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1 Das Lebesgue Integral 2

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Academic year: 2021

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Contents

1 Das Lebesgue Integral 2

1.1 Die erweiterte reelle Achse . . . . 2

1.2 Vektorverb¨ande von Funktionen . . . . 3

1.3 Der Vektorverband Z

0

( R ) der linearen Splinefunktionen . . . . 5

1.4 σ-Algebren und Treppenfunktionen . . . . 6

1.5 Elementarintegrale auf Vektorverb¨anden . . . . 9

1.6 Pr¨amaße und Elementarintegrale . . . 11

1.7 Die isotone H¨ ulle eines Vektorverbandes . . . 16

1.8 Die Erweiterung zum vollst¨andigen Lebesgue Integral . . . 18

1.9 Grenzwerts¨atze f¨ ur L -Integrale . . . 21

1.10 Lebesgue-Stieltjes Integrale . . . 25

2 Integrations- und Maßtheorie 29 2.1 L -Messbarkeit . . . 29

2.2 Das klassische Lebesgue-Maß λ in R

1

. . . 31

2.3 A -Messbarkeit . . . 36

2.4 Nullmengen und Nullfunktionen . . . 39

2.5 Die R¨aume L

p

(µ), Konvergenzarten und Egoroff . . . 41

2.6 Produktintegrale und Produktmaße . . . 48

3 Differentiation von Maßen 56 3.1 Dichtefunktionen . . . 56

3.2 Signierte Maße, Hahn und Markov-Kakutani . . . 59

3.3 Der Satz von Radon-Nikodym . . . 64

3.4 Verteilungsfunktionen . . . 66

4 Verpflanzung von Maßen und Zufallsvariable 74 4.1 Messbare Abbildungen . . . 74

4.2 Verpflanzung von Maßen und Transformationsformel . . . 75

4.3 Zufallsvariable und deren Verteilungen . . . 77

5 Haarsche Maße auf kompakten Gruppen 80

5.1 Invariantes Integral und Haarsches Maß . . . 80

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