Prof. Dr. J. Ebert PD Dr. T. Timmermann
Ubung zur Analysis 2¨ Blatt 6
Zusatzaufgabe 5 Es seienf: [0,1]×R→R undF, G:R→R definiert durch f(t, x) = e−(1+t2)x2
1 +t2 , F(x) = Z 1
0
f(t, x)dt, G(x) = Z x
0
e−s2ds 2
.
Zeigen Sie:
(a) Diese Funktionen sind differenzierbar und es gibt einC ∈RmitF(x) +G(x) =C.
(Hinweis: Differenzieren Sie unter dem Integral.) L¨osung: F¨urGliefern Produktregel und Hauptsatz
G0(x) = 2e−x2 Z x
0
e−s2ds= Z x
0
2e−(x2+s2)ds.
Offenbar ist
(D2f)(t, x) =−2xe−(1+t2)x2 und mit Differenziation unterm Integralzeichen erh¨alt man
F0(x) = Z 1
0
(D2f)(t, x)dt=− Z 1
0
2xe−(1+t2)x2dt sowie nach Substitution s=tx
F0(x) =−G0(x).
Somit istF(x) +G(x) konstant.
(b) Durch Berechnung vonF(0) undG(0) ergibt sichC = π4. L¨osung: Es ist G(0) = 0 und
F(0) = Z 1
0
dt
1 +t2 = [arctan(t)]t=1t=0=π/4, also C=π/4.
(c) Es gilt limx→∞F(x) = 0. (Hinweis: Hier ist zu zeigen, dass man Limes und Integral vertauschen kann. Benutzen Sie dazu die Absch¨atzung |f(t, x)| ≤e−x2.) (d) Folgern Sie die Formel
Z ∞
0
e−s2ds=
√π 2 .
L¨osung: F¨urx→ ∞ konvergiertf(·, x) auf [0,1] gleichm¨aßig gegen 0, weil
|f(t, x)| ≤e−(1+t2)x2 ≤e−x2 −−−→x→∞ 0.
Deswegen folgt
x→∞lim F(x) = Z 1
0
x→∞lim f(t, x)dt= Z 1
0
0dt= 0.
Mit (a) und (b) folgt limx→∞G(x) =π/4 und damit die letzte obige Gleichung.
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