Hinweis: Zeigen Sie die Abschätzung für die Iteriertenyk

Universität Tübingen Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 07.07.2014

13. Übungsblatt zur Analysis II

Aufgabe 73: Zeigen Sie: In der Situation des Satzes von Picard-Lindelöf gilt ky(x)−y0k ≤ M

L

e^L|x−x0|−1

für |x−x0| ≤α.

Hinweis: Zeigen Sie die Abschätzung für die Iterierteny_k. Aufgabe 74: Sei A:R→R^n×n stetig. Zeigen Sie:

(a) Die Lösung des Anfangswertproblems

y⁰ =A(x)y, y(0) =y₀∈Rⁿ existiert auf ganzR.

(b) Die Abbildung, die dem Anfangswert den Lösungswert an der Stelle xzuordnet, ist für jedesx linear.

Aufgabe 75: Betrachten Sie die lineare Differentialgleichung y⁰=A(x)y,

wobei A(x) +A(x)^T negativ semidefinit sei. Zeigen Sie, dass entlang jeder Lösung die euklidische Norm monoton abnimmt:

ky(x₂)k ≤ ky(x₁)k, für beliebigex2 > x1. Hinweis: l= 0.

Aufgabe 76: Zeigen Sie: Entlang jeder Lösung der Pendelgleichung y⁰⁰=−sin(y)

ist die Energie

E = 1 2 y⁰2

−cos(y)

konstant.

Aufgabe 77: Zeigen Sie: Jede Lösung der gedämpften Schwingungsgleichung y⁰⁰+dy⁰+ky= 0, d >0, k >0

strebt gegen0 für x→ ∞.

Aufgabe 78: Zeigen Sie die Äquivalenz der beiden Aussagen (i) Jede Lösung der linearen Differentialgleichung

y⁰=Ay, A∈R^n×n konstant bleibt beschränkt für x→ ∞.

(ii) Jeder Eigenwert vonAhat nicht-positiven Realteil, und die Eigenwerte mit Realteil0sind geometrisch einfach, also haben nur Jorden-Blöcke der Dimension1.

Hinweis: Blatt 12.

Abgabe in der Vorlesungspause am 14.07.2014.

Besprechung in den Übungen vom 16.07.-18.07.2014.