(Hinweis: Die Funktion F(x) =kxk22 ist differenzierbar mit (DF)(x)y= 2hx, yi.) Aufgabe 2 Wir betrachten die Funktionf:R2→R aus Aufgabe 1(a)

Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann

Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 6

Abgabe bis Do, 21.05., 12 Uhr Aufgabe 1 zur Bearbeitung in der ¨Ubung Aufgaben 2-5 zur selbst¨andigen Bearbeitung

Aufgabe 1 (a) Zeigen Sie, dass die Funktion

f:R² →R, (x, y)7→

(xy^x_x²2^−y+y²², (x, y)6= (0,0), 0, (x, y) = (0,0),

partiell differenzierbar ist und die partiellen Ableitungen gegeben sind durch

(D1f)(x, y) =−(D₂f)(y, x) =

(y^x4+4x_(x2+y^2y22)^{−y2 4}, (x, y)6= (0,0), 0, (x, y) = (0,0).

(b) Ein Teilchen bewege sich entlang einer 2-mal stetig differenzierbaren Kurveγ:R→ Rⁿ mit konstanter Geschwindigkeit kγ⁰(t)k² = c. Zeigen Sie, dass dann der Beschleunigungsvektorγ⁰⁰(t) stets senkrecht zum Geschwindigkeitsvektorγ⁰(t) steht.

(Hinweis: Die Funktion F(x) =kxk²₂ ist differenzierbar mit (DF)(x)y= 2hx, yi.) Aufgabe 2 Wir betrachten die Funktionf:R²→R aus Aufgabe 1(a). Zeigen Sie:

(a) Die Funktion f ist einmal stetig differenzierbar.

(b) Die zweiten partiellen AbleitungenD1D2f,D2D1f,D2D2fundD1D1f existieren.

(c) Es gilt aberD₁D₂f(0,0)6=D₂D₁f(0,0).

(d) Welche Voraussetzung des Satzes von Schwarz muss wohl verletzt sein?

(Hinweis: f ist außerhalb des Nullpunktes beliebig oft stetig differenzierbar, und es kommt in dieser Aufgabe nur auf den Nullpunkt an. Sie brauchennicht die partiellen Ableitungen (D_iD_jf)(x, y) f¨ur (x, y)6= (0,0) auszurechnen.)

Aufgabe 3 SeiA= (aij)i,j ∈Matn,n(R) symmetrisch, alsoaij =aji f¨uri, j= 1, . . . , n.

Es gilt dannhAx, yi=hx, Ayi f¨ur alle x, y∈Rⁿ. Sei f:Rⁿ→Rdefiniert durch f(x) =hAx, xi.

Nach Aufgabe 4(c) von Blatt 5 ist f ist differenzierbar mit (Df)(x)y = hAx, yi+ hAy, xi = 2hAx, yi. Sei Sⁿ⁻¹ := {x ∈ Rⁿ|kxk₂ = 1} die Einheitsph¨are. In dieser Aufgabe wird gezeigt:

• Die Funktion f|_Sn−1 nimmt in einem Punkt x0 ∈Sⁿ⁻¹ ein Maximum an, und es gilt Ax₀ = λx₀, wobei λ := f(x) ist. Mit anderen Worten: λ ist ein Eigenwert von A undx ein Eigenvektor zum Eigenwertλ.

Gehen Sie in folgenden Schritten vor:

(a) Die Funktionf|_Sn−1 hat ein Maximum (d.h. es gibtx0∈Sⁿ⁻¹ mitf(x0)≥f(x1) f¨ur alle x₁ ∈Sⁿ⁻¹).

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(b) Sei von nun anx∈Sⁿ⁻¹ das in Teilaufgabe (a) gefundene Maximum undy∈Rⁿ beliebig. SeiU :={t∈R|x+ty6= 0} ⊂Rund c_y :U →Rⁿ durch c_y(t) := _kx+tyk^x+ty definiert. Dann istU eine offene Umgebung von 0,cy(t) stetig differenzierbar, und f ◦c_y :U →Rhat in 0 ein lokales Maximum. Daher ist (f◦c_y)⁰(0) = 0.

(c) Seien nun x, y wie in (b) und λ := f(x). Zeigen Sie durch Berechnung der Ableitung von f ◦cy, dass dann gilt 0 = hAx−λx, yi (hierf¨ur muss x nat¨urlich das Maximum vonf sein undλ=f(x)). Weil dies nun f¨ur alley∈Rⁿ gilt, folgt Ax=λx.

Aufgabe 4 Bezeichne GLn(R) ⊂ Matn(R) die (offene) Teilmenge der invertierbaren n×n-Matrizen,E_n∈GL_n(R) die Einheitsmatrix und sei

F: GL_n(R)→GL_n(R), A7→A⁻¹.

In Blatt 3, Aufgabe 5 wurde gezeigt, dass F stetig ist. Hier wird bewiesen, dass F differenzierbar ist und dass gilt DF(A)B = −A⁻¹BA⁻¹, f¨ur alle A ∈ GLn(R) und B ∈ Mat_n,n(R). In den Teilaufgaben (a) und (b) sollen Sie zun¨achst nachvollziehen, wie man diese Formel raten kann.

(a) Zeigen Sie: Sind A, B:R→Mat_n,n(R) differenzierbar, so ist auch die Funktion C:R→Matn,n(R), t7→A(t)B(t),

differenzierbar und (DC)(0) = (DA)(0)B(0) +A(0)(DB)(0).

(b) Wir nehmen an, dass F differenzierbar sei. Sei A∈GL_n(R),B ∈Mat_n(R) und t hinreichend nahe bei 0. Differenzieren Sie die Gleichung

(A+tB)F(A+tB) =En

und folgern Sie, dass dann die Richtungsableitung vonF gegeben sein muss durch (DF)(A)B =−A⁻¹BA⁻¹.

(c) Zeigen Sie, dassF wirklich differenzierbar ist. Verwenden Sie dazu die Gleichung (A+B)⁻¹−A⁻¹=−(A+B)⁻¹BA⁻¹

(vgl. Aufgabe 5 von Blatt 3), die in Aufgabe 1 von Blatt 3 definierte Operatornorm auf Matn,n(R) und die in Aufgabe 5 von Blatt 3 gezeigte Stetigkeit vonF. Zusatzaufgabe 5 Es seienf: [0,1]×R→R undF, G:R→R definiert durch

f(t, x) = e^−(1+t2)x2

1 +t² , F(x) = Z 1

0

f(t, x)dt, G(x) = Z x

0

e^−s2ds 2

.

Zeigen Sie:

(a) Diese Funktionen sind differenzierbar und es gibt einC ∈RmitF(x) +G(x) =C.

(Hinweis: Differenzieren Sie unter dem Integral.)

(b) Durch Berechnung vonF(0) undG(0) ergibt sichC = ^π₄.

(c) Es gilt limx→∞F(x) = 0. (Hinweis: Hier ist zu zeigen, dass man Limes und Integral vertauschen kann. Benutzen Sie dazu die Absch¨atzung |f(t, x)| ≤e^−x2.) (d) Folgern Sie die Formel

Z ∞

0

e^−s2ds=

√π 2 .

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