Die Stammfunktionen der drei Grundtypen rationaler Funktionen sind Z dx

(1)

Elementare rationale Integranden

Die Stammfunktionen der drei Grundtypen rationaler Funktionen sind Z dx

ax + b = 1

a ln |x + b/a| + c Z dx

(x − a)

²

+ b

²

= 1 b arctan

x − a b

+ c Z (x − a) dx

(x − a)

²

+ b

²

= 1

2 ln((x − a)

²

+ b

²

) + c

(2)

Beweis

Uberpr¨ ¨ ufung der Stammfunktionen durch Differenzieren alternativ: Umformung der Integranden

(i) R

dy/y = ln |y| + c = ⇒ Z dx

ax + b = 1 a

Z dx

x + b/a = 1

a ln |x + b/a| + c (ii) Umformung

Z dx

(x − a)

²

+ b

²

= 1 b

²

Z dx ((x − a)/b)

²

+ 1 Substitution y = (x − a)/b, dx = b dy

1 b

Z dy y

²

+ 1 = 1

b arctan y + c = 1 b arctan

x − a b

+ c

(3)

(iii) Substitution y = (x − a)

²

+ b

²

, dx = dy/(2(x − a)) Z (x − a) dx

(x − a)

²

+ b

²

= 1 2

Z dy y = 1

2 ln |y | + c

= 1

2 ln((x − a)

²

+ b

²

) + c

(4)

Beispiel

Fl¨ achen begrenzt durch rationale Funktionsgraphen (i) r(x) = 2 − x

1 + x :

Umformung r(x) = −1 − x 1 + x + 3

1 + x = −1 + 3 1 + x Summe der Stammfunktionen der elemen-

taren Ausdr¨ ucke Stammfunktion R(x) = −x + 3 ln |1 + x|

r (2) = 0 Fl¨ acheninhalt Z

2

0

r(x) dx = [R(x)]

^x=2_x=0

= (−2 + 3 ln 3) − (−0 + 3 ln 1) -1 0 1 2 3 0

1

2

3

(5)

(ii) r(x ) = 1 x

²

+ 1 :

-4 -2 0 2 4

-1 0 1

Fl¨ acheninhalt: Grenzwert der Fl¨ acheninhalte von {(x, y ) : 0 ≤ y ≤ r (x), −a ≤ x ≤ a}

a→∞

lim Z

a

−a

dx

1 + x

²

= lim

a→∞

(arctan a − arctan(−a))

= π

2 + π

2 = π

(6)

Beispiel

Berechnung der Stammfunktion von

r(x) = 3x + 6 2x

²

− 4x + 10 quadratische Erg¨ anzung des Nenners

2(x

²

− 2x + 5) = 2((x − 1)

²

+ 2

²

) Anpassung des Z¨ ahlers

3(x + 2) = 3((x − 1) + 3) Zerlegung in Standardausdr¨ ucke:

r (x) = 3 2

x − 1

(x − 1)

²

+ 2

²

+ 9 2

1 (x − 1)

²

+ 2

²

(7)

Stammfunktionen der elementaren Integranden Z

r(x) dx = 3

4 ln ((x − 1)

²

+ 4) + 9 4 arctan

x − 1 2

+ c

Berechnung eines bestimmten Integrals durch Einsetzen der Grenzen in die Stammfunktion