5 Maße mit Dichten

5 Maße mit Dichten

Seien (Ω,A, µ) ein Maßraum und f ∈ E^∗ = E^∗(Ω,A) (also ≥ 0, A-messbar) . Wir betrachten Maße der Form

ν(A) :=

Z

A

f dµ , A∈ A. (5.1)

ν gem¨aß (5.1) definiert f¨ur jedes feste f ∈ E^∗ ein neues Maß auf A (s.u.) . Dieses Maß ¨andert sich nicht, wenn man f auf

”Nullmengen“ (messbar) ab¨andert . Daher zun¨achst einige Vorbemerkungen :

Definition 5.1. (Eigenschaften µ-fast ¨uberall) Sei η eine

”Eigenschaft “ auf Ω (d.h. , η(ω) ist f¨ur jedes ω ∈ Ω eine logische Aussage, die

”wahr “ oder

”falsch “ ist). Man sagt: η gilt µ-fast ¨uberall (µ-f.¨u.) auf Ω :⇐⇒ ∃ µ-Nullmenge N ∈ A : η(ω)

”wahr “ ∀ ω ∈N^c. Man beachte , dass nicht gefordert wird :

M := {ω∈Ω|η(ω)

”falsch“ (gilt nicht)} ist µ-Nullmenge, denn m¨oglicherweise : M /∈ A.

Beispiel 5.1. Seien f, g: Ω →R (numerische) Funktionen.

a) f =g µ-f.¨u. ⇐⇒ ∃ N ∈ A, µ(N) = 0 : {f 6=g} ⊂N; Falls f, g messbar : µ({f 6=g}) = 0.

b) f µ-f.¨u. endlich ⇐⇒ ∃ N ∈ A, µ(N) = 0 : { |f| =∞} ⊂N; Falls f messbar : µ({ |f| =∞}) = 0.

Die obige Begriffsbildung ist f¨ur die Integrationstheorie von Bedeutung : Satz 5.1. Seien f, g : Ω→[0,∞], A-messbar . Dann gilt:

a) Z

f dµ= 0 ⇐⇒ f = 0 µ-f.¨u.; b)

Z

f dµ <∞ =⇒ f < ∞ µ-f.¨u.; c) f =g µ-f.¨u. =⇒

Z

f dµ= Z

gdµ;

d) f ≤g µ-f.¨u., g µ-integrierbar =⇒ f µ-integrierbar und Z

f dµ≤ Z

g dµ.

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F¨ur festes f ∈E^∗ (≥0, A-messbar ) sei nun ν wie in (5.1) definiert , also ν(A) =

Z

A

f dµ , A∈ A.

Satz 5.2. ν ist ein Maß auf A.

Definition 5.2. ν aus Satz 5.2 heißt Maß mit der Dichte f bez¨uglich µ; Schreibweise: ν=f µ .

Uber die Beziehung zwischen¨ ν- und µ-Integralen gilt :

Satz 5.3. Sei ν =f µ mit f ∈E^∗. Dann gilt: a) ϕ∈E^∗ =⇒

Z

ϕ dν = Z

(ϕf)dµ;

b) ϕ: Ω→R ν-integrierbar ⇐⇒ ϕ messbar, ϕf µ-integrierbar . Dann ebenfalls:

Z

ϕ d(f µ) = Z

(ϕf)dµ .

Bemerkung 5.1. Seien ν =f µ , λ=gν mit f, g ∈E^∗

=⇒ λ= (gf)µ , d.h. g(f µ) = (gf)µ .

Satz 5.4. (Eindeutigkeit der Dichte) Seien f, g ∈E^∗. Dann gilt:

a) f = g µ−f.¨u. =⇒ f µ = gµ;

b) f µ = gµ, f µ-integrierbar =⇒ f = g µ-f.¨u.; c) f µ = gµ, µ σ-endlich =⇒ f = g µ-f.¨u.

Schreibweise : Falls ν =f µ und f µ-f.¨u. eindeutig : f = dν

dµ ( Radon-Nikodym-Ableitung ) . Bemerkung 5.2.

a) µ σ-endlich

⇐⇒ ∃ µ-integrierbare Funktion h: 0 < h(ω)<∞ ∀ω ∈Ω. b) Sei ν =f µ , f ∈E^∗, µ σ-endich . Dann gilt :

ν σ-endlich ⇐⇒ f µ-f.¨u. endlich . 34

F¨ur zwei Maße µ , ν auf einer σ-Algebra A soll nun untersucht werden, unter welchen Bedingungen ν eine Dichte f bez¨uglich µ besitzt. Notwendig ist , dass jede µ-Null- menge auch ν-Nullmenge ist , denn

ν =f µ , µ(A) = 0 =⇒ ν(A) = Z

f IAdµ= 0, da f IA= 0 µ-f.¨u.

Definition 5.3. Seien µ , ν Maße auf A. Dann heißt ν stetig bez¨uglich µ (dominiert durch µ; kurz: µ-stetig), wenn aus µ(A) = 0 (A ∈ A) stets ν(A) = 0 folgt .

Schreibweise: ν≪µ .

Bemerkung 5.3. Die Stetigkeitseigenschaft wird besonders deutlich , wenn ν ein endliches Maß ist (z.B. W-Maß). Dann gilt n¨amlich :

ν ≪µ ⇐⇒ ∀ ε >0 ∃ δ >0 : µ(A)≤δ, A∈ A =⇒ ν(A)≤ε .

Zum Beweis der Bemerkung 5.3 benutzen wir das Lemma von Fatou , das unmittelbar aus dem Satz von der monotonen Konvergenz (B. Levi) folgt und auch f¨ur sp¨atere Konvergenzs¨atze von Bedeutung sein wird :

Lemma 5.1. (Fatou) F¨ur jede Folge {fn}n=1,2,... ⊂E^∗ (also fn ≥0, A-messbar) gilt:

Z

lim inf

n→∞ fndµ ≤ lim inf

n→∞

Z

fndµ .

Zur Existenz von Dichten ( von ν bez¨uglich µ) :

Die Bedingung ν ≪µ ist notwendig , aber i.A. nicht hinreichend .

Beispiel 5.2. Seien Ω ¨uberabz¨ahlbar , A = {A ⊂ Ω|A oder A^c abz¨ahlbar}, µ(A) = |A| (Z¨ahlmaß) , ν(A) = 0 (A abz¨ahlbar) ,ν(A) = ∞ (A^c abz¨ahlbar) . Dann gilt :

ν ≪µ , aber ν besitzt keine Dichte bzgl. µ .

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Es gilt jedoch der folgende Satz :

Satz 5.5. (Radon-Nikodym) Seien (Ω,A) ein Messraum , µ , ν Maße auf A, µ σ-endlich . Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

a) ν ≪µ;

b) ∃ f ∈E^∗ : ν =f µ .

Lemma 5.2. Seien τ , σ endliche Maße auf A mit τ(Ω)> σ(Ω)

=⇒ ∃ Ω⁰ ∈ A: (i) τ(Ω⁰) > σ(Ω⁰) ;

(ii) τ(A) ≥ σ(A) ∀ A∈Ω⁰∩ A.

Definition 5.4. Die (wegen Satz 5.4 c) ) µ-f.¨u. eindeutig bestimmte Dichte f aus Satz 5.5 heißt Radon-Nikodym-Dichte (-Ableitung) von ν bez¨uglich µ; Schreibweise: f = dν

dµ µ-f.¨u.

Beispiel 5.3. Sei ν ein W-Maß auf B¹ mit VF. F und µ = λ¹. Ist F stetig differenzierbar , so gilt :

dν

dµ = f := F^′ µ-f.¨u.

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