Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 08.05.2017 Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich
4. ¨Ubungsblatt zu Algorithmen der Numerischen Mathematik
Aufgabe 11: Zeigen Sie: Ist B eine normale undA eine beliebige n×n Matrix, dann gibt es zu jedem Eigenwertλvon A einen Eigenwertµvon B mit
|λ−µ| ≤ ||A−B||2
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst: Ist λkein Eigenwert vonB, so gilt:
||(λI−B)−1||2 = 1
µ∈λ(B)min |λ−µ|.
Betrachten Sie dann f¨ur den zu λgeh¨orenden Eigenvektorx vonA den Vektor (A−B)x.
Aufgabe 12: (Kondition)
(a) Seiλeine einfache Nullstelle des charakterisitischen Polynoms vonA∈Rn×n. Zeigen Sie, dass die Konditionszahl des Eigenwerts λ von A existiert (d.h. u∗v 6= 0) und invariant ist unter unit¨aren ¨Ahnlichkeitstransformationen ist (d.h., dass der Eigenwert λder Matrix U∗AU mit unit¨arer MatrixU dieselbe Konditionszahl hat).
(b) Sei A ∈ Rn×n diagonalisierbar mit paarweise verschiedenen Eigenwerten λ1, . . . , λn und zu- geh¨origen Eigenvektorenv1, . . . , vnund Links-Eigenvektorenu∗1, . . . , u∗n. Sei weitersC∈Rn×n beliebig.
Zeigen Sie: Die MatrixA+εC hat die Eigenvektoren vj(ε) =vj+ε
n
X
i=1,i6=j
1 λj−λi
u∗iCvj u∗ivi
vi+O(ε2)
Hinweis: Dr¨ucken Sie vj0(0) als Linearkombination der vi aus. Benutzen Sie zur Bestimmung der Koeffizienten vonvi (i6=j), dassu∗ivj = 0 f¨uri6=j(warum?). Betrachten Sie ein geeignet skaliertesvj(ε), um auch den Koeffizienten vonvj wie behauptet zu bekommen.
Aufgabe 13: Berechnen Sie die Eigenwerte der n×nMatrix ˜A=A+εC mit
A=
0 1 0 . . . 0 0 0 . .. ... ...
... . .. ... ... ...
... . . . ... 0 1 0 . . . 0 0
, C= ˆeneˆT1.
Was ergibt sich f¨urn= 8 und ε= 10−8?
Aufgabe 14: (Satz von Gerschgorin)
(a) Zeigen Sie: Die Vereinigung aller Kreisscheiben
Ki={µ∈C: |µ−ai,i| ≤
n
X
k=1k6=i
|ai,k|}
enth¨alt alle Eigenwerte der n×n MatrixA= (ai,j).
Hinweis: Betrachten Sie die GleichungAx=λxkomponentenweise.
(b) Zeichnen Sie alle Gerschgorin-Kreise der Matrix
A=
3 1 1 0 6 4 1 2 10
.
Uberlegen Sie sich, wie Sie die Menge der m¨¨ oglichen Eigenwerte weiter einschr¨anken k¨onnen.
Besprechung in den ¨Ubungen am 16.05.2017 Ansprechpartnerin: Sarah Eberle,
eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Donnerstag 9-10 Uhr
