Vorlesung 9
Di ff erenzierbare Funktionen
Es wird der Begriffder Differenzierbarkeit von Funktionen f W X ! Leingeführt, welche auf einer TeilmengeX K des KörpersK 2 fR;Cg definiert sind, der im KörperL2 fR;Cgenthalten ist.
Differenzierbarkeit. 1. Eine Funktionf W X ! Lheißtdifferenzierbar in x0 2 X, wennx0ein Häufungspunkt vonXist und der Grenzwert
xlim!x0
f .x/ f .x0/ x x0
DDf .x0/2 L
existiert. Dieser GrenzwertDf .x0/2 LheißtAbleitung vonf inx0 2X.
2. Wenn die Funktion f W X ! L in x0 2 X differenzierbar ist, dann ist die Funktionf inx0auch stetig.
3. Die Funktionf WX !Lheißtdifferenzierbar, wenn sie differenzierbar in jedem Punktx0 2 X ist. Diejenige FunktionDf WX !L, die jedemx0 2X die Ableitung Df .x0/2Lzuordnet, wirdAbleitung vonf genannt.
Linearisierung. Ist die Funktionf WX !Linx0 2 X differenzierbar, dann erhält man für die durch
g.x/Df .x0/CDf .x0/.x x0/ fürx 2K
definierteLinearisierungg WK!Lvonf inx02 Xdie Grenzwertbeziehung
xlim!x0
g.x/ g.x0/
x x0 DDg.x0/DDf .x0/D lim
x!x0
f .x/ f .x0/ x x0
dertangentialen Berührung vonf undginx0 2X.
Rechtsseitige Differenzierbarkeit. IstX Reine Teilmenge, dann nennt man eine Funktionf W X ! Lrechtsseitig differenzierbar in x0 2 X, wennx0 ein Häufungs- punkt vonX \Œx0;1Œist und der rechtsseitige Grenzwert
xlim#x0
f .x/ f .x0/
x x0 DD˚f .x0/2L
existiert. Dieser Grenzwert heißtrechtsseitige Ableitung vonf inx0 2X.
Linksseitige Differenzierbarkeit. IstX Reine Teilmenge, dann heißt eine Funk- tionf W X ! Llinksseitig differenzierbar in x0 2 X, wenn x0 ein Häufungspunkt vonX \ 1; x0ist und der linksseitige Grenzwert
xlim"x0
f .x/ f .x0/ x x0
DD f .x0/2L
existiert. Dieser Grenzwert wirdlinksseitige Ableitung vonf inx0 2X genannt.
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Operationen mit differenzierbaren Funktionen. Sind die Funktionenf WX !L undhWX !Lim Punktx02 X differenzierbar, dann gilt:
1. Die Summef Chund das Produktf hsind inx0 differenzierbar, und es gelten D.f Ch/.x0/DDf .x0/CDh.x0/2L;
D.f h/.x0/Dh.x0/Df .x0/Cf .x0/Dh.x0/2L:
2. Im Falleh.x0/¤0ist der Quotient fh inx0differenzierbar, und es gilt D fh
.x0/D h.x0/Df .x0/ f .x0/Dh.x0/ h2.x0/ 2L:
Differenzierbarkeit rationaler Funktionen. 1. Für jedes a0 2 K hat die durch f0.x/Da0fürx 2Kdefinierte Funktionf0 WK!Kdie AbleitungDf0 D0.
2. Sei fürm 2 N die Funktionh W K ! K durchh.x/ D xm fürx 2 Kdefiniert.
Dann besitzthinx0 2Kwegen der binomischen Formel die Ableitung Dh.x0/D lim
x!x0
xm xm0 x x0
D lim
x!x0
m 1
X
kD0
xkx0m 1 k D
m 1
X
kD0
x0m 1 Dmx0m 1 2K:
Für die durchh.x/1 Dx mfürx 2Kn f0gdefinierte Funktion 1h WKn f0g !Kgilt D h1
.x0/D Dh.x0/
h2.x0/ D mx0m 1 2 K:
3. Fürm 2 N unda0,a1; : : : ; am 2Khat die durchf .x/D Pm
kD0akxk fürx 2K definierte ganze rationale Funktionf WK!Kinx02 Kdie Ableitung
Df .x0/D
m
X
kD1
kakx0k 1 D
m 1
X
kD0
.kC1/akC1x0k 2K:
Sind ferner` 2 N, b0, b1; : : : ; b` 2 K und eine MengeX Kgegeben, so daß die durchh.x/DP`
kD0bkxk fürx 2Xdefinierte FunktionhWX !KkeineNullstellen inX besitzt, so ist die gebrochene rationale Funktion fh WX !Kdifferenzierbar.
Kettenregel. Seien X K sowie f W X ! L eine in x0 2 X differenzierbare Funktion. IstY Lderart, daßf ŒX Y gilt sowieg WY !Meine inf .x0/2Y differenzierbare Funktion mit Werten in einemLumfassenden KörperM 2 fR;Cg, so ist die Verkettunggıf WX !Minx0 2X differenzierbar, und es gilt
D.gıf /.x0/DDg.f .x0//Df .x0/2M:
Ableitung der inversen Funktion. Seif W X ! K im Punktx0 2 X differenzier- bar, wobeiDf .x0/¤0gilt. Istf injektiv und die inverse Funktionf 1 Wf ŒX !K inf .x0/2Kstetig, dann istf 1 inf .x0/differenzierbar, und es gilt
D.f 1/.f .x0//D 1
Df .x0/ 2K:
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Differenzierbarkeit von Potenzfunktionen. 1. Sind X D 0;1Œsowieˇ 2 N ge- geben, so ist die durchf .x/ D xˇ fürx 2 X definierte Potenzfunktionf W X ! X bijektiv und differenzierbar, woraus die strenge Monotonie vonf folgt.
Damit ist auch die durchf 1./ Dpfür 2X undp D ˇ1 2Qdefinierte Inverse f 1 WX !X stetig, bijektiv und streng monoton. DaDf .x/Dˇxˇ 1 ¤0für jedes x2 Xgilt, istf 1 differenzierbar und hat für 2 XundxDp 2X die Ableitung
D.f 1/./D 1
Df .x/ D 1
ˇxˇ 1 Dpp.1 ˇ / Dpp 1 2X:
2. Ist ein weiterer Exponent˛2 Zsowie die Funktiong WX !Xdurchg.x/Dx˛ fürx 2 X gegeben, dann ist die durchh./ D .gıf 1/./ D ˛p D q für 2 X definierte Potenzfunktionh W X ! X mit dem rationalen Exponentenq D ˛p 2 Q differenzierbar, und die Kettenregel liefert die Ableitung
Dh./DDg.f 1.//D.f 1/./D˛p.˛ 1/pp 1 Dqq 1 2X:
Mittelwertsatz. Seienx,y 2Kzwei verschiedene Punkte undX Keine Teilmen- ge, welche die abgeschlossene StreckeS D ˚
.1 /xCy 2 K j 2 Œ0; 1 enthält.
Istf WX !Leine differenzierbare Funktion, dann gilt die Abschätzung jf .x/ f .y/j jx yj sup
z2SjDf .z/j:
Vertauschbarkeit von Grenzprozessen. Sei eine offene Menge X K und eine Folge.fn/differenzierbarer Funktionenfn W X !Lgegeben, so daß die Folge.fn/ punktweise gegen eine Grenzfunktionf WX !Lund die Folge.Dfn/der Ableitun- genDfnWX !Lpunktweise gegen eine GrenzfunktiongWX !Lkonvergiert.
Gibt es zu jedem x0 2X einr0 > 0, so daßB.x0/ D˚
x 2 K j jx x0j < r0 inX liegt und.Dfn/inB.x0/gleichmäßig gegeng WX !Lkonvergiert, dann konvergiert auch.fn/für jedesx0 2 X inB.x0/gleichmäßig gegenf W X !L. In diesem Falle ist die Grenzfunktionf WX !Ldifferenzierbar und besitzt die AbleitungDf Dg.
Differenzierbarkeit der Grenzfunktion von Potenzreihen. 1. Ist.sn/eine Potenz- reihe um den Mittelpunktx0 2 Kmit den Koeffizienten.ak/inKund dem Konver- genzradiusR > 0, so konvergiert .sn/in X D ˚
x 2 K j jx x0j < R gegen eine differenzierbare Grenzfunktions WX !K.
2. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/umx0 2 Kmit den Ko- effizienten..kC1/akC1/inKhat ebenfalls den KonvergenzradiusR > 0und konver- giert inX gegen die AbleitungDs WX !Kder Grenzfunktions WX !K.
3. Die Potenzreihe .fn/umx0 2 Kmit den Koeffizienten.bk/inK, welche durch kbk D ak 1 fürk 2 N sowie eine beliebige Konstante b0 2 K vorgegeben sind, hat ebenso den KonvergenzradiusR > 0und konvergiert inXgegen eine differenzierbare Grenzfunktionf WX !Kmit der AbleitungDf Ds.
