Universität Tübingen Mathematisches Institut
Prof. Dr. Christian Lubich Tübingen, den 02.12.2013
8. Übungsblatt zur Analysis I
Aufgabe 43: Sei f : [0,1]→R,g:R→R,h: [−1,1]→R, undu: [0, π]→R, mit f(x) =x·sin(1/x)−2x, fallsx6= 0 und f(0) = 0,
g(x) = sin(1/x), fallsx6= 0 und g(0) = 0.
h(x) = (1/x)·sin(1/x), fallsx6= 0und h(0) = 0 u(x) = (1/√
sinx)−1, fallsx6= 0,x6=π undu(0) =u(π) = 0.
Welche Funktionen sind stetig ? Welche haben ein Maximum und welche haben ein Minimum im Definiti- onsbereich ?
Aufgabe 44: Zeigen Sie, daß die Funktionen
cos :R→R, cos(x) =
∞
X
n=0
(−1)n x2n (2n)!, sin :R→R, sin(x) =
∞
X
n=0
(−1)n x2n+1 (2n+ 1)!
stetig sind.
Aufgabe 45: Zeigen Sie, daß die Funktionen
arcsin : (−1,1)→R, arcsin(x) =x+1 2
x3
3 + 1·3 2·4
x5
5 +1·3·5 2·4·6
x7 7 +..., arctan : (−1,1)→R, arctan(x) =x−x3
3 +x5 5 −x7
7 +...
stetig sind.
Aufgabe 46: Sei f : [a, b]→[a, b]stetig. Zeigen Sie, dass f dann einen Fixpunkt hat, d.h. es gibt ein c∈[a, b], sodaß f(c) =c.
Hinweis: Betrachten Sie g(x) =f(x)−x.
Aufgabe 47: Seif : [0,2]→Rstetig mitf(0) =f(2). Zeigen Sie, daß es einc∈[0,1]gibt, sodaßf(c) = f(c+ 1).
Aufgabe 48: Seif : [0,1]→ [0,1]stetig und(xn) eine Folge mit xn∈[0,1]. Zeigen Sie, daß es für alle n∈Neincn∈[0,1]gibt, sodaß
f(cn) = 1
n[f(x1) +. . .+f(xn)].
Zeigen Sie dann mithilfe von Cesaro, daß die Bijektivität vonf zusammen mit der Konvergenz von(xn)die Konvergenz von(cn) impliziert.
Abgabe in der Vorlesungspause am 09.12.2013.
Besprechung in den Übungen vom 11.12.-13.12.2013.
