 2 C für k 2 Z, für welche die Laurent-Reihe Pn

kDmak.z z0/^k um den Mittelpunktz0 im Grenzprozeßn! 1undm! 1für jedesz 2Cim

1. Kreisinneren˚

z 2Cj jz z0j<ji z0j , 2. Kreisring˚

z 2 Cj ji z0j<jz z0j<j i z0j , 3. Kreisäußeren˚

z 2Cj j i z0j<jz z0j , jeweils gegen den Grenzwert

s.z/D 2i

.z i/.zCi/

konvergiert! ±

Lösung. 1. Im Teilbruchansatz 2i

.z i/.zCi/ D a

z i C b

zCi

werden die Koeffizientena,b 2Cbestimmt: Es gilt danna.zCi/Cb.z i/D2ifür z 2 C, woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung inz sogleichaCb D0sowie.a b/i D2i, alsoaD1undb D 1ergibt. Daraus folgt die Teilbruchzerlegung

s.z/D 2i

.z i/.zCi/ D 1 z i

1

zCi für allez 2Cn fi; ig:

2. Ums WCnfi; ig !Cin eine Laurent-Reihe um den Punktz0 2Cnfi; igmit 0 < r0 D ji z0j< r1 D j i z0jzu entwickeln, betrachtet man die Darstellungen

s.z/D 1 i z0

i z0

.i z0/ .z z0/

1 iCz0

i z0

. i z0/ .z z0/ fürz 2Cmitjz z0j< r0,

s.z/D 1 z z0

z z0

.z z0/ .i z0/

1 iCz0

i z0

. i z0/ .z z0/ fürz 2Cmitr0 <jz z0j< r1,

s.z/D 1 z z0

z z0

.z z0/ .i z0/

1 z z0

z z0

.z z0/ . i z0/ fürz 2Cmitr1 <jz z0j.

3. Da die geometrische Reihe Pn kD0x^k

für jedes x 2 C mit jxj < 1 gegen die Summe ₁¹_x 2Ckonvergiert, ergibt sich daraus fürz 2Czunächst

s.z/D 1 i z0

1

X

kD0

z z0

i z0

^k

1 iCz0

1

X

kD0

z z0

i z0

^k

fürjz z0j< r0;

s.z/D 1 z z0

1

X

kD0

i z0

z z0

^k

1 iCz0

1

X

kD0

z z0

i z0

^k

fürr0 <jz z0j< r1;

s.z/D 1 z z0

1

X

kD0

i z0

z z0

k

1 z z0

1

X

kD0

i z0

z z0

k

fürr1 <jz z0j: und somit jeweils die Darstellung

s.z/D

1

X

kD0

1

. i z0/^kC1

1 .i z0/^kC1

.z z0/^k fürjz z0j< r0;

s.z/D

1

X

kD1

.i z0/^{k 1} .z z0/^k C

1

X

kD0

.z z0/^k

. i z0/^kC1 fürr0<jz z0j< r1; s.z/D

1

X

kD2

.i z0/^{k 1} . i z0/^{k 1}

.z z0/^k fürr1<jz z0j:

als Laurent-Reihe vons WCn fi; ig !Cum den Mittelpunktz0.

Aufgabe 2. Seien k, ` 2 N mit 0 < k < ` sowie w D Exp _`i

2 C gegeben.

Ferner werden für ein beliebig vorgegebenesr > 1die Wege1,2 WŒ0; r!Csowie 3W

0;²_`

!Cund4 W₂

` ; 2

!Cbetrachtet, die wie folgt definiert sind:

1.t /D.t; 0/ fürt 2Œ0; r; 3.t /DrExp.it / fürt 2 0;²_`

; 2.t /Dt w² fürt 2Œ0; r; 4.t /DrExp.it / fürt 2 ₂

` ; 2 : Man werte das Integral

Z

z^{k 1}dz z^`C1 2 C längs desgeschlossenenWeges D1˚3˚2 W

0; 2rC²_`

!Caus und schließe daraus auf den Wert

Z 1 0

t^{k 1}dt

t^`C1 D

`sin<sup>k</sup><sub>`</sub>

des uneigentlichen Integrals! ³

Lösung. 1. Die durch h.z/D z<sup>`</sup>C1definierte ganze rationale Funktionh WC !C hat dieeinfachenNullstellenzm D Exp <sub>`</sub>i C ^{2 m}_` i

fürm 2 f0; 1; : : : ; ` 1g. Dabei ist w D z0 D Exp <sub>`</sub>i

die einzige Nullstelle von h, die vom Weg umschlungen wird. Man definiert die analytische Funktionf WCn fz1; : : : ; z` 1g !Cdurch

f .z/ D z^{k 1} P` 1

mD0z^{` 1 m}w^m und erhält

f .z/

z w D z^{k 1}

.z w/P` 1

mD0z^{` 1 m}w^m D z^{k 1}

z^{`</sup> w<sup>`} D z^{k 1} z^`C1

für allez 2Cn fz1; : : : ; z` 1g. Die Integralformel von Cauchy liefert die Darstellung Z

z^{k 1}dz z^`C1 D

Z

f .z/ dz

z w D

Z

f .w/ dz

z w D w^{k `}

` Z

dz

z w D w^k

` Z

dz z w : Da für die zusammengesetzten Wege D2˚4˚1 W

0; 2rC2 ²_`

!C und~ D3˚4 WŒ0; 2!Caufgrund des Integralsatzes von Cauchy

Z

dz

z w D

Z

dz

z w C

Z

dz

z w D

Z

~

dz

z w D2i gilt, ergibt sich daraus

Z

z^{k 1}dz

z^`C1 D 2iw^k

` :

2. Andererseits gilt wegen D1˚3˚2 die Zerlegung Z

z^{k 1}dz z^`C1 D

Z

1

z^{k 1}dz z^`C1

Z

2

z^{k 1}dz z^`C1 C

Z

3

z^{k 1}dz z^`C1 D 1 w^2k

Z r

0

t^{k 1}dt t^`C1 C

Z

3

z^{k 1}dz z^`C1 : Da sich für jedesz 2Cmitjzj Dr aus

ˇ ˇ ˇ ˇ

z^{k 1} z^`C1

ˇ ˇ ˇ ˇD

ˇ ˇ ˇ ˇ

z^{k 1} z^{`</sup> w<sup>`}

ˇ ˇ ˇ

ˇ jzj^{k 1}

jzj^{`</sup> jwj<sup>`} D r^{k 1} r^` 1 stets die Abschätzung

ˇ ˇ ˇ ˇ Z

3

z^{k 1}dz z^`C1 ˇ ˇ ˇ ˇ 2

` r<sup>k</sup> r<sup>`</sup> 1 ergibt und außerdem wegen0 < k < `auch

rlim!1

2

` r^k

r^` 1 D0 gilt, folgt mit Schritt 1 daraus

w^2k 1 Z 1

0

t^{k 1}dt

t^`C1 D 2iw^k

` und somit schließlich

Z 1 0

t^{k 1}dt

t^`C1 D 2i

` w^k w ^k D 2i

` Exp <sup>k</sup><sub>`</sub> i

Exp ^k_` i D

`sin<sup>k</sup><sub>`</sub>

für allek,`2N mit0 < k < `.

Aufgabe 3. Seien n 2 N sowie z1; : : : ; zn 2 C die (nicht notwendig voneinander verschiedenen) Nullstellen der durch f .z/ D Qn

kD1.z zk/ für z 2 C definierten ganzen rationalen Funktionf WC!C.

1. Man zeige (induktiv), daß Df .z/D

n

X

kD1

f .z/

z zk

für allez 2Cgilt!

2. Man weise nach, daß zu jeder Nullstellez 2 Cder AbleitungDf WC!Creelle Zahlen1; : : : ; n2Œ0; 1mitPn

kD1k D1existieren, so daßz DPn

kD1kzk gilt!± Lösung. 1. Die erste Aussage soll induktiv übern2N bewiesen werden:

Induktionsanfang:Im FallenD1giltf .z/Dz z1und somit tatsächlich Df .z/D1D f .z/

z z1

für jedesz 2 C:

Induktionsschritt: Unter der Annahme der Induktionsvoraussetzung, daß für die durchg.z/DQn 1

kD1.z zk/fürz 2Cgegebene Funktiong WC!Cstets Dg.z/D

n 1

X

kD1

g.z/

z zk

für allez 2 C

gilt, soll die Induktionsbehauptung für f bewiesen werden: Für alle z 2 C gilt f .z/D.z zn/g.z/und somit

Df .z/Dg.z/C.z zn/Dg.z/ D f .z/

z zn C

n 1

X

kD1

.z zn/g.z/

z zk D

n

X

kD1

f .z/

z zk

; womit die Induktionsbehaupung bewiesen ist.

2. Ist z 2 C eine Nullstelle der Ableitung Df W C ! C, dann sollen die beiden Fällef .z/ D0bzw.f .z/ ¤0unterschieden werden:

2.1. Giltf .z/D 0, so existiert ein`2 f1; : : : ; ngmitz Dz`, und man setzt` D1 undk D0für allek2 f1; : : : ; ngmitk¤`. Es folgt unmittelbarz DPn

kD1kzk. 2.2. Im Falle f .z/ ¤ 0gibt eskeink 2 f1; : : : ; ng mitz D zk, woraus sich wegen Df .z/D0und Schritt 1 die Beziehung

0D Df .z/

f .z/ D

n

X

kD1

1 z zk D

n

X

kD1

z zk

jz zkj² und somit auch

n

X

kD1

z zk

jz zkj² D0 ergibt. Setzt man

ˇk D 1

jz zkj² > 0 fürk2 f1; : : : ; ng sowie ˇ D

n

X

kD1

ˇk > 0;

dann folgtˇz D Pn

kD1ˇkz D P

kD1ˇkzk. Definiert mank D ^ˇ_ˇ^k 2 Œ0; 1für jedes k2 f1; : : : ; ng, so erhält manPn

kD1k D1undz DPn

kD1kzk.

Aufgabe 4. Man berechne jene Koeffizienten ak 2 C für k 2 Z, für welche die Laurent-Reihe Pn

kDmak^k

im Grenzprozeßn! 1,m ! 1für jedes 2Cim 1. Punktierten Kreis˚

2Cj 0 <jj< 1 , 2. Kreisring˚

2C j1 <jj < 2 , 3. Kreisäußeren˚

2Cj jj > 2 , jeweils gegen den Grenzwert

s./D 6

.C1/. 2/

konvergiert!

Lösung. 1. Im Teilbruchansatz 6

.C1/. 2/ D a

C b

C1 C c

2 für 2 Cn f0; 1;2g werden die drei Koeffizientena,b,c 2Cbestimmt: Dann gilt

a. C1/. 2/Cb . 2/Cc .C1/D6 für alle 2C;

woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung indie Glei- chungen 2a D 6, a 2b C c D 0 und a C b C c D 0, also a D 3 sowie

2bCc D 3undbCc D3ergeben. Daraus folgtb D2undc D1und somit

s./ D 6

.C1/. 2/ D 3

C 2

C1C 1

2 für alle 2 Cn f0; 1;2g: 2. Um die Funktions WCn f0; 1;2g ! Cin eine Laurent-Reihe um den Mittel- punkt0zu entwickeln, betrachtet man die Darstellungen

s./D 3

C 2

1 . / 1 2 2

2 für 2C,0 < jj< 1;

s./D 3 C 2

. 1/

1 2 2

2 für 2C,1 < jj< 2;

s./D 3 C 2

. 1/C 1

2 für 2C,jj> 2:

3. Da die geometrische Reihe Pn kD0x^k

für jedes x 2 C mit jxj < 1 gegen die Summe ₁¹_x 2Ckonvergiert, ergibt sich daraus zunächst

s./D 3 C2

1

X

kD0

. /^k 1 2

1

X

kD0

2

k

für 2C,0 <jj< 1;

s./D 3 C2

1

X

kD0

1 . /^k

1 2

1

X

kD0

2

^k

für 2C,1 <jj< 2;

s./D 3 C2

1

X

kD0

1

. /^k C 1

1

X

kD0

2

^k

für 2C,jj> 2:

Daraus folgt schließlich jeweils die Darstellung s./ D 3

C

1

X

kD0

2. 1/^k 1 2^kC1

^k für 2 C,0 < jj< 1;

s./ D 1 C

1

X

kD2

2. 1/^{k 1 k}

1

X

kD0

^k

2^kC1 für 2 C,1 < jj< 2;

s./ D

1

X

kD3

2. 1/^{k 1}C2^{k 1}

^k für 2 C,jj> 2

als Laurent-Reihe vons WCn f0; 1;2g !Cum den Mittelpunkt0.

Aufgabe 5. Seien Koeffizienten a0; : : : ; an 2 Rmitan ¤ 0,n 2 N sowie die ganze rationale Funktionf WR!Rdurchf .x/DPn

kD0akx^k fürx 2Rgegeben.

Man zeige (mit Hilfe des Fundamentalsatzes der Algebra), daß es Zahlen `, m 2 N [ f0gmit`C2m D n undx1; : : : ; x` 2 R,y1; : : : ; ym 2 R,d1; : : : ; dm 2 Rn f0g gibt, so daßf die Darstellung

f .x/D

n

X

kD0

akx^k Dan

`

Y

kD1

.x xk/

m

Y

kD1

.x yk/²Cd_k²

für allex2R als Produkt linearer und quadratischer Faktoren besitzt!

Lösung. 1. Definiert man durch g.z/ D Pm

kD0akz^k für z 2 C die ganze rationale Funktion g W C ! C, so gilt wegen a0; : : : ; an 2 R genau danng.z/ D 0, wenn g.z/ D 0gilt. Dag wegen des Fundamentalsatzes der Algebra genaun Nullstellen in C besitzt, folgt daraus, daß es Zahlen `, m 2 N [ f0g mit ` C 2m D n sowie w1; : : : ; w` 2 C mit wk D .xk; 0/ fürk 2 f1; : : : ; `g und z1; : : : ; zm 2 C mit zk D .yk; dk/unddk ¤0fürk2 f1; : : : ; mggibt, so daß die Darstellung

g.z/D

n

X

kD0

akz^k Dan

`

Y

kD1

.z wk/

m

Y

kD1

.z zk/.z zk/ für allez 2Cgilt:

2. Für allez D.x; 0/2 Cergibt sich daraus g.z/Dan

`

Y

kD1

.x xk; 0/

m

Y

kD1

.x yk; dk/.x yk; dk/

Dan

`

Y

kD1

.x xk; 0/

m

Y

kD1

.x yk/²Cd_k²; 0 und somit schließlich

f .x/D

n

X

kD0

akx^k Dan

`

Y

kD1

.x xk/

m

Y

kD1

.x yk/²Cd_k²

für jedesx2 R.

Aufgabe 6. Seiw D ¹₂p

Exp ₄i

2 C gegeben. Ferner werden für beliebig vorge- gebenesr > 0die Wege1,3 WŒ0; 1!Csowie2,4 WŒ r; r!Cdurch

1.t /D.r; 0/C2t w; 3.t /D. r; 0/C2t w fürt 2 Œ0; 1;

2.t /D.t; 0/C2w; 4.t /D.t; 0/ fürt 2 Œ r; r;

definiert. Sei desweiteren die Funktionf WCn˚

.1C2n/w2Cj n2Z !Cdurch f .z/D Exp. z²/

1CExp. 4wz/ fürz 2 Cn˚

.1C2n/w2C jn2Z gegeben:

Man werte das IntegralR

f .z/ dzlängs desgeschlossenenWeges D1˚2 ˚3 ˚4 WŒ0; 2C4r!C aus und schließe daraus, daßR1

1exp. t²/ dt Dp gilt!

Lösung. 1. SeihWC!Cfürz 2Cdurchh.z/D1CExp. 4wz/definiert. Die Zahl z 2Cist genau dann eine Nullstelle vonh, wenn es einn2Zmit4wz DiC2in, alsoiz D4w²z D.1C2n/iwund somitz D.1C2n/wgibt.

Dabei istw 2CdieeinzigeNullstelle vonh, die vom geschlossenen Streckenzug umschlungen wird. Dah.z/D 1 Exp. 4w.z w//für jedesz 2 Cgilt, istw eine einfacheNullstelle vonh. Genauer gesagt, erhält man den Grenzwert

zlim!w

h.z/

z w D lim

z!w

h.z/ h.w/

z w D4w

und somit auch

zlim!w.z w/f .z/D lim

z!w

.z w/Exp. z²/

h.z/ D Exp. w²/

4w D 1

2ip : Die Integralformel von Cauchy liefert daher wegen ind.; w/D1die Darstellung

1 2i

Z

f .z/ dzD 1 2i

Z

.z w/f .z/ dz

z w D 1

2ip

1

2i Z

dz

z w D 1

2ip : 2. Andererseits gilt wegen D1˚2 ˚3 ˚4die Zerlegung

Z

f .z/ dzD Z

₁

f .z/ dz Z

₃

f .z/ dzC Z

₄

f .z/ dz Z

₂

f .z/ dz D

Z 1

0

2wexp. r²/Exp. 4rt w/Exp. it²/ dt 1CExp. 4rw/Exp. 2it / Z 1

0

2wexp. r²/Exp. 4r.1 t /w/Exp. it²/ dt Exp. 2it /CExp. 4rw/

C Z

4

f .z/ f .zC2w/

dz:

2.1. Es soll gezeigt werden, daß die beiden ersten Integrale auf der rechten Seite der letzten Ungleichung im Grenzprozeßr ! 1 verschwinden: Aus der Beziehung jExp. 4rw/j Dexp rp

2

< 1folgen die Abschätzungen j1CExp. 4rw/Exp. 2it /j 1 exp rp

2

; jExp. 2it /CExp. 4rw/j 1 exp rp

2 und damit wegenjExp. 4rsw/j Dexp rsp

2

1fürs 0tatsächlich ˇ

ˇ ˇ ˇ

Z 1

0

2wexp. r²/Exp. 4rt w/Exp. it²/ dt 1CExp. 4rw/Exp. 2it /

ˇ ˇ ˇ

ˇ 2jwjexp. r²/ 1 exp rp

2; ˇ

ˇ ˇ ˇ

Z 1

0

2wexp. r²/Exp. 4r.1 t /w/Exp. it²/ dt Exp. 2it /CExp. 4rw/

ˇ ˇ ˇ

ˇ 2jwjexp. r²/ 1 exp rp

2: 2.2. Beachtet man die für allez 2Cn˚

wC2nw 2Cjn2 Z geltende Identität f .z/ f .zC2w/D Exp. z²/

1CExp. 4wz/

Exp. .zC2w/²/ 1CExp. 4w.zC2w//

D Exp. z²/.1CExp. 4wz//

1CExp. 4wz/ DExp. z²/

im Integranden des dritten Integrals auf der rechten Seite der Ungleichung, so folgt durch die Auswertung der Realteile im Grenzprozeßr ! 1schließlich

Z 1 1

exp. t²/ dt D lim

r!1

Z r

r

exp. t²/ dt Dp

;

da der Integrand einegeradeFunktion ist.