Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass der (Noether-)Stromeψγ¯ µψeine Erhaltungsgröße ist

5. Übungsblatt zur Vorlesung WS 2016/2017 Einführung in die Elementarteilchentheorie Prof. G. Hiller Abgabe: bis Montag, den 21. November 2016 12:00 Uhr

Aufgabe 1: Lagrange-Dichten (5 Punkte)

(a) Leiten Sie für eine Lagrange-Dichte_L[φ(x),∂µφ(x)]die allgemeine Form der Euler- Lagrange-Bewegungsgleichungen aus der Bedingung der stationären Wirkung

δZ

d⁴xL[φ(x),∂µφ(x)]=0 her und zeigen Sie , dass_L und_L⁰ mit

L−L⁰=∂^µf_µ(φ)

physikalisch äquivalent sind, wobeif_µein beliebiger Viererstrom ist.

Hinweis: Für Ihre Rechnungen kann eine Verallgemeinerung des Gaußschen Integralsat- zes vomR³auf den Minkowskiraum hilfreich sein:

Z

Gd⁴x∂µf(φ,∂µφ)= Z

∂Gdσµf(φ,∂µφ)

Dabei istGdas Integrationsvolumen im Minkowskiraum und_σµdie Oberflächennormale zum Rand∂G.

(b) Nutzen Sie das Ergebnis aus Aufgabenteil (a), umLQED formal in ψund ψ^¯ zu symmetrisieren, das heißt

LQED→L_QED⁰ =1

2ψ¯i∂µγ^µψ−1

2(∂µψ¯)iγ^µψ−mψψ¯ +eψ¯A^µγµψ−1

4F_µνF^µν . Bestimmen Sie ausL_QED⁰ die Bewegungsgleichungen fürψundψ^¯. Warum können die Felder_ψundψ¯ getrennt variiert werden?

(c) Das Noether-Theorem ordnet jeder kontinuierlichen Symmetrie der Lagrange-Dich- te eine Erhaltungsgröße zu. Zeigen Sie, dass dieU(1)-Invarianz von_LQEDdie Er- haltung der elektrischen Ladung impliziert.

Hinweis: Zeigen Sie zunächst, dass der (Noether-)Stromeψγ¯ ^µψeine Erhaltungsgröße ist.

Aufgabe 2: Die Helizität des Photons (5 Punkte)

Die Helizität des PhotonsH ist definiert als die Projektion des Photondrehimpulses^~J auf die Richtung des Impulses^~k:

H=~J· ~k

|~k|. (1)

Der Impulsoperator für Vierervektoren lautet

~J=











0 0 0 0

0 0 ~J˜ 0











, ~J˜=( ˜J1, ˜J2, ˜J3), ( ˜Ja)_bc= −i²abc, (2)

1

mit den Generatoren der Drehungen in der adjungierten Darstellung J^˜_a und a,b,c∈ {1, 2, 3}. Die Polarisationsvektoren_²^µ sind die Eigenvektoren des Helizitätsoperators ei- nes Photons, welches sich inz-Richtung mit dem Viererimpulsk^µ=(E, 0, 0,E)bewegt.

Konstruieren Sie die Polarisationsvektoren so, dass die folgenden Relationen erfüllt sind:

H²^µ=h²^µ, ²µ²^µ= −1. (3)

Die Eigenvektoren mit Eigenwert h= −1(₊1) werden als linkhändige (rechtshändige) Photonen bezeichnet.

Aufgabe 3: Helizität der Fermionen (5 Punkte)

Der Helizitätsoperator für Fermionen ist gegeben durch h=1

2

~ p

¯

¯~p¯

¯ µ~σ 0

0 ~σ

¶

. (4)

(a) Berechnen Sie die Wirkung vonh auf die Spinorenur¡ p¢

und vr¡ p¢

mitr =1, 2 (siehe Blatt 3).

(b) Betrachten Sie nun die Spinoren im relativistischen Grenzfall und berechnen Sie die Wirkung des Helizitätsoperatorshauf die Spinoren erneut. Diskutieren Sie ihr Ergebnis.

Aufgabe 4: Fermiontensoren (5 Punkte)

Bei der Berechnung von Feynman-Diagrammen treten häufig Ströme der Gestalt L^V_µ=£

¯ v^r¡

p2¢ γµu^s¡

p1¢¤

und L_µ^A=£

¯ v^r¡

p2¢

γµγ5u^s¡ p1¢¤

(5) auf. Dabei stehtV für eine vektorielle und A für eine axiale Kopplung. Durch die Spi- norenu^s¡

p¢

undv^s¡ p¢

werden Teilchen- und Antiteilchen mit Spinsund Impulsp be- schrieben.

(a) Berechnen Sie die Fermiontensoren L^{V V}_µν =X

r,s

L^V_µL^V_ν^∗ und L^{A A}_µν =X

r,s

L_µ^AL^A∗_ν (6) mit Hilfe der Spinsummen.

(b) Wie verändern sich die Ergebnisse aus Aufgabenteil (a) unter Vertauschung von Teilchen und Antiteilchen, also unter

L^V_µ →L^V_µ =£

¯ u^s¡

p₃¢ γµv^r¡

p₄¢¤

? (7)

Vorlesungsseite im Internet:

http://people.het.physik.tu-dortmund.de/∼ghiller/WS1617ETT.html

2