Vorlesung 21
Stammfunktionen komplexer Funktionen
Seien Grenzen a, b 2 R mit a < b eines abgeschlossenen beschränkten Intervalls X DŒa; bRund eine offene MengeU Cgegeben.
Zusammenhängende Mengen. 1. Man bezeichnet eine offene MengeU C als zusammenhängend, wenn für alle u, v 2 U eine Kurve ' W X ! C in U mit dem Anfang'.a/Duund dem Ende'.b/Dvexistiert.
2. Zu je zwei Punktenu,v 2U einer zusammenhängenden offenen MengeU C existiert stets ein Streckenzug WX !CinU mit dem Anfanguund dem Endev.
3. Jede offene MengeU Cläßt sich als disjunkte Vereinigung höchstens abzähl- bar vieler zusammenhängender offener Mengen darstellen.
Stammfunktionen auf offenen Mengen. SeigWU !Ceine stetige Funktion.
1. Man nennt die stetige Funktionf WU !CeineStammfunktion vong, wennf differenzierbar undg DDf die Ableitung vonf ist.
2. Die stetige Funktion f W U ! C ist genau dann eine Stammfunktion von g, wenn für jeden Weg WX !CinU mit dem Anfang.a/Du 2 U und dem Ende .b/Dv 2U die BeziehungR
g.z/ dzDf .v/ f .u/gilt.
Stammfunktionen von Potenzfunktionen. Seien Mittelpunktz0 2 Cund Radius r > 0 einer durch .t / D z0 CrExp.it / für t 2 Œ0; 2 definierten geschlossenen Kreislinie WŒ0; 2!Cgegeben. Man definiert für jedesk2 Zdie Potenzfunktion gk WCn fz0g !Cdurchgk.z/D.z z0/k fürz 2Cn fz0g.
1. Im Falle k 2 Zn f 1g liefert fk.z/ D kC11.z z0/kC1 für z 2 C n fz0g eine Stammfunktionfk WCn fz0g !Cvongk und somitR
.z z0/kdz D0.
2. FürkD 1ergibt sich jedoch Z
dz z z0
D Z 2
0
D.t / dt .t / z0
D Z 2
0
riExp.it / dt
rExp.it / D2i;
das heißt, die analytische Funktiong 1 WCn fz0g !Cbesitzt in der offenen Menge
˚z 2C j0 <jz z0j< fürkeinenRadius > 0eine Stammfunktion.
Deformation von Kurven. Seien zwei Kurven, WX !CinU vorgegeben.
1. Unter einer Deformation von in innerhalb von U versteht man eine stetige Abbildung' WXŒ˛; ˇ!U mit˛,ˇ 2Rund˛ < ˇ, so daß sowohl'.t; ˛/D.t / als auch'.t; ˇ/D .t /für jedest 2 Xgilt.
2. Gilt außerdem '.a; / D '.b; /(bzw.'.a; / D '.a; ˛/und'.b; / D '.b; ˛/) für jedes 2 Œ˛; ˇ, dann spricht man von einer geschlossenen (bzw. gebundenen) Deformation von in innerhalb vonU.
2
.a; ˛/ .b; ˛/
.a; ˇ/ .b; ˇ/
Integralsatz von Cauchy. Seig WU !Ceine analytische Funktion.
1. Sind , W X ! C zwei geschlossene Wege in U, so daß eine geschlossene Deformation von in innerhalb vonU existiert, dann giltR
g.z/ dz DR
g.z/ dz.
2. Haben die beiden Wege, W X !CinU sowohl einen gemeinsamen Anfang .a/D .a/2U als auch ein gemeinsames Ende.b/D .b/2 U und existiert eine gebundene Deformation von in innerhalb vonU, so giltR
g.z/ dz DR
g.z/ dz.
Einfach zusammenhängende Mengen. 1. Eine zusammenhängende offene Menge U C wird einfach zusammenhängend genannt, wenn es für jede stetige Funktion ' W˚
z 2C j jzj D1 !U eine stetige Fortsetzung W˚
z 2 Cj jzj 1 !U gibt.
2. Eine zusammenhängende offene Menge U C ist genau dann einfach zusam- menhängend, wenn für jede geschlossene Kurve W X ! C inU eine geschlossene Deformation von in eine geschlossene Kurve WX !Cinnerhalb vonU existiert, die sich auf einen Punkt inU reduziert.
Stammfunktionen auf einfach zusammenhängenden Mengen. Ist U C eine einfach zusammenhängende offene Menge, dann besitzt jede analytische Funktion gWU !Ceine analytische Stammfunktionf WU !C.
Windungszahl eines geschlossenen Weges in bezug auf einen Punkt. Für jeden Punktz0 2Cund jeden inCn fz0genthaltenen geschlossenen Weg WX !Chat
ind.; z0/D 1 2i
Z
dz z z0
einen ganzzahligen Wert, der alsWindungszahl ind.; z0/ 2 Zvon in bezug auf z0
bezeichnet wird. Diese Zahl gibt an, wie oft der Punktz0im mathematisch positiven Sinne vom Weg umschlungen wird.
3
Konstanz der Windungszahl auf zusammenhängenden Mengen. Sei WX !C ein geschlossener Weg.
1. IstU eine zusammenhängende offene Teilmenge des KomplementsCn ŒX des Kurvenbilds ŒX , so gilt ind.; u/Dind.; v/für alleu,v2 U.
2. Liegt der Weg innerhalb einer einfach zusammenhängenden offenen Menge U C, dann gilt ind.; z/ D0für jeden Punktz 2 CnU.
Windungszahl einer Kreislinie in bezug auf einen Punkt. Seien Anzahl n 2 Z, Mittelpunkt z0 2 C und Radius r > 0 einer durch .t / D z0 C rExp.int / für t 2Œ0; 2definierten,n-mal durchlaufenen Kreislinie WŒ0; 2!Cgegeben.
1. Im Falle z 2 C,jz z0j < r ergibt sich wegen der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe gegen die Summe
1
z D 1
z0 1
X
kD0
z z0
z0
k
für alle2 Cmitjz z0j<j z0j
durch Integration längs der Kreislinie die Beziehung Z
d z D
Z
1 z0
1
X
kD0
z z0
z0
k
d D
1
X
kD0
.z z0/k Z
d . z0/kC1 D
Z
d z0 D
Z 2
0
rinExp.int / dt
rExp.int / D2 ni und damit die Windungszahl ind.; z/Dn2 Z.
2. Im Falle z 2 C,jz z0j > r erhält man wegen der gleichmäßigen Konvergenz der geometrischen Reihe gegen die Summe
1
z D 1
z z0 1
X
kD0
z0
z z0
k
für alle 2Cmitj z0j<jz z0j
durch Integration längs der Kreislinie die Beziehung Z
d z D
Z
1 z z0
1
X
kD0
z0
z z0
k
d D
1
X
kD0
1 .z z0/kC1
Z
. z0/kd D0 und somit die Windungszahl ind.; z/D02Z.
