Zentral¨ubung 06.06.2019: Pumping-Lemma f¨ur CFLs, Ogdens Lemma, CYK-Algorithmus

(1)

Formale Sprachen und Komplexit¨ at

Sommersemester 2019

Zentral¨ ubung 06.06.2019:

Pumping-Lemma f¨ ur CFLs, Ogdens Lemma, CYK-Algorithmus

Prof. Dr. David Sabel

LFE Theoretische Informatik

(2)

Wiederholung: Das Pumping-Lemma f¨ ur CFLs

Lemma (Pumping-Lemma f¨ ur CFLs)

Sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine Zahl n ∈ N

>0

, sodass jedes Wort z ∈ L, das Mindestl¨ ange n hat (d. h. |z| ≥ n), als z = uvwxy geschrieben werden kann, so dass gilt:

|vx| ≥ 1

|vwx| ≤ n

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

ⁱ

wx

ⁱ

y ∈ L.

(3)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft: Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1. Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(4)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(5)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(6)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(7)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(8)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(9)

Beispiel

Aufgabe

Sei L = {ww | w ∈ {a, b}

^∗

} wobei w das Wort w r¨ uckw¨ arts gelesen ist.

1

Zeige, dass L kontextfrei ist.

2

Zeige, dass L die Pumping-Eigenschaft erf¨ ullt.

1) Die CFG G = ({S}, {a, b}, {S → aSa | bSb | ε}, S) erzeugt L.

2) L erf¨ ullt die Pumping-Eigenschaft:

Wir w¨ ahlen n = 2.

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2. Dann ist z = a

1

· · · a

_k

a

_k

· · · a

1

mit k ≥ 1.

Zerlege z = uvwxy mit

u = a

₁

· · · a

k−1

, v = a

_k

, w = ε, x = a

_k

, y = a

k−1

· · · a

₁

|vwx| = 2 ≥ n und |vx| = 2 ≥ 1

Dann gilt uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

1

· · · a

k−1

a

ⁱ_k

a

ⁱ_k

a

k−1

· · · a

1

∈ L f¨ ur alle i ∈ N

(10)

Kontextfreiheit Widerlegen mit Pumping-Lemma als Spiel

Sei L die formale Sprache.

1

Der Gegner w¨ ahlt die Zahl n ∈ N

>0

.

2

Wir w¨ ahlen das Wort z ∈ L mit |z| ≥ n.

3

Der Gegner w¨ ahlt die Zerlegung

z = uvwxy mit |vx| ≥ 1 und |vwx| ≤ n

4

Wir gewinnen das Spiel, wenn wir ein i ≥ 0 angeben k¨ onnen, sodass uv

ⁱ

wx

ⁱ

w 6∈ L.

Wenn wir f¨ ur jede Wahl des Gegners das Spiel gewinnen

k¨ onnen, dann haben wir gezeigt, dass L nicht kontextfrei ist.

(11)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt). Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(12)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(13)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(14)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(15)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(16)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(17)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(18)

Aufgabe

Zeige, dass L = {a

^m

ba

^m

ba

^m

| m ∈ N } nicht kontextfrei ist.

Beweis mit Pumping-Lemma:

Sei n beliebig. (vom Gegner gew¨ ahlt).

Wir w¨ ahlen z = a

ⁿ

ba

ⁿ

ba

ⁿ

Sei z = uvwxy mit |vwx| ≤ n und |vx| ≥ 1 (vom Gegner zerlegt) Dann kann vwx nicht zwei b

⁰

s enthalten.

Fall: vx enth¨ alt ein b. Dann kann uv

⁰

wx

⁰

y nicht in L liegen, da das b entfernt wurde.

Fall vx enth¨ alt kein b. Dann uv

²

wx

²

y 6∈ L, da maximal zwei

a-Folgen aufgepumpt wurden, die dritte a-Folge aber noch aus n

vielen a’s besteht (und die Trennung durch b noch vorhanden ist).

(19)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) die Pumping-Eigenschaft f¨ ur CFLs erf¨ ullt.

W¨ ahle n = 4, sei z ∈ L mit |z| ≥ 4 mit z = a

1

· · · a

|z|

. Fall: z ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

)

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

₁

, y = a

₂

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und

uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ₁

y ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) f¨ ur alle i ∈ N . Fall: z ∈ {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N }

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

1

= a,

y = a

2

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ

y ∈ L f¨ ur alle i ∈ N .

Aber: L ist nicht kontextfrei (wird gleich gezeigt)!

(20)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) die Pumping-Eigenschaft f¨ ur CFLs erf¨ ullt.

W¨ ahle n = 4, sei z ∈ L mit |z| ≥ 4 mit z = a

1

· · · a

|z|

. Fall: z ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

)

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

₁

, y = a

₂

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und

uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ₁

y ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) f¨ ur alle i ∈ N . Fall: z ∈ {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N }

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

1

= a,

y = a

2

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ

y ∈ L f¨ ur alle i ∈ N .

Aber: L ist nicht kontextfrei (wird gleich gezeigt)!

(21)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) die Pumping-Eigenschaft f¨ ur CFLs erf¨ ullt.

W¨ ahle n = 4, sei z ∈ L mit |z| ≥ 4 mit z = a

1

· · · a

|z|

. Fall: z ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

)

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

₁

, y = a

₂

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und

uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ₁

y ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) f¨ ur alle i ∈ N . Fall: z ∈ {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N }

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

1

= a,

y = a

2

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ

y ∈ L f¨ ur alle i ∈ N .

Aber: L ist nicht kontextfrei (wird gleich gezeigt)!

(22)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) die Pumping-Eigenschaft f¨ ur CFLs erf¨ ullt.

W¨ ahle n = 4, sei z ∈ L mit |z| ≥ 4 mit z = a

1

· · · a

|z|

. Fall: z ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

)

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

₁

, y = a

₂

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und

uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ₁

y ∈ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) f¨ ur alle i ∈ N . Fall: z ∈ {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N }

W¨ ahle die Zerlegung u = v = w = ε, x = a

1

= a,

y = a

2

· · · a

_|z|

. Dann gilt z = uvwxy, |vx| ≥ 1, |vwx| ≤ 4 und uv

ⁱ

wx

ⁱ

y = a

ⁱ

y ∈ L f¨ ur alle i ∈ N .

Aber: L ist nicht kontextfrei (wird gleich gezeigt)!

(23)

Ogdens Lemma

Verallgemeinerung des Pumping-Lemmas f¨ ur CFLs: Das sogenannte Ogdens Lemma

benannt nach William Ogden Ogdens Lemma

Sei L eine kontextfreie Sprache. Dann gibt es eine Zahl n ∈ N

>0

, sodass jedes Wort z ∈ L, das Mindestl¨ ange n hat und in dem mindestens n Zeichen markiert sind, als z = uvwxy geschrieben werden kann, so dass gilt:

vx enth¨ alt mindestens ein markiertes Zeichen

vwx enth¨ alt h¨ ochstens n markierte Zeichen

f¨ ur alle i ≥ 0: uv

ⁱ

wx

ⁱ

y ∈ L.

(24)

Ogdens Lemma: Beweis

Sei L kontextfrei und G = (V, Σ, P, S) eine CFG in Chomsky-NF mit L(G) = L \ {ε}

Sei z ∈ L mit |z| ≥ 2

^|V^|+1

= n Seien ≥ n Zeichen in z markiert.

Syntaxbaum ist bis auf letzte Schicht (A → a) Bin¨ arbaum.

S

| {z }

z

xx x x

W¨ ahle Pfad im Syntaxbaum: F¨ ur Knoten mit A markiert, und Kindern B und C, w¨ ahle den Teilbaum, dessen zugeh¨ origes Wort mehr markierte Zeichen enh¨ alt.

Ein Knoten ist ein Verzweigungsknoten, wenn die zu beiden Kindern zugeh¨ origen Worte noch markierte Zeichen enthalten

A

B C

x

x x x x

(25)

Ogdens Lemma: Beweis (2)

Nach jedem Verzweigungsknoten ist die Menge der markierten Buchstaben h¨ ochstens halbiert

Daher hat der gew¨ ahlte Pfad ≥ |V | + 1 Verzweigungsknoten.

Betrachte Teilpfad von unten, der genau

|V | + 1 Verzweigungsknoten enth¨ alt.

Dort wird eine Variable A ∈ V doppelt besucht.

Das induziert Zerlegung z = uvwxy, wobei das obere A den Teilbaum T

_vwx

und das untere A den Teilbaum T

w

erzeugt.

T

w

kann nur im linken oder im rechten Unterbaum von T

vwx

liegen, aber beide Unterb¨ aume enthalten noch Markierungen (da A ein Verzweigungsknoten ist)

S

A A

| {z }

z

u v w x y

Daher enth¨ alt vx mindestens ein markiertes Zeichen

(26)

Ogdens Lemma: Beweis (3)

Der Pfad vom oberen A aus enth¨ alt |V | + 1 Verzweigungsknoten und kann daher maximal 2

^|V^|+1

= n Zeichen markieren.

Daher enth¨ alt vwx maximal n markierte Zeichen.

uv

ⁱ

wx

ⁱ

y ∈ L(G) da S ⇒

^∗_G

uAv, A ⇒

^∗_G

vAx und A ⇒

^∗_G

w.

S

A A

| {z }

z

u v w x y

(27)

Pumping-Lemma ist Spezialfall von Ogdens Lemma

Satz

Das Pumping-Lemma f¨ ur CFLs ist ein Spezialfall von Ogdens Lemma.

Beweis:

Markiere alle Zeichen in z (anstelle von mindestens n), dann erh¨ alt

man das Pumping-Lemma f¨ ur CFLs.

(28)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) nicht kontextfrei ist, durch Verwendung von Ogdens Lemma.

Beweis:

Sei n ∈ N

>0

. Wir w¨ ahlen z = ab

ⁿ

c

ⁿ

d

ⁿ

∈ L und markieren das Teilwort bc

ⁿ

d.

Sei z = uvwxy, wobei vx mindestens eines und vwx h¨ ochstens n markierte Zeichen enh¨ alt.

Teilwort vwx enth¨ alt nicht b’s, c’s und d’s

Daher uv

²

wx

²

y 6∈ L da dort die Anzahl an b’s, c’s und d’s

nicht gleich sein kann, und das Wort mit a beginnt.

(29)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) nicht kontextfrei ist, durch Verwendung von Ogdens Lemma.

Beweis:

Sei n ∈ N

>0

. Wir w¨ ahlen z = ab

ⁿ

c

ⁿ

d

ⁿ

∈ L und markieren das Teilwort bc

ⁿ

d.

Sei z = uvwxy, wobei vx mindestens eines und vwx h¨ ochstens n markierte Zeichen enh¨ alt.

Teilwort vwx enth¨ alt nicht b’s, c’s und d’s

Daher uv

²

wx

²

y 6∈ L da dort die Anzahl an b’s, c’s und d’s

nicht gleich sein kann, und das Wort mit a beginnt.

(30)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) nicht kontextfrei ist, durch Verwendung von Ogdens Lemma.

Beweis:

Sei n ∈ N

>0

. Wir w¨ ahlen z = ab

ⁿ

c

ⁿ

d

ⁿ

∈ L und markieren das Teilwort bc

ⁿ

d.

Sei z = uvwxy, wobei vx mindestens eines und vwx h¨ ochstens n markierte Zeichen enh¨ alt.

Teilwort vwx enth¨ alt nicht b’s, c’s und d’s

Daher uv

²

wx

²

y 6∈ L da dort die Anzahl an b’s, c’s und d’s

nicht gleich sein kann, und das Wort mit a beginnt.

(31)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) nicht kontextfrei ist, durch Verwendung von Ogdens Lemma.

Beweis:

Sei n ∈ N

>0

. Wir w¨ ahlen z = ab

ⁿ

c

ⁿ

d

ⁿ

∈ L und markieren das Teilwort bc

ⁿ

d.

Sei z = uvwxy, wobei vx mindestens eines und vwx h¨ ochstens n markierte Zeichen enh¨ alt.

Teilwort vwx enth¨ alt nicht b’s, c’s und d’s

Daher uv

²

wx

²

y 6∈ L da dort die Anzahl an b’s, c’s und d’s

nicht gleich sein kann, und das Wort mit a beginnt.

(32)

Aufgabe

Zeige, dass die Sprache

L = {a

ⁱ

b

^j

c

^j

d

^j

| i ∈ N

>0

, j ∈ N } ∪ ({b}

^∗

{c}

^∗

{d}

^∗

) nicht kontextfrei ist, durch Verwendung von Ogdens Lemma.

Beweis:

Sei n ∈ N

>0

. Wir w¨ ahlen z = ab

ⁿ

c

ⁿ

d

ⁿ

∈ L und markieren das Teilwort bc

ⁿ

d.

Sei z = uvwxy, wobei vx mindestens eines und vwx h¨ ochstens n markierte Zeichen enh¨ alt.

Teilwort vwx enth¨ alt nicht b’s, c’s und d’s

Daher uv

²

wx

²

y 6∈ L da dort die Anzahl an b’s, c’s und d’s

nicht gleich sein kann, und das Wort mit a beginnt.

(33)

Algorithmus 8: CYK-Algorithmus

Eingabe: CFG G = (V, Σ, P, S) in Chomsky-NF und Wort w = a

₁

· · · a

_n

∈ Σ

^∗

Ausgabe: Ja, wenn w ∈ L(G) und Nein, wenn w 6∈ L(G)

Beginn

f¨ ur i = 1 bis n tue

V (i, 1) = {A ∈ V | A → a

i

∈ P } f¨ ur j = 2 bis n tue

f¨ ur i = 1 bis n + 1 − j tue V (i, j) = ∅;

f¨ ur k = 1 bis j − 1 tue V (i, j) = V (i, j) ∪







A → BC ∈ P, A ∈ V B ∈ V (i, k),

C ∈ V (i + k, j − k)







wenn S ∈ V (1, n) dann return Ja

sonst

return Nein

(34)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(35)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(36)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D 3

∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(37)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(38)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D 5

∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(39)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(40)

Aufgabe

Sei G = ({S, A, B, C, D, E}, {a, b}, P, S) wobei P :

S → SE | AB | CE, A → a, B → b C → AB | DD, D → AB | ED, E → AB

Verwende den CYK-Algorithmus, um zu entscheiden, ob ababab ∈ L gilt

a b a b a b

i

j 1 2 3 4 5 6

1 A B A B A B

2 S, E, C, D ∅ S, E, C, D ∅ S, E, C, D

3 ∅ ∅ ∅ ∅

4 S, C, D ∅ S, C, D

5 ∅ ∅

6 D, S, C

Da S ∈ V (1, 6) ist ababab ∈ L

(41)