Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q.

2.2 Vektorfelder und dynamische Systeme

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q.

Definition

Sei U ⊂ X offen. Ein stetiger (bzw. differenzierbarer) Schnitt in E uber ¨ U ist eine stetige (bzw. differenzierbare) Abbildung s : U → E mit π

◦ s = id

. Die Menge aller differenzierbaren Schnitte in E ¨ uber U wird mit Γ(U, E) be- zeichnet.

2.2.1. Satz

Sei (ϕ

) ein System von Trivialisierungen f¨ ur E und (g

) das zugeh¨ orige System von ¨ Ubergangsfunktionen.

Ist s ∈ Γ(X, E), so gibt es ein System von differenzierbaren Funktionen s

: U

→ R

mit

ϕ

◦ s(x) = (x, s

(x)) f¨ ur x ∈ U

. Uber ¨ U

ist dann

s

(x)

= g

(x) · s

(x)

.

Jedes System von Funktionen s

, das die zweite Bedingung erf¨ ullt, bestimmt (¨ uber die erste Gleichung) einen differenzierbaren Schnitt in E.

Beweis: Die Existenz der Funktionen s

(mit s

(x) = pr

◦ ϕ

◦ s(x)) ist klar.

Und dann ist

(x, s

(x)

) = ϕ

◦ s(x) = (ϕ

◦ ϕ

) ◦ ϕ

◦ s(x)

= (ϕ

◦ ϕ

)(x, s

(x)

)

= (x, g

(x) · s

(x)

).

Ist umgekehrt das System der s

mit der obigen ¨ Ubergangsbedingung gegeben, so wird durch

s(x) := ϕ

(x, s

(x)) (¨ uber U

)

der Schnitt s definiert. Die Wohldefiniertheit folgt wie ¨ ublich aus der ¨ Ubergangs- bedingung.

Bemerkung: Ist U ⊂ X offen, so ist Γ(U, E) offensichtlich ein R -Vektorraum.

Ist f eine differenzierbare Funktion auf U und s ∈ Γ(U, E), so liegt f · s mit (f ·s)(x) := f (x)· s(x) wieder in Γ(U, E). Diese Multiplikation von differenzierbaren Funktionen mit Schnitten erf¨ ullt auch alle Eigenschaften, nur ist der Raum der differenzierbaren Funktionen auf U kein K¨ orper, sondern ein Ring. Man spricht dann von einer

” Modulstruktur“. Γ(U, E) ist ein C

(U )-Modul.

2.2.2. Beispiel

Sei E = T (X) das Tangentialb¨ undel von X. Ist U ⊂ X offen, so versteht man unter einem Vektorfeld auf U einen (differenzierbaren) Schnitt ξ ∈ X (U ) := Γ(U, T (X)).

Es wird dann jedem Punkt p ∈ U ein Tangentialvektor ξ

:= ξ(p) = X

ν

a

(p) ∂

∂x

∈ T

(X)

zugeordnet. Sei ϕ : T (X)|

→ U × R

eine von einer Karte (U, ψ) induzierte Trivialisierung. Dann ist

ϕ(ξ

) = ϕ X

ν

a

(p) ∂

∂x

= (p, a

(p), . . . , a

(p)

).

Ein Vektorfeld ξ auf U liefert folgendermaßen auch eine Abbildung L

: C

(U ) → C

(U ) :

( L

f )(p) := ξ

(f ).

Die Abbildung L

ist offensichtlich R -linear, und es gilt:

L

(f ·g)

(p) = ξ

(f g) = f (p) · ξ

(g) + ξ

(f) ·g(p) = f · ( L

g) + ( L

f )· g (p).

Also ist L

eine

” Derivation“ auf C

(U ). Man nennt L

(f ) auch die Lie- Ableitung von f in Richtung ξ.

Die Lie-Ableitung hat noch folgende Eigenschaften:

1. Ist c eine konstante Funktion auf U und ξ ∈ X (U ), so ist L

(c) ≡ 0.

2. Ist ξ ∈ X (U ), V ⊂ U offen, f ∈ C

(U ) und f |

= 0, so ist L

f |

= 0.

Beweis: Ubungsaufgabe! ¨

Definition

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q, U ⊂ X offen. Ein System S = {s

, . . . , s

} von Schnitten in E uber ¨ U heißt ein Rahmen oder eine Basis uber ¨ U, falls {s

(x), . . . , s

(x)} f¨ ur jedes x ∈ U eine Basis von E

ist.

Ist ϕ : E|

→ U × R

eine Trivialisierung, so erh¨ alt man durch s

(x) := ϕ

(x, e

) f¨ ur i = 1, . . . , q einen Rahmen f¨ ur E uber ¨ U.

Ist umgekehrt ein Rahmen {s

, . . . , s

} uber ¨ U gegeben, so kann man eine Trivia-

lisierung ϕ : E|

→ U × R

definieren durch

ϕ X

i=1

a

s

(x)

:= (x, (a

, . . . , a

)

).

Es ist noch die Differenzierbarkeit von ϕ zu zeigen: Dazu sei V ⊂ U offen und ψ : E|

→ V × R

eine lokale Trivialisierung. Es gibt dann differenzierbare Abbildungen s

= (s

, . . . , s

)

: V → R

mit

ψ ◦ s

(x) = x, s

(x)

f¨ ur i = 1, . . . , q.

Die Matrix S(x) := s

(x), . . . , s

(x)

∈ M

( R ) ist invertierbar und h¨ angt dif- ferenzierbar von x ∈ V ab. Die Cramer’sche Regel liefert f¨ ur jedes x ∈ V und je- des ν eine eindeutig bestimmte L¨ osung a

(x) = (a

(x), . . . , a

(x)) der Gleichung S(x) · a

(x) = e

, die ebenfalls differenzierbar von x abh¨ angt. Dann ist

ψ

(x, e

) = ψ

x,

q

X

i=1

a

(x)s

(x)

=

q

X

i=1

a

(x)s

(x), und f¨ ur A(x) := (a

, . . . , a

) gilt:

ϕ ◦ ψ

(x, c

) = ϕ X

ν=1

c

ψ

(x, e

)

= ϕ X

ν=1

c

q

X

i=1

a

(x)s

(x)

= ϕ

X

i=1 q

X

ν=1

a

(x)c

s

(x)

=

x,

q

X

ν=1

a

(x)c

, . . . ,

q

X

ν=1

a

(x)c

= (x, A(x) · c

).

Also ist ϕ differenzierbar.

Definition

Sei ξ ein Vektorfeld auf der Mannigfaltigkeit X. Eine Integralkurve von ξ durch x

∈ X ist ein stetig differenzierbarer Weg α : I → X mit folgenden Eigenschaf- ten:

1. I ist ein offenes Intervall, und es gibt ein t

∈ I mit α(t

) = x

.

2. Es ist α(t) =

α

(∂/∂t) = ξ

f¨ ur alle t ∈ I .

2.2.3. Satz (Translationsinvarianz)

Sei α : I → X eine Integralkurve des Vektorfeldes ξ. Dann ist f¨ ur jedes t

∈ R auch β(t) := α(t − t

) eine Integralkurve.

Beweis: Wir setzen s := t − t

. Dann ist

•

β(t) = α(s) =

ξ

= ξ

.

Sei x

∈ X und (U, ϕ) eine Karte in x

mit ϕ(x

) = 0. In den lokalen Koordinaten habe ξ die Gestalt

ξ|

=

n

X

ν=1

ξ

∂

∂x

. Setzt man dann F(x) := ξ

(ϕ

(x)), . . . , ξ

(ϕ

(x))

, so ist F : G := ϕ(U ) → R

differenzierbar. Ist y(t) L¨ osung der

” autonomen“ (d.h. zeitunabh¨ angigen) DGL y

= F(y) mit y(0) = 0,

so gilt f¨ ur α(t) := ϕ

(y(t)) :

α(t) = (ϕ

)

y

(t) = (ϕ

)

F(y(t))

=

n

X

ν=1

ξ

ϕ

(y(t)) ∂

∂x

=

n

X

ν=1

ξ

α(t) ∂

∂x

= ξ

, sowie α(0) = ϕ

(0) = x

.

Aus der Theorie der Differentialgleichungen folgt:

Sei ξ ein differenzierbares Vektorfeld auf X und x

∈ X. Dann gibt es eine Inte- gralkurve α : I → X von ξ mit 0 ∈ I und α(0) = x

. Ist β : J → X eine weitere Integralkurve von ξ mit 0 ∈ J und β(0) = x

, so stimmen α und β auf I ∩ J

¨ uberein.

Definition

Sei ξ ein Vektorfeld auf X. Ein lokaler Fluss von ξ in x

∈ X besteht aus einer offenen Umgebung B = B (x

) ⊂ X, einem ε > 0 (das auch = +∞ werden darf) und einer differenzierbaren Abbildung Φ : (−ε, ε) × B → X, so dass gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ B ist α

: (−ε, ε) → X mit α

(t) := Φ(t, x) eine Integralkurve von ξ mit α

(0) = x.

2. F¨ ur jedes t ∈ (−ε, ε) definiert Φ

(x) := Φ(t, x) einen Diffeomorphismus Φ

von B auf eine offene Menge Φ

(B) ⊂ X.

Ist der lokale Fluss Φ : (−ε, ε) × B → X gegeben, so gewinnt man das zugeh¨ orige Vektorfeld ξ

auf B durch

ξ

(x) := d dt

Φ

(x) ( = α

(0) ).

Ist umgekehrt das Vektorfeld ξ auf X gegeben, so liefert der erweiterte Existenzsatz (siehe Analysis 3, 2.2), dass es zu gegebenem x

∈ X eine Umgebung U = (−ε, ε)×

B und eine stetige Abbildung Φ : U → X gibt, so dass f¨ ur jedes x ∈ B die Kurve α

(t) := Φ(t, x) die eindeutig bestimmte L¨ osung der durch ξ festgelegten DGL mit α

(0) = x ist.

Dass Φ differenzierbar ist, folgt aus einem weiteren Satz aus der Theorie der DGLn:

Ist F k-mal stetig differenzierbar, so h¨ angen die L¨ osungen der

” autonomen“ DGL y

= F (y) k-mal stetig differenzierbar von den Anfangswerten ab

Dass Φ

ein Diffeomorphismus (und damit das Bild von B unter Φ

offen) ist, ergibt sich aus dem folgenden Lemma:

2.2.4. Lemma

Ist Φ : U = (−ε, ε) × B → X wie oben definiert, so gilt:

Φ

= id

und Φ

(x) = Φ

◦ Φ

(x),

f¨ ur alle s, t, s + t ∈ I

:= (−ε, ε) und alle x ∈ B, f¨ ur die Φ

in Φ

(x) definiert ist.

Beweis: Offensichtlich ist Φ

(x) = Φ(0, x) = α

(0) = x.

Seien nun s, t und s + t Elemente von I

, sowie x ∈ B. Dieses x halten wir fest.

Weil Φ stetig und Φ(0, x) = x ist, liegt Φ(s, x) f¨ ur gen¨ ugend kleines s wieder in B.

Wir halten auch ein solches s fest. Dann gilt:

α(t) := Φ

◦ Φ

(x) = Φ

(α

(s)) = α

(t) und β(t) := Φ

(x) = α

(s + t) zwei Integralkurven von ξ mit α(0) = α

(s) = β(0). Wegen des Eindeutigkeitssatzes muss α(t) = β(t) f¨ ur alle t sein, f¨ ur die beide Seiten definiert sind. Also ist Φ

(x) = Φ

◦ Φ

(x).

Ist y = Φ

(x) ∈ Φ

(B ) ∩ B, so ist Φ

in y definiert und Φ

◦ Φ

(x) = x. Also ist Φ

die Umkehrung von Φ

und Φ

ein Diffeomorphismus. Damit ist aber auch Φ

(B) offen.

Definition

Ein Fluss oder eine lokale 1-Parameter-Gruppe ist eine differenzierbare Abbildung Φ : D → X mit folgenden Eigenschaften:

1. D ist eine offene Teilmenge von R × X, und f¨ ur alle x ∈ X ist

I

:= {t ∈ R : (t, x) ∈ D}

ein offenes Intervall mit 0 ∈ I

.

2. F¨ ur x ∈ X und s ∈ I

liegt t ∈ R genau dann in I

, wenn t + s in I

liegt, und dann ist Φ

(x) = Φ

Φ

(x)

. Außerdem ist Φ

(x) = x f¨ ur jedes x ∈ X.

Dabei sei Φ

: X → X jeweils definiert durch Φ

(x) := Φ(t, x).

3. Definiert man α

: I

→ X durch α

(t) := Φ(x, t), so ist ξ : X → T (X) mit ξ(x) := α

(0) ein differenzierbares Vektorfeld auf X.

Ein Fluss Φ

: D

→ X soll gr¨ oßer als ein Fluss Φ

: D

→ X heißen, falls D

⊂ D

und Φ

|

= Φ

ist. Ein Fluss heißt maximal, falls er maximal bez¨ uglich dieser Ordnung ist. Ist D = R × X, so spricht man von einem globalen Fluss oder einem dynamischen System.

2.2.5. Satz

Sei ξ ein Vektorfeld auf X. F¨ ur x ∈ X sei I

die Vereinigung aller offenen Intervalle I ⊂ R mit 0 ∈ I, zu denen eine Integralkurve α : I → X von ξ mit α(0) = x existiert. Dann gibt es auch eine

” maximale“ Integralkurve α

: I

→ X von ξ mit α

(0) = x. Es sei D := {(t, x) : x ∈ X und t ∈ I

} und Φ

: D → X definiert durch Φ

(t, x) := α

(t). Dann ist Φ

ein maximaler Fluss.

Beweis: Wir geben hier nur eine Beweisskizze an:

Sei x ∈ X fest und

I := {t ∈ I

: (t, x) im Innern von D, Φ differenzierbar nahe (t, x)}.

Wir zeigen, dass I = I

ist. Wegen der Existenz lokaler Fl¨ usse ist I 6= ∅ , und nach Definition ist I offen. Nun sei s ∈ I

ein H¨ aufungspunkt von I. W¨ ahlt man s

∈ I nahe genug bei s, so gibt es um Φ

(s

) einen lokalen Fluss von ξ, in dessen Definitionsbereich Φ

(s) liegt. Das bedeutet, dass auch s in I liegt.

Damit ist D offen und Φ auf D differenzierbar. Weil α

: I

→ X immer eine maximale Integralkurve ist, ist Φ maximal.

Die Zuordnung ξ → Φ

ist offensichtlich bijektiv (zwischen den Vektorfeldern auf X und den maximalen Fl¨ ussen auf X.

2.2.6. Satz

Ist X kompakt, so ist Φ

ein globaler Fluss.

Beweis: Sei X kompakt und Φ ein Fluss von ξ. Dann enth¨ alt D auf jeden Fall

eine Menge der Gestalt (−ε, ε) × X. Durch Φ(t, x) := Φ(t/2, Φ(t/2, x)) kann man

den Fluss auf (−2ε, 2ε) × X ausdehnen. So f¨ ahrt man fort und erh¨ alt schließlich einen globalen Fluss auf R × X.

Ist Φ : R × X → X ein dynamisches System auf X, so gilt:

1. Φ

= id

,

2. Φ

◦ Φ

= Φ

f¨ ur alle s, t ∈ R .

Insbesondere ist jede Abbildung Φ

ein Diffeomorphismus, mit Φ

= Φ

. Man nennt deshalb das System (Φ

)

auch eine (globale) 1-Parameter-Gruppe von Diffeomorphismen auf X.

Ist α

: R → X mit α

(t) := Φ(t, x) eine Integralkurve (oder

” Flusslinie“) von Φ, so nennt man die Bildmenge α

( R ) die Bahn oder den Orbit von x. X ist disjunkte Vereinigung der Bahnen von Φ.

2.2.7. Satz

Sei α

: R → X Flusslinie eines dynamischen Systems Φ auf X. Entweder ist α

konstant, oder es ist α

(t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ R (also α

eine Immersion), und dann ist genau eine der beiden folgenden Aussagen erf¨ ullt:

1. α

ist injektiv, 2. α

ist periodisch.

Beweis: Sei α

nicht konstant, t

∈ R fest. F¨ ur jedes andere t ∈ R ist dann α

(t + t

) = Φ(t + t

, x) = Φ(t

, Φ(t, x)) = Φ

(α

(t)).

Daraus folgt:

(Φ

)

α

(0) = α

(t

).

Das bedeutet: Entweder ist α

(t) 6= 0 f¨ ur alle t ∈ R , oder es ist α

(t) ≡ 0 (und damit α

konstant, was wir ausgeschlossen hatten). Also ist α

eine Immersion.

Ist α

nicht injektiv, so gibt es Zahlen t

< t

mit α

(t

) = α

(t

). Dann ist Φ

(x) = Φ

(x), also Φ

(x) = x. Es ergibt sich:

α

(t) = Φ

(x) = Φ

(x) = α

(t + (t

− t

)), d.h. α

ist periodisch.

Definition

Sei X eine Mannigfaltigkeit, U ⊂ X offen. Sind ξ, η ∈ X (U), so wird die Lie- klammer [ξ, η] ∈ X (U ) definiert durch

L

:= L

◦ L

− L

◦ L

.

Es muss gezeigt werden, dass so tats¨ achlich ein Vektorfeld definiert wird. Sei L :=

L

. Dann ist L offensichtlich eine R -lineare Abbildung von C

(U ) auf sich.

Außerdem ist

L

◦ L

(f g) − L

◦ L

(f g) =

= L

g · ( L

f) + f · ( L

g)

− L

g · ( L

f ) + f ( L

g)

= ( L

g)( L

f ) + g · ( L

◦ L

f) + ( L

f )( L

g) + f · ( L

◦ L

g)

−( L

g)( L

f ) − g · ( L

◦ L

f ) − ( L

f )( L

g) − f · ( L

◦ L

g)

= g · L

f

+ f · L

g . Also ist L eine Derivation.

Zu jeder Derivation L gibt es genau ein Vektorfeld ζ mit L = L

: Man definiere ζ durch ζ

(f ) := ( L f )(p). Dann ist ζ

f¨ ur jedes p eine Derivation in p, also ein Tan- gentialvektor. Schreibt man ζ

= P

ν

a

(p) ∂

∂x

, so ist a

(p) = ζ

(x

) = ( L x

)(p), also a

differenzierbar. Das zeigt, dass ζ ein Vektorfeld ist.

Ist L

= L

, so ist offensichtlich ζ

= ζ

. Damit ist das Vektorfeld [ξ, η] wohldefiniert.

2.2.8. Satz

Die Lieklammer besitzt folgende Eigenschaften:

1. Die Abbildung (ξ, η) 7→ [ξ, η] ist R -bilinear.

2. Es ist [ξ, η] = −[η, ξ] (Anti-Kommutativit¨ at).

3. [ξ, [η, λ]] + [η, [λ, ξ]] + [λ, [ξ, η]] = 0 (Jacobi-Identit¨ at).

Beweis: (1) und (2) sind trivial.

3) Es ist

[ξ, [η, λ]] = [ξ, ηλ − λη] = ξηλ − ξλη − ηλξ + ληξ, [η, [λ, ξ]] = [η, λξ − ξλ] = ηλξ − ηξλ − λξη + ξλη und [λ, [ξ, η]] = [λ, ξη − ηξ] = λξη − ληξ − ξηλ + ηξλ.

Addiert man die rechten Seiten, so kommt offensichtlich Null heraus.

Definition

Einen R -Vektorraum, der mit einem zus¨ atzlichen Produkt [. . . , . . .] versehen ist,

das die obigen Eigenschaften besitzt, bezeichnet man als Liealgebra.

Wir wollen die obigen Begriffe und Ergebnisse auf Liegruppen anwenden.

Sei G eine Liegruppe, g ∈ G ein festes Element. Die Abbildung i

: G → G mit i

(x) := gxg

ist ein Diffeomorphismus und zugleich ein Gruppenhomomorphis- mus. Man bezeichnet i

auch als inneren Automorphismus von G.

Die Abbildungen L

: h 7→ gh (bzw. R

: h 7→ hg) bezeichnet man als Links- translationen (bzw. Rechtstranslationen). Offensichtlich ist i

= L

◦ R

.

Definition

Sei G eine Liegruppe. Ein Vektorfeld ξ ∈ X (G) heißt links-invariant, falls gilt:

(L

)

(ξ

) = ξ

, f¨ ur alle a, x ∈ G.

Mit L(G) sei der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder auf G bezeichnet.

Ist ξ links-invariant und f ∈ X (G), so ist

L

(f ◦ L

)(x) = ξ

(f ◦ L

) = (L

)

ξ

(f ) = ξ

(f ) = ( L

f)(ax) = ( L

f) ◦ L

(x), also L

(f ◦ L

) = ( L

f ) ◦ L

.

2.2.9. Satz

L(G) ist eine Liealgebra (mit der Lieklammer f¨ ur Vektorfelder).

Beweis: Sind ξ und η zwei links-invariante Vektorfelder auf G, so folgt L

(f ◦ L

) = L

◦ L

(f ◦ L

) − L

◦ L

(f ◦ L

)

= L

( L

f ◦ L

) − L

( L

f ◦ L

)

= ( L

◦ L

f) ◦ L

− ( L

◦ L

f) ◦ L

= ( L

f) ◦ L

, f¨ ur jedes a ∈ G. Also ist auch [ξ, η] links-invariant.

2.2.10. Satz

Die (lineare) Abbildung ε : L(G) → T

(G) mit ξ 7→ ξ

ist ein Isomorphismus.

Beweis: 1) Injektivit¨ at: Ist ξ ∈ L(G) und ξ

= 0, so ist ξ

= (L

)

ξ

= 0 f¨ ur alle x ∈ G, also ξ = 0.

2) Surjektivit¨ at: Sei v ∈ T

(G) vorgegeben. F¨ ur x ∈ G sei ξ

:= (L

)

v. Zu zeigen ist, dass dadurch ein links-invariantes Vektorfeld ξ auf G definiert wird.

Die Funktion g : G × G → R , definiert durch g(x, y) := f ◦ L

(y) = f (xy),

ist differenzierbar. Sei nun x ∈ G, ϕ = (x

, . . . , x

) ein Koordinatensystem auf

U = U (x) ⊂ G und ψ = (y

, . . . , y

) ein Koordinatensystem auf V = V (e) mit ψ(e) = 0. Außerdem sei

v =

n

X

ν=1

c

∂

∂y

.

Dann ist

ξ

(f ) = (L

)

v(f) = v(f ◦ L

) =

n

X

ν=1

c

∂

∂y

(f ◦ L

)

=

n

X

ν=1

c

∂(g ◦ (ϕ × ψ)

)

∂y

(ϕ(x), 0) differenzierbar in x, also ξ ein Vektorfeld.

Nun zur Links-Invarianz:

(L

)

ξ

= (L

)

(L

)

ξ

= (L

◦ L

)

ξ

= (L

)

v = ξ

. Damit ist alles gezeigt.

2.2.11. Satz

Sei ξ ein links-invariantes Vektorfeld auf der Liegruppe G. Ist α : I → G eine Integralkurve von ξ, so ist auch β := L

◦ α : I → G eine Integralkurve von ξ.

Beweis: Es ist

(L

◦ α)

(t) = (L

)

α(t) = (L

)

ξ

= ξ

. Also ist L

◦ α eine Integralkurve.

Definition

Eine 1-Parameter-Gruppe in G ist ein Liegruppen-Homomorphismus α : R → G. Speziell ist dann α(0) = e.

Bemerkung: Ein Liegruppen-Homomorphismus ist ein Gruppenhomomorphis- mus zwischen Liegruppen, der zugleich differenzierbar ist.

2.2.12. Satz

Sei P

die Menge aller 1-Parameter-Gruppen in G. Dann ist die durch α 7→ α(0)

gegebene Abbildung P

→ L(G) bijektiv.

Beweis: 1) Surjektivit¨ at: Sei v ∈ L(G) und α : (−ε, ε) → G die Integralkurve des links-invarianten Vektorfeldes ξ (mit ξ

= v ), mit α(0) = e. Dann ist α(0) =

v.

Sei nun α

(t) := α(s)α(t) und α

(t) := α(s + t), f¨ ur |s| < ε/2 und |t| < ε/2. Dann ist α

(0) = α(s) = α

(0), und es gilt:

α

(t) = (L

◦ α)

(t) = (L

)

α(t) = (L

)

(L

)

v = ξ

und

α

(t) = α(s

+ t) = ξ

= ξ

.

Das bedeutet, dass α

und α

Integralkurven von ξ durch α(s) sind. Daraus folgt, dass α(s + t) = α(s)α(t) f¨ ur kleine s, t gilt.

Ist t

” groß“, so setzen wir α(t) := b α(t/n)

, mit gen¨ ugend großem n. Dabei h¨ angt die Definition von α b nicht von dem gew¨ ahlten n ab, denn es ist

α( t

n )

= α(m · t

mn )

= α( t

mn )

= α(n · t

mn )

= α( t m )

.

Offensichtlich ist α b eine 1-Parameter-Gruppe in G, die nahe 0 mit α ubereinstimmt, ¨ und es ist α b

(0) = α(0) =

v.

2) Injektivit¨ at.

Sei α eine 1-Parameter-Gruppe mit α(0) =

v, und ξ das durch v bestimmte links- invariante Vektorfeld. Dann ist

β(s) := α(t + s) = α(t)α(s) = (L

◦ α)(s), also

α(t) =

•

β(0) = (L

)

α(0) =

ξ

.

Damit ist α Integralkurve von ξ mit α(0) = e. Diese Integralkurve ist durch v eindeutig bestimmt.

Definition

Die Exponentialabbildung exp : L(G) → G wird definiert durch exp(v ) :=

α

(1), wobei α

die 1-Parameter-Gruppe mit α

(0) = v ist.

2.2.13. Satz

Ist v ∈ L(G) und ξ das zugeh¨ orige linksinvariante Vektorfeld, so ist α

(t) = exp(tv), und α

ist die Integralkurve von ξ durch e.

Beweis: Es ist exp(tv) = α

(1). Wir m¨ ussen also zeigen, dass α

(1) = α

(t)

ist. Dazu sei β

(s) := α

(st). Dann ist

β

(s + s

) = α

(st + s

t) = α

(st)α

(s

t) = β

(s)β

(s

), also β

eine 1-Parameter-Gruppe. Außerdem ist

•

β

(s) = t · α

(st), also

•

β

(0) = t · α

(0) = tv. Damit ist β

= α

und daher α

(1) = β

(1) = α

(t).

Dass α

Integralkurve von ξ

ist, wurde oben schon gezeigt.

2.2.14. Satz

Sei v ∈ L(G). Dann wird durch Φ(t, g) := L

◦ exp(tv) ein globaler Fluss f¨ ur das durch v bestimmte linksinvariante Vektorfeld ξ gegeben.

Beweis: Wir m¨ ussen zeigen, dass t 7→ α

(t) := Φ(t, g) f¨ ur jedes feste g eine auf ganz R definierte Integralkurve von ξ mit α

(0) = g ist. F¨ ur g = e haben wir das oben schon gezeigt. Ist aber g beliebig, so ist auch α

= L

◦ α

wieder eine Integralkurve von ξ, mit α

(0) = g.

Man kann zeigen, dass die Exponentialabbildung exp : L(G) → G differenzierbar ist: Dazu benutzen wir die Liegruppe G × L(G), deren Gruppenstruktur kom- ponentenweise erkl¨ art wird. F¨ ur (g, v) ∈ G × L(G) wird die Linkstranslation L

: G × L(G) → G × L(G) gegeben durch L

(h, w) = (gh, w + v). Also ist

(L

)

( α(t), u) = (L

)

α(t), u

= (L

◦ α)

(t), u . Durch F

= (L

)

v, 0

∈ T

(G) ⊕ T

(L(G)) wird ein differenzierbares Vektor- feld F auf G × L(G) definiert.

Ist ϕ

die 1-Parameter-Gruppe zu v ∈ L(G), so ist

(L

)

v = (L

)

ϕ

(0) = (L

◦ ϕ

)

(0) = d ds

ϕ

(t)ϕ

(s)

= d

ds

ϕ

(t + s) = ϕ

(t).

F¨ ur (g, v) ∈ G × L(G) sei nun α = α

: R → G × L(G) definiert durch α(t) = α

(t) := L

◦ ϕ

(t), v

= g · ϕ

(t), v

. Dann ist F

= F

= (L

)

v, 0

= (L

)

◦ (L

)

v, 0

= (L

)

ϕ

(t), 0

= (L

◦ ϕ

)

(t), 0

= α(t),

also α die Integralkurve von F mit α(0) = (g, v).

Damit ist Φ(t; g, v) := α

(t) = g · ϕ

(t), v

der Fluss von F und insbesondere differenzierbar. Also ist auch die Abbildung

v 7→ pr

(Φ(1; e, v)) = ϕ

(1) = exp(v)

differenzierbar.

F¨ ur v ∈ L(G) sei h

(t) := tv. Durch v 7→ h

(0) wird ein Isomorphismus L(G) ∼ = T

L(G) definiert. Mit diesen Bezeichnungen ist

exp

v = exp

h

(0) = (exp ◦h

)

(0) = d dt

exp(tv) = v, also exp in der N¨ ahe von 0 sogar ein Diffeomorphismus.

2.2.15. Satz

Sei G = GL

( R ), also L(G) = T

(G) = M

( R ). F¨ ur A, B ∈ M

( R ) ist dann [A, B ] = AB − BA.

Beweis: Ist B ∈ G gegeben, L

: G → G die Links-Translation, X ∈ M und α

(t) := exp(tX ), also α

(0) = X, so ist

(L

)

X = d dt

B · α

(t) = BX.

F¨ ur A ∈ M sei ξ

das zugeh¨ orige links-invariante Vektorfeld mit (ξ

)

= A. Dann ist

L

f (X) = (ξ

)

(f) = (L

)

(ξ

)

(f )

= (ξ

)

(f ◦ L

) = α

(0)(f ◦ L

)

= (f ◦ L

◦ α

)

(0), f¨ ur X ∈ G und f ∈ C

(G).

Ist f Einschr¨ ankung einer linearen Funktion F : M → R auf G, so ist L

f(X) = d

dt

F (X · α

(t)) = F (XA) = F ◦ R

(X).

Insbesondere ist L

f (E

) = F (A). Weil L

f = F ◦ R

und dies wieder Ein- schr¨ ankung einer Linearform ist, folgt:

L

◦ L

f(E

) = L

(F ◦ R

)(E

) = F ◦ R

(A) = F (AB).

Das Lieklammerprodukt [A, B] von Elementen A, B ∈ M ist gegeben durch [ξ

, ξ

]

= [A, B ] = (ξ

)

.

Damit ist

F ([A, B]) = L

f (E

)

= ( L

◦ L

f − L

◦ L

f)(E

)

= F (AB) − F (BA) = F (AB − BA).

Da dies f¨ ur alle Linearformen F gilt, ist [A, B ] = AB − BA.

Ist A ∈ L(G) = M

( R ), so ist

α

(t) :=

∞

X

n=0

1 n! A

t

eine differenzierbare Kurve in G, mit α

(0) = E und α

(t) = A · α

(t). Au- ßerdem ist α

(s) · α

(t) = α

(s + t), also t 7→ α

(t) die (eindeutig bestimmte) Ein-Parameter-Gruppe zu A in G. Damit ist A 7→ α

(1) = exp(A) die Exponenti- alabbildung der Liegruppe G, also

exp(A) =

∞

X

n=0

1

n! A

.

2.3 Tensorfelder

Sei V ein n-dimensionaler R -Vektorraum, V

= L(V, R ) sein Dualraum und V

= L(V

, R ) der Bidualraum. Es gibt eine kanonische Abbildung

j : V → V

, mit j(v)(ϕ) := ϕ(v).

Offensichtlich ist j linear, und wenn j(v) = 0 ist, so ist ϕ(v) = 0 f¨ ur alle Li- nearformen ϕ ∈ V

. Schreibt man v = v

a

+ · · · + v

a

, mit einer beliebigen Basis {a

, . . . , a

} von V , und ist {α

, . . . , α

} die dazu duale Basis von V

, so ist 0 = α

(v) = v

f¨ ur alle i, also v = 0. Das zeigt die Injektivit¨ at, und aus Dimensi- onsgr¨ unden ist j dann ein Isomorphismus.

Auf diese Weise kann man V und V

miteinander identifizieren.

Definition

Eine Abbildung

ϕ : (V

)

× V

→ R ,

die in jedem Argument linear (insgesamt also (p + q)-fach multilinear) ist, heißt ein p-fach kontravarianter und q-fach kovarianter Tensor (¨ uber V ). Die Menge aller dieser Tensoren sei mit T

(V ) bezeichnet.

2.3.1. Beispiele

A. Eine Linearform ϕ ∈ V

ist ein 1-fach kovarianter Tensor.

Ist ein Skalarprodukt h. . . , . . .i auf V gegeben, so k¨ onnen wir jedem Vektor a ∈ V eine Linearform λ

zuordnen, durch

λ

(x) := ha , xi.

Der Vektorraum T

(V ) aller q-fach kovarianten Tensoren wird auch mit L

(V ; R ) bezeichnet (Raum der q-fachen Multilinearformen ¨ uber V ).

B. Ein 1-fach kontravarianter Tensor ist ein Element des Bidualraumes V

und kann deshalb auch als Vektor aufgefasst werden.

Definition

Sind f

, . . . , f

Linearformen auf V , so wird deren Tensorprodukt f

⊗. . .⊗f

∈ L

(V ; R ) definiert durch

(f

⊗ . . . ⊗ f

)(v

, . . . , v

) := f

(v

) · · · f

(v

).

2.3.2. Satz

Ist {a

, . . . , a

} eine Basis von V und {α

, . . . , α

} die dazu duale Basis, so bilden die Tensorprodukte α

⊗ . . . ⊗ α

mit 1 ≤ i

, . . . , i

≤ n eine Basis des Raumes L

(V ; R ). Insbesondere ist dim L

(V ; R ) = n

.

Beweis: 1) Lineare Unabh¨ angigkeit:

Sei X

i1,...,iq

c

α

⊗ · · · ⊗ α

= 0. Setzt man q-Tupel (a

, . . . , a

) ein, so erh¨ alt man c

= 0 f¨ ur alle j

, . . . , j

.

2) Ist ϕ eine beliebige q-fache Multilinearform, so setzen wir ψ := X

i1,...,iq

ϕ(a

, . . . , a

)α

⊗ · · · ⊗ α

.

Dann ist (ψ − ϕ)(a

, . . . , a

) = 0 f¨ ur alle j

, . . . , j

, also (ψ − ϕ)(v

, . . . , v

) = 0 f¨ ur alle v

, . . . , v

, und damit ϕ = ψ.

Definition

Eine Multilinearform ϕ ∈ L

(V ; R ) heißt alternierend oder schiefsymme- trisch, falls f¨ ur i = 1, . . . , q − 1 gilt:

ϕ(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

) = −ϕ(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

).

Da man beliebige Permutationen aus Vertauschungen zusammensetzen kann, folgt:

2.3.3. Satz

Sei ϕ ∈ L

(V ; R ) alternierend.

1. ϕ(x

, . . . , x

) = sign(σ) · ϕ(x

, . . . , x

) f¨ ur alle Permutationen σ ∈ S

. 2. ϕ(x

, . . . , x

) = 0, falls zwei Argumente gleich sind.

Definition

Es sei A

(V ) ⊂ L

(V ; R ) der Unterraum aller alternierenden q-fachen Multiline- arformen auf V .

Speziell ist A

(V ) = R , A

(V ) = V

und A

(V ) = 0 f¨ ur q > n.

Definition

Sind λ

, . . . , λ

∈ V

Linearformen, so setzt man λ

∧ . . . ∧ λ

= X

σ∈Sq

sign(σ)λ

⊗ . . . ⊗ λ

.

2.3.4. Satz

Es ist

λ

∧ . . . ∧ λ

(v

, . . . , v

) = det λ

(v

)

i, j = 1, . . . , q .

Die Behauptung folgt sofort aus der Definition der Determinante.

2.3.5. Folgerung

λ

∧ . . . ∧ λ

ist alternierend, und f¨ ur σ ∈ S

ist

λ

∧ . . . ∧ λ

= sign(σ) · λ

∧ . . . ∧ λ

.

Beweis: Die Determinante

λ

∧ . . . ∧ λ

(v

, . . . , v

) = det λ

(v

)

i, j = 1, . . . , q ist alternierend in den Zeilen (also den λ

) und den Spalten (also den v

).

Sei 1 ≤ i

, . . . , i

≤ n. Sind die i

paarweise verschieden, so versteht man un- ter δ(i

, . . . , i

) das (eindeutig bestimmte) Vorzeichen derjenigen Permutation, die (i

, . . . , i

) auf (j

, . . . , j

) mit 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n abbildet. Stimmen zwei der i

¨ uberein, so setzt man δ(i

, . . . , i

) = 0.

2.3.6. Hilfssatz 1

Ist {α

, . . . , α

} die duale Basis zu {a

, . . . , a

} und 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n, so ist

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) =

0 falls {i

, . . . , i

} 6= {j

, . . . , j

}, δ(i

, . . . , i

) falls {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

}.

Beweis: Ist {i

, . . . , i

} 6= {j

, . . . , j

}, so ist α

⊗ . . . ⊗ α

(a

, . . . , a

) = 0

f¨ ur jedes σ ∈ S

. Sei daher {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

}. Dann ist

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) = δ(i

, . . . , i

)α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

)

= δ(i

, . . . , i

) X

σ∈Sq

sign(σ)α

(a

) · · · α

(a

)

= δ(i

, . . . , i

),

denn von der Summe bleibt nur der Summand mit σ = id ¨ ubrig.

2.3.7. Hilfssatz 2

Ist ϕ ∈ A

(V ), {a

, . . . , a

} eine Basis von V und

ϕ(a

, . . . , a

) = 0 f¨ ur 1 ≤ i

< . . . < i

≤ n, so ist ϕ = 0.

Beweis: Ist {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

} mit 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n, so ist ϕ(a

, . . . , a

) = δ(i

, . . . , i

) · ϕ(a

, . . . , a

) = 0.

Sind nun x

= x

a

+ · · · + x

a

, j = 1, . . . , q, beliebige Vektoren, so ist ϕ(x

, . . . , x

) = X

i1,...,iq

x

· · · x

ϕ(a

, . . . , a

) = 0.

2.3.8. Satz

Die Formen α

∧. . .∧ α

mit 1 ≤ i

< . . . < i

≤ n bilden eine Basis von A

(V ).

Insbesondere ist dim(A

(V )) = n

q

.

Beweis: 1) Lineare Unabh¨ angigkeit: Sei X

1≤i₁<...<iq≤n

c

α

∧ . . . ∧ α

= 0.

Dann ist

0 = X

1≤i1<...<iq≤n

c

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) = c

f¨ ur j

< . . . < j

. 2) Erzeugendensystem: Sei ϕ ∈ A

(V ). Dann definieren wir ψ ∈ A

(V ) als

ψ := X

1≤i1<...<iq≤n

ϕ(a

, . . . , a

)α

∧ . . . ∧ α

.

Dann sieht man sofort: ψ = ϕ.

Die Dimension von A

(V ) ist die Anzahl der q-Tupel (i

, . . . , i

) mit 1 ≤ i

<

. . . < i

≤ n. Jedes solche q-Tupel bestimmt genau eine q-elementige Teilmenge von {1, . . . , n}, und zu jeder der Mengen gibt es nur eine zul¨ assige Anordnung der Elemente.

2.3.9. Satz

Sei W ein beliebiger Vektorraum und h : V

× . . . × V

→ W eine q-fach mul- tilineare, alternierende Abbildung. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung b h : A

(V ) → W mit

b h(f

∧ . . . ∧ f

) = h(f

, . . . , f

).

Beweis: Die lineare Abbildung b h wird durch Festlegung auf den Elementen einer Basis definiert. Das ergibt auch schon die Eindeutigkeit. Wir m¨ ussen nur sehen, dass die gew¨ unschte Eigenschaft erf¨ ullt ist. Ist {α

, . . . , α

} eine Basis von V

, so gilt f¨ ur Elemente f

= P

iν

a

α

: b h(f

∧ . . . ∧ f

) = b h X

i1,...,iq

a

· · · a

α

∧ . . . ∧ α

= X

i1,...,iq

a

· · · a

b h(α

∧ . . . ∧ α

)

= X

i1,...,iq

a

· · · a

h(α

, . . . , α

)

= h X

i1

a

α

, . . . , X

iq

a

α

= h(f

, . . . , f

).

2.3.10. Satz

Es gibt genau eine bilineare Abbildung Φ : A

(V ) × A

(V ) → A

(V ) mit Φ(f

∧ . . . ∧ f

, g

∧ . . . ∧ g

) = f

∧ . . . ∧ f

∧ g

∧ . . . ∧ g

.

Beweis: F¨ ur u = (u

, . . . , u

) ∈ (V

)

sei g

: (V

)

→ A

(V ) definiert durch g

(w

, . . . , w

) := u

∧ . . . ∧ u

∧ w

∧ . . . ∧ w

.

Weil g

q-fach multilinear und alternierend ist, gibt es eine eindeutig bestimmte

lineare Abbildung b g

: A

(V ) → A

(V ) mit

b g

(w

∧ . . . ∧ w

) = g

(w

, . . . , w

).

Die Abbildung h : (V

)

→ L(A

(V ), A

(V )) mit h(u) := g b

ist p-fach multi- linear und alternierend. Also gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung b h : A

(V ) → L(A

(V ), A

(V )) mit b h(u

∧ . . . ∧ u

) := b g

.

F¨ ur ω ∈ A

(V ) und ψ ∈ A

(V ) sei Φ(ω, ψ) := b h(ω)(ψ ). Offensichtlich ist Φ bilinear und (durch die Werte auf Basis-Elementen) eindeutig bestimmt. Es ist

b h(f

∧ . . . ∧ f

)(g

∧ . . . ∧ g

) = b g

(g

∧ . . . ∧ g

)

= g

(g

, . . . , g

)

= f

∧ . . . ∧ f

∧ g

∧ . . . ∧ g

.

Die Konstruktion beweist die Existenz, die Eindeutigkeit erh¨ alt man ¨ uber Basis- darstellungen.

So erh¨ alt man das Dachprodukt

A

(V ) × A

(V ) −→

A

(V ), mit (ϕ, ψ) 7→ ϕ ∧ ψ := Φ(ϕ, ψ).

Dieses Produkt hat folgende Eigenschaften:

1. (ω ∧ ϕ) ∧ ψ = ω ∧ (ϕ ∧ ψ).

2. ω ∧ ϕ = (−1)

ϕ ∧ ω f¨ ur ω ∈ A

(V ), ϕ ∈ A

(V ). (Antikommutativgesetz).

3. F¨ ur Linearformen ϕ, ψ ∈ V

ist ϕ ∧ ψ = ϕ ⊗ ψ − ψ ⊗ ϕ.

Die Eigenschaften (1) und (2) folgen ganz leicht f¨ ur Basisformen und dann wegen der Bilinearit¨ at f¨ ur beliebige Formen.

Sei nun X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und T

(X) :=

. [

x∈X

T

(T

(X)).

Wie ¨ ublich kann man auf T

(X) die Struktur eines differenzierbaren Vektorb¨ undels einf¨ uhren.

Definition

Ein p-fach kontravariantes und q-fach kovariantes Tensorfeld auf X ist ein differenzierbarer Schnitt T ∈ Γ(X, T

(X)). Die Menge solcher Tensorfelder bezeichnet man mit T

(X).

Bemerkung: Die Tensorfelder ¨ uber X bilden einen Modul ¨ uber C

(X).

Analog bildet man das Vektorb¨ undel A

(X) :=

. [

x∈X

A

(T

(X)).

Definition

Eine q-dimensionale Differentialform (kurz: q-Form) ist ein differenzier- barer Schnitt im B¨ undel A

(X). Man setzt Ω

(X) := Γ(X, A

(X)).

Ist ω ∈ Ω

(X) und ϕ ∈ Ω

(X), so wird ω ∧ ϕ ∈ Ω

(X) definiert durch (ω ∧ ϕ)

:=

ω

∧ ϕ

.

Es ist T

(X) = T (X) und T

(X) = T

(X). Die Schnitte sind jeweils Vektorfelder oder 1-Formen. Ist (U, ϕ) eine Karte f¨ ur X mit Koordinaten x

, . . . , x

, so haben wir die Basen { ∂

∂x

, . . . , ∂

∂x

} bzw. {dx

, . . . , dx

} von T

(U ) bzw. T

(U ). Ein Tensorfeld T hat ¨ uber U die Darstellung

T|

= X

i1,...,ip j1,...,jq

T

∂

∂x

⊗ . . . ⊗ ∂

∂x

⊗ dx

⊗ . . . ⊗ dx

,

mit differenzierbaren Funktionen T

1...jq

.

Eine q-dimensionale Differentialform ω hat ¨ uber U die Darstellung

ω|

= X

0≤j1<...<jq≤n

a

dx

∧ . . . ∧ dx

,

mit differenzierbaren Funktionen a

.

2.4 Unterb¨ undel und Quotientenb¨ undel

Definition

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q. Eine Teilmenge F ⊂ E heißt Unterb¨ undel vom Rang p, falls es einen p-dimensionalen Untervektorraum W ⊂ R

gibt, so dass gilt:

Zu jedem Punkt x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U(x) ⊂ X und eine Trivialisierung ϕ : E|

→ U × R

von E uber ¨ U mit ϕ

(U × W ) = F |

(:=

F ∩ (E|

) ). Man spricht dann auch von einer angepassten Trivialisierung.

2.4.1. Satz

Sei E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X. Eine Teilmenge F ⊂ E ist genau dann ein Unterb¨ undel (vom Rang p), wenn gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ X ist F

⊂ E

ein p-dimensionaler Unterraum.

2. Zu jedem x

∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U(x

) ⊂ X und einen Rahmen {s

, . . . , s

} ⊂ Γ(U, E) f¨ ur E, so dass f¨ ur jedes x ∈ U gilt:

{s

(x), . . . , s

(x)} ist eine Basis von F

.

Beweis: 1) Sei F ⊂ E ein Unterb¨ undel, ϕ : E|

→ U × R

eine angepasste Trivialisierung, ϕ(F |

) = U × W . F¨ ur jedes x ∈ U ist dann F

= ϕ

(W ) ein Unterraum von E

. Man w¨ ahle eine Basis {a

, . . . , a

} von W und erg¨ anze diese zu einer Basis {a

, . . . , a

, a

, . . . , a

} von R

. Die Schnitte s

∈ Γ(U, E) mit s

(x) := ϕ

(x, a

) liefern das Gew¨ unschte.

2) Sei umgekehrt das Kriterium erf¨ ullt. Die Schnitte s

, . . . , s

∈ Γ(U, E) eines lokalen Rahmens im Sinne des Kriteriums liefern eine Trivialisierung ϕ f¨ ur E ¨ uber U , durch

ϕ X

i=1

a

· s

(x)

:= x, (a

, . . . , a

)

.

F¨ ur x ∈ U wird F

nach Konstruktion von s

(x), . . . , s

(x) erzeugt. Also ist F |

= ϕ

(U × ( R

× {0})) und F damit ein Unterb¨ undel.

Klar ist, dass ein Unterb¨ undel eine Untermannigfaltigkeit und selbst ein Vek- torb¨ undel ist.

Sei E ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X und F ⊂ E ein Unterb¨ undel vom Rang r, sowie

E/F :=

. [

x∈X

E

/F

und π : E/F → X sowie p : E → E/F

die kanonischen Projektionen. Wir wollen E/F so mit der Struktur eines Vek- torb¨ undels ¨ uber X versehen, dass p ein B¨ undel-Homomorphismus ist.

Sei {s

, . . . , s

} ein Rahmen f¨ ur E ¨ uber einer offenen Menge U ⊂ X, so dass s

, . . . , s

das Unterb¨ undel F uber ¨ U erzeugen. Dann erzeugen s

, . . . , s

ein weite- res (triviales) Unterb¨ undel Q ⊂ E|

. F¨ ur x ∈ U ist p

: E

→ E

/F

ein surjektiver Vektorraum-Homomorphismus mit Ker(p

) = F

. Dann ist dim(E

/F

) = q−r und {p(s

(x)), . . . , p(s

(x))} eine Basis von E

/F

. Damit ist p : Q → (E/F )|

ein B¨ undel-Isomorphismus, und (E/F )|

erh¨ alt die Struktur eines trivialen B¨ undels.

Nun sei eine offene ¨ Uberdeckung durch Vektorb¨ undel-Karten ϕ

: E|

→ U

× R

gegeben, so dass F |

= ϕ

(U

×( R

×{0})) ist. Sei Q

:= ϕ

(U

×({0}× R

)).

Dann induziert p B¨ undel-Isomorphismen p

: Q

→ (E/F )|

.

Sei pr : R

= R

× R

→ R

die kanonische Projektion und ψ

:= pr ◦ ϕ

|

: F |

→ U

× R

. Dies ist eine Trivialisierung von F ¨ uber U

. Die ¨ Ubergangsfunk- tionen zu den ϕ

und den ψ

seien mit G

, bzw. g

bezeichnet. Dann gilt:

G

(x)

v

0

=

g

(x)

v

0

,

also

G

(x) =

g

(x) ] 0 h

(x)

, mit differenzierbaren Funktionen h

: U

→ GL

( R ).

Ist σ : U × R

→ U × R

definiert durch σ(x, (v

, v

)

) := (x, (v

)

) und j

: Q

, → E|

die kanonische Injektion, so werden durch %

:= σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

: (E/F )|

→ U

× R

Trivialisierungen f¨ ur E/F gegeben. Setzen wir s

(x) :=

ϕ

(x, e

) und s

:= p ◦ s

, so ist

%

X

ν=r+1

c

s

(x)

= x, (c

, . . . , c

)

,

also

%

x, c

= p ◦ ϕ

x, (0, c)

.

Weil j

◦ p

◦ p : E |

→ E|

die identische Abbildung ist, folgt:

%

◦ %

(x, c

) = σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

◦ p ◦ ϕ

(x, (0, c)

)

= σ ◦ ϕ

◦ id ◦ ϕ

x, G

(x)

(0, c)

= σ x, (], h

(x)

c

)

= (x, h

(x)

c

).

Damit ist alles gezeigt, E/F ist ein Vektorb¨ undel mit ¨ Ubergangsfunktionen h

.

Definition

Sei f : E → F ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus. Dann setzt man Ker f :=

. [

x∈X

Ker(f

: E

→ F

) und Im f :=

. [

x∈X

Im(f

: E

→ F

).

Man spricht vom Kern und vom Bild eines B¨ undelhomomorphismus.

2.4.2. Satz

Sei X eine zusammenh¨ angende differenzierbare Mannigfaltigkeit, f : E → F ein Homomorphismus zwischen B¨ undeln ¨ uber X. Dann sind folgende Aussagen

¨ aquivalent:

1. x 7→ rg(f

) ist konstant.

2. Ker f ⊂ E ist ein Unterb¨ undel.

3. Im f ⊂ F ist ein Unterb¨ undel.

Beweis: OBdA sei E = X × R

, F = X × R

und f(x, v

) = (x, A(x)

v

). Ist Ker f oder Im f ein Unterb¨ undel, so muss offensichtlich x 7→ rg(f

) konstant.

Sei umgekehrt rg(f

) konstant, etwa = r. Ist x

∈ X, so gibt es linear unabh¨ angige Vektoren a

, . . . , a

im R

, so dass die Vektoren f

(a

), . . . , f

(a

) eine Basis von Im(f

) bilden. Wir erg¨ anzen die a

zu einer Basis {a

, . . . , a

} von R

. Des weiteren gibt es Vektoren b

, . . . , b

∈ R

, so dass {f

(a

), . . . , f

(a

), b

, . . . , b

} eine Basis von R

ist.

Die Schnitte t

(x) := f(x, a

), i = 1, . . . , r, und e t

(x) := (x, b

), j = r + 1, . . . , q, in F sind in x

linear unabh¨ angig und bilden deshalb aus Stetigkeitsgr¨ unden ¨ uber einer offenen Umgebung U = U (x

) ⊂ X einen Rahmen f¨ ur F . Weil rg(f

) konstant ist, bilden die t

auf einer Umgebung V = V (x

) ⊂ U einen Rahmen f¨ ur Im(f ).

Deshalb ist Im f ein Unterb¨ undel.

Uber ¨ V gibt es auch Funktionen β

mit f (x, a

) =

r

X

i=1

β

(x)f(x, a

), f¨ ur k = r + 1, . . . , q.

Weil man die β

als L¨ osung eines linearen Gleichungssystems nach der Cra- mer’schen Regel aus den f(x, a

) gewinnen kann, sind sie auch differenzierbar.

Die differenzierbaren Schnitte