Liste wichtiger Stammfunktionen

Liste wichtiger Stammfunktionen

Funktion Stammfunktion

xⁿ, n∈R^{\ {−1}} _{n+ 1}^{1 xn+1} 1

x ln(|x|)

ln(x) xln(x)−x

a^x, a >0 a^x ln(a)

sin(x) −cos(x)

cos(x) sin(x)

sin²(x) 1

2(x−sin(x) cos(x))

cos²(x) 1

2(x+ sin(x) cos(x))

√ 1

1−x² arcsin(x)

− 1

√1−x² arccos(x) 1

1 +x² arctan(x)

Messbarkeit

Sei (M,S)ein Messraum.

Definition.

(i) Eine Menge A⊂M heißt S-messbar, falls A∈ S.

(ii) Eine Funktion f :M →[−∞,+∞] heißtS-messbar, falls für alle c∈R ^die Menge

{f ≤c}={x∈M :f(x)≤c} ∈ S.

Satz. Sei{f_k}^∞_k=1eine Folge von Funktionenf_k :M →[−∞,+∞], die punktweise gegen f konvergiert. Dann ist auch f S-messbar.

Beweis. Da (f_k) punktweise gegen f konvergiert, existiert für jedes n ∈ N ^ein Indexn₀∈N derart, dass für alle k≥n₀ gilt: |f_k(x)−f(x)|< _n¹. Also gilt wegen der Messbarkeit vonf_k

f(x)≤c⇔ ∀n ∈N^∃n0 ∈N^∀k≥n0:f_k(x)< c+ 1 n. Dies ist äquivalent zu

{f(x)≤c}=

∞

\

n=1

∞

[

n0=1

∞

\

k=n0

n

f_k(x)< c+ 1 n

o

Da

f_k(x)< c+_n¹ ∈ S für alle k, folgt f ≤c∈ S, da S eine σ-Algebra ist.

Konvergenzsätze

Sei (M,S, µ)ein Maßraum.

Satz (1. Version des Lemmas von Fatou). Sei {f_k} eine Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen aufM, die punkweise gegen eine Funktionf konvergieren.

Falls für ein C ≥0 und alle k ≥1 die Ungleichung

Z

M

f_kdµ≤C

gilt, so folgt

Z

M

f dµ≤C.

Die erste Version des Lemmas von Fatou besagt, dass die Beschränktheit des Lebesgue-Integrals für eine Folge von nichtnegativen messbaren Funktionen impli- ziert, dass das Integral des punktweisen Grenzwertes dieser Folge durch die selbe Zahl beschränkt ist.

Satz (2. Version des Lemmas von Fatou). Sei {f_k} eine Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen auf M.Dann gilt

Z

M

lim inf

k→∞ f_kdµ≤lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ.

Die zweite Version des Lemmas von Fatou erlaubt es den Limes Inferior einer Funktionenfolge aus dem Lebesgue-Integral rauszuziehen, indem man nach oben abschätzt.

Satz (Satz von der monotonen Konvergenz). Sei {f_k}^∞_k=1 eine monoton steigende Folge von nichtnegativen S-messbaren Funktionen. Dann gilt:

k→∞lim

Z

M

f_kdµ=

Z

M

k→∞lim f_kdµ

Beweis. Sei f := lim

k→∞f_k. Dann gilt wegen der Monotonie für alle k ∈N

Z

f_kdµ≤

Z

f dµ,

also insbesondere

lim sup

k→∞

Z

M

f_kdµ≤

Z

M

f dµ.

Sei {f_ki}^∞_i=1 eine geeignete Teilfolge im folgenden Sinne:

i→∞lim

Z

M

f_kidµ= lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ.

(Die Existenz dieser Teilfolge ist klar, denn der Limes Inferior ist ja gerade den kleinste Grenzwert aller konvergenten Teilfolgen.)

Dann existiert für jedesε >0 ein i_o∈N derart, dass für alle i≥i₀ gilt:

Z

M

f_kidµ≤lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ+ε

und mit dem Lemma von Fatou

Z

M

f dµ≤lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ+ε.

Da dies für alle ε >0gilt, erhalten wir

Z

M

f dµ≤lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ

und somit

lim sup

k→∞

Z

M

f_kdµ≤

Z

M

f dµ ≤lim inf

k→∞

Z

M

f_kdµ,

woraus die Behauptung folgt.

Satz(Satz von der majorisierten Konvergenz).Seien{f_k}^∞_k=1eine Folge von mess- baren Funktionen auf M und f messbar auf M mit

f_k →f f.ü.

Falls es eine integrierbare nichtnegative Funktion g gibt, die für alle k ∈ N ^die Ungleichung

|f_k| ≤f f.ü.

erfüllt. Dann sind f_n und f auch integrierbar und es gilt

Z

M

fndµ= lim

k→∞

Z

M

f_kdµ.

Der Satz besagt also, dass man Lebesgue-Integral und Limes für eine Folge fast überall kovergenter Folgen vertauschen kann, wenn es eine integrierbare Majorante gibt.

Satz von Fubini

Satz(Satz von Fubini). Seiµ_iFüri= 1,2einσ-endliches Maß auf derσ−Algebra S_i in der Grundmenge M_i. Sei µ = µ₁ ×µ₂ das Produktmaß auf der σ−Algebra S =σ(S₁× S₂) in der Grundmenge M =M₁×M₂. Dann:

(a) Sei f : M → [0,∞] (insbesondere nichtnegativ) eine S-messbare Funktion.

Dann gilt:

i. Die Funktion y 7→f(x, y) ist S2 messbar für jedes x∈M1, ii. die Funktion

x7→

Z

M2

f(x, y)dµ₂(y)

is S₁-messbar und iii.

Z

M

f dµ=

Z

M1

Z

M2

f(x, y)dµ₂(y)dµ₁(y).

(b) Seif :M →R ^eine µ−integrierbare Funktion. Dann gilt:

i. y7→f(x, y) ist µ₂-integrierbar für µ₁-fast alle x∈M₁, ii. x7→

Z

M2

f(x, y)dµ₂(y) ist µ₁-integrierbar und

iii.

Z

M

f dµ=

Z

M1

Z

M2

f(x, y)dµ₂(y)dµ₁(y).

Bemerkung. Analog gilt die Identität

Z

M

f dµ=

Z

M2

Z

M1

f(x, y)dµ₂(y)dµ₁(y).

Anwendung:

Berechne

∞

Z

−∞

e^−x2dx.





∞

Z

0

e^−x2dx









∞

Z

0

e^−x2dx









∞

Z

0

e^−y2dy





=

∞

Z

0

∞

Z

0

e^−(x2+x2)dxdy

y=xs=

∞

Z

0

∞

Z

0

xe^−(x2+x2s2)dsdx

=

∞

Z

0

∞

Z

0

xe^{−(x2(1+s2))}dsdx

=

∞

Z

0

∞

Z

0

xe^{−(x2(1+s2))}dxds

= 1 2

∞

Z

0

−1 1 +s²

h

e^−x2(1+s2)

i

0

ds

= 1 2

∞

Z

0

1 1 +s²ds

= [arctan]^∞₀ = π 4 Somit gilt:

∞

Z

0

e^−x2dx=

√π

2 ⇒

∞

Z

−∞

e^−x2dx=√ π

Transformationssatz

Satz (Transformationssatz). Seien U, V ⊂ R^{n offen und φ : U → V ein C1-} Diffeomorphismus, d.hφ ist bijektiv undφ undφ⁻¹ sind stetig differenzierbar. Für jede nichtnegative Borel-Funktion f :V →R ^gilt

Z

V

f dλ_n =

Z

U

(f ◦φ)|detφ⁰|dλ_n.

Dieselbe Identität gilt für jede integrierbare Borel-Funktionf :V →R^.

Bemerkung.Diese Formel verallgemeinert die eindimensionale Substitutionsregel

φ(a)

Z

φ(b)

f(y)dy=

b

Z

a

f(φ(x))φ⁰(x)dx.

Beachte, dass diese Integrale eine Orientierung besitzen, d.h.

R

a =−

R

b und des- halb die Ableitung ohne Betrag auftaucht.

Beispiel. Sei V ={(x, y)∈R^{2 :x >0, y >0,0}< xy < 3, x < y <2x}. Berechne λ2(V).

Lösung: Es bieten sich die Substitutionen

u=xy und v =y/x an. Es ergibt sich:x=

p

v und y=√

uv. Wir betrachten also die Transformation

(x, y) =φ : (u, v) := (

r

v,√ uv).

AlsoU =φ⁻¹(V) ={(u, v)∈R^{2 : 0}< u <3,1< v <2}. Die Funktionaldetermi- nante vonφ ist

detφ⁰ = det

2√

uv −¹₂

p

v³ 1

2

p

u 1 2

p

v

= 1 2v 6= 0,

sodass φ ein Diffeomorphismus ist. Somit erhalten wir:

λ₂(V) =

Z

U

|detφ⁰|dλ₂(u, v)

=

3

Z

0 2

Z

1

1 2vdvdu

=

3

Z

0

1

2ln(2)du

= 3 2ln(2).

Oberflächenmaß

Definition. Die Menge M ⊂R^{n heißt}k−dimensionale Karte, falls es eine offene Menge U ∈R^k und eine Abbildung φ :U →Rⁿ gibt, sodass:

i. M =φ(U), ii. φ ist injektiv,

iii. φ ist steig differenzierbar,

iv. φ ist nichtsingulär, d.h. ∀u∈U hat φ⁰(u) maximalen Rang.

(U, φ) heißt Parametrisierung von M und (M, U, φ) heißt parametrisierte Karte.

Definition. Sei (M, U, φ) eine k−dimensionale parametrisierte Karte. Für jede Teilmenge A ∈ B(M)(= B(R^n)∩2M definieren wir das k-dimensionale Oberflä- chenmaß σ_M,U,φ(A) mit

σ_M,U,φ(A) =

Z

φ⁻¹(A)

p

gramφ := det (φ⁰)^T)φ⁰

heißt Gramsche Determinante von φ.

Beispiel. Bestimme die Länge σ1(M) für die folgende 1−dimensionale Karte M in R^2.

M ist die Funktion y= 2x auf dem Intervall (0,1).

Wir haben die Parametrisierung φ(x) = (x,2x). Dann gilt: φ⁰(x) = (1,2). Also ist die Gramsche Determinante gram(φ) = 1²+ 2²= 5 und somit erhalten wir

σ₁(M) =

1

Z

0

√1 + 5dx=√ 5.

Beispiel. Betrachte die Oberfläche der Einheitskugel im R³ S2 ={(x, y, z)∈R^{3:x2+y2+z2 = 1}.}

Sei U = (−π, π)×(0, π) und

φ :U →R³, φ(t, s) = (sin(t)cos(s),sin(t) sin(s),cos(t)).

Dann gilt:





−sin(t) sin(s) cos(t) cos(s) sin(t) cos(s) cos(t) sin(s)

0 −sin(t)





Also:

gramφ(t, s) = det

0 cos²(s) cos²(t) + sin²(s) cos²(t) + sin²(t)

= sin(t)². Somit gilt:

σ_S2(φ(U)) =

π

Z

−π

Z

0

π|sin(t)|dtds= 4π.