Di ff erenzierbare Funktionen

Übungsaufgaben 6

Di ff erenzierbare Funktionen

Aufgabe 1. Seiena b > 0undı D p

a² b² 0gegeben sowie die Ellipse mit den Brennpunktenz_C D .ı; 0/ 2 C undz D . ı; 0/ 2 Csowie den Halbachsena undbdurch die Funktionf WŒ0; 2!Cbeschrieben, welche durch

f .t /D.acost; bsint / fürt 2Œ0; 2

definiert wird. Sei ferner 2 Œ0; 2ein beliebig fixierter Punkt.

1. Man weise nach, daßjf . / z_Cj C jf . / z j D2agilt, somit die Kreislinien

˚x 2Cj jx z j D2a und ˚

x2 Cj jx f . /j D jzC f . /j genau einen Punktx_C 2Cund die Kreislinien

˚x 2Cj jx z_Cj D2a und ˚

x 2Cj jx f . /j D jz f . /j genau einen Punktx 2Cgemeinsam haben!

2. Wird die Linearisierungg WR!C, welchef in tangential berührt, durch g.t /Df . /CDf . /.t / fürt 2 R

gegeben, so zeige man, daß es Punktet_C 2 Rundt 2 Rmitg.t_C/ D ¹₂.x_CCz_C/ undg.t /D ¹₂.x Cz /gibt und außerdemjg.t_C/j D jg.t /j Dagilt! ³

f . /

0 z_C

z x

x_C

2

Aufgabe 2. Seien die IntervalleX1 D  1; 1Œ,X2 D 1; 1ŒundX3 D1;1Œund die Funktionenf WR!Rsowieg WX1[X2[X3!Rwie folgt definiert:

f .x/Darctanx fürx2 R; g.x/D 1

2arctan 2x

1 x² fürx 2X1[X2[X3: 1. Man weise nach, daßDf .x/DDg.x/für allex 2X1[X2[X3gilt!

2. Man zeige, daß es Konstantena1,a2,a3 2Rgibt, so daß für jedes`2 f1; 2; 3g f .x/ g.x/Da` für allex 2X`

gilt und berechne diese Konstantena1,a2,a3 2R! ±

Aufgabe 3. Man zeige durch vollständige Induktion über` 2N[ f0gund Differen- tiation, daß die Reihe

Pn kD0

`Ck

`

x^k

für jedesx 2K,jxj< 1gegen die Summe

1

X

kD0

`Ck

`

x^k D 1

.1 x/^`C1

konvergiert! ±