Mehrmals di ff erenzierbare Funktionen

Vorlesung 10

Mehrmals di ff erenzierbare Funktionen

Es werden höhere Differenzierbarkeitsbegriffe für Funktionen f W X ! L einge- führt, welche auf einer TeilmengeX Kdes KörpersK2 fR;Cgdefiniert sind, der im KörperL2 fR;Cgenthalten ist.

Mehrmals differenzierbare Funktionen. Sein2N mitn2vorgegeben.

1. Man nennt eine Funktionf W X ! Ln-mal differenzierbar inx0 2 X, wennf .n 1/-mal differenzierbar und die.n 1/-te AbleitungD^{n 1}f WX !Lvonf inx0

differenzierbar ist. Die Ableitung der.n 1/-ten AbleitungD^{n 1}f W X ! Lvonf inx0wirdn-te AbleitungDⁿf .x0/2 Lvonf inx0genannt.

2. Die Funktionf W X ! Lheißtn-mal differenzierbar, wennf eine .n 1/-mal differenzierbare Funktion und deren .n 1/-te Ableitung D^{n 1}f W X ! L diffe- renzierbar ist. Diejenige Funktion Dⁿf W X ! L, welche jedem x0 2 X die n-te AbleitungDⁿf .x0/2Lvonf inx0zuordnet, heißtn-te Ableitung vonf.

3. Eine Funktionf W X ! Lwirdunendlichmal differenzierbargenannt, wenn sie für jedesn2N n-mal differenzierbar ist.

Berührung höherer Ordnung. Sind die Funktionenf,hWX !Lfür einn2 N in x0 2 X n-mal differenzierbar und giltD^kf .x0/D D^kh.x0/für allek 2 f0; 1; : : : ; ng, dann habenf undhinx0 2X einetangentiale Berührung mindestensn-ter Ordnung.

Operationen mit mehrmals differenzierbaren Funktionen. Sind die Funktionen f,h WX !Lfür ein n 2 N inx0 2 X n-mal differenzierbar, dann sind die Summe f Chund das Produktf hinx0ebenfallsn-mal differenzierbar, und es gelten

Dⁿ.f Ch/.x0/DDⁿf .x0/CDⁿh.x0/2L;

Dⁿ.f h/.x0/D

n

X

kD0

n k

D^kf .x0/D^{n k}h.x0/2 L:

Taylor-Formel für ganze rationale Funktionen. Seien m 2 N, x0 2 K sowie a0; : : : ; am 2 K. Für jedesn2 f0; 1; : : : ; mghat die durchf .x/ DPm

kD0ak.x x0/^k fürx 2Kdefinierte ganze rationale Funktionf WK!Kinx 2Kdien-te Ableitung

Dⁿf .x/D

m

X

kDn

k n

nŠ ak.x x0/^{k n} 2K;

woraus sich für x D x0 offenbar Dⁿf .x0/ D nŠ an 2 K ergibt. Daraus folgt die Darstellung der ganzen rationalen Funktionf durch die Taylor-Formel

f .x/D

m

X

kD0

D^kf .x0/

kŠ .x x0/^k für allex 2K:

2

Taylor-Entwicklung mit Restabschätzung. Seienx,x0 2 Kmitx ¤ x0 und eine die StreckeS D˚

.1 /xC x0 2Kj 2Œ0; 1 umfassende MengeX Kgegeben.

1. Sindn2 N[ f0gundf WX !L.nC1/-mal differenzierbar, dann ist die durch g.z/D

n

X

kD0

D^kf .z/

kŠ .x z/^k 2L fürz 2X

definierte FunktiongWX !Ldifferenzierbar. Produkt- und Kettenregel liefern Dg.z/D

n

X

kD0

D^kC1f .z/

kŠ .x z/^k

n

X

kD1

D^kf .z/

kŠ k.x z/^{k 1}

D

nC1

X

kD1

D^kf .z/

.k 1/Š.x z/^{k 1}

n

X

kD1

D^kf .z/

.k 1/Š.x z/^{k 1} D D^nC1f .z/

nŠ .x z/ⁿ für jedesz 2 X. Da jg.x/ g.x0/j jx x0jsup_z2SjDg.z/j aufgrund des Mittel- wertsatzes gilt, erhält man wegeng.x/Df .x/die Restabschätzung

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

f .x/

n

X

kD0

D^kf .x0/

kŠ .x x0/^k ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

1

nŠjx x0j^nC1sup

z2S

jD^nC1f .z/j

für dieTaylor-Entwicklung vonf im Punktx 2Xum den Entwicklungspunktx0 2X.

2. Ist die Funktionf WX !Lunendlichmal differenzierbar und gilt

nlim!1

1

nŠ jx x0j^nC1sup

z2SjD^nC1f .z/j D0;

so konvergiert dieTaylor-Reihe Pn kD0

1

kŠD^kf .x0/.x x0/^k

vonf im Punktx 2 X um den Entwicklungspunktx0 2X gegen den Grenzwertf .x/2L.

Taylor-Reihen für Sinus und Cosinus. 1. Für alle,x 2Rgelten die Beziehungen sin sinx D2cosCx

2 sin x

2 und cos cosxD 2sinCx

2 sin x 2 : Wegen der Stetigkeit dieser Funktionen und der Beziehung lim!0 sin

D 1 folgt daraus deren Differenzierbarkeit, denn man erhält für jedesx 2Rdie Ableitungen

Dsin.x/D lim

!x

sin sinx

x Dcosx und Dcos.x/D lim

!x

cos cosx

x D sinx

und damit sogar diek-malige Differenzierbarkeit für allek 2N[ f0gvermöge D^ksin.x/Dsin xC^k₂

sowie D^kcos.x/Dcos xC ^k₂ :

2. Wegen der BeschränkheitjD^ksin.x/j 1sowiejD^kcos.x/j 1 für allex 2 R und jedesk 2 N [ f0g konvergiert die Taylor-Reihe Pn

kD0 1

.2kC1/Š. 1/^kx^2kC1 bzw.

Pn kD0

1

.2k/Š. 1/^kx^2k

von Sinus bzw. Cosinus im Punktx2 Rum den Entwicklungs- punktx0 D0jeweils gegen den Grenzwert sinx 2Rbzw. cosx 2R.