Dann definieren wir ein Vektorb¨undel EP

J. Cuntz und T. Timmermann SS 14 Ubung zur K-Theorie¨

Blatt 1

Die folgenden Aufgaben k¨onnten uns eine Weile besch¨aftigen.

Aufgabe 1. Sei X ein kompakter Raum undP: X →M_m(C) eine stetige Ab- bildung mitP(x)² =P(x) f¨ur allex∈X. Dann definieren wir ein Vektorb¨undel

E_P := [

x∈X

{x} ×imgP(x)⊂X×C^m.

(a) Sei x ∈ X und e1, . . . , ed eine Basis von imgP(x). Zeigen Sie, dass dann die B¨undel-Abbildung

Φ :X×C^d→X×C^m, (y, λ)7→ y,X

k

λ_kP(y)e_k

!

auf einer UmgebungU von xein Isomorphismus von U×C^d aufE_P|_U ist.

Konstruieren Sie dazu eine geeignete B¨undel-Abbildung Ψ : X×C^m →X×C^d,

sodass Ψ◦Φ ¨uberxdie Identit¨at ist, und nutzen Sie, dass die invertierbaren Matrizen offen sind.

(b) Folgern Sie, dass das B¨undelE_P lokal-trivial ist.

Aufgabe 2. Sei X ein kompakter Raum und π: F → X ein d-dimensionales komplexes lokal-triviales Vektorb¨undel. Wir w¨ahlen

• offene Mengen U₁, . . . , U_n, die X uberdecken und auf denen¨ F trivial ist,

• Trivialisierungenφ_k: π⁻¹(U_k)−→^∼= U_k×C^d f¨urk = 1, . . . , n,

• eine der ¨Uberdeckung untergeordnete Partition (χ_k)_k der 1, also suppχ_k ⊆ U_k und P

kχ_k = 1.

(a) Konstruieren Sie mit Hilfe der (φ_k)_k und (χ_k)_k eine injektive B¨undel-Ab- bildung

Φ : F →X×C^dn.

(Es ist vielleicht hilfreich, mit ˜φ_k und ˜Φ die jeweilige Verkn¨upfung mit der Projektion auf C^d bzw. C^dn zu bezeichnen.)

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(b) Konstruieren Sie mit Hilfe geeigneter Funktionen ( ˜χ_k)_k eine B¨undel-Ab- bildung

Ψ : X×C^dn →F

mit Ψ◦Φ = idF (ohne Injektivit¨at in (a) zu benutzen).

(c) Finden Sie eine stetige Abbildung P: X → M_dn(C) mit P(x)² = P(x) f¨ur alle x ∈ X und Φ(F) = E_P, wobei E_P wie in Aufgabe 1 definiert sei.

K¨onnen Sie mit Hilfe einer hermiteschen Struktur auf X die Zusatzeigen- schaft P(x)^∗ = P(x) erzielen? (Dann k¨onnen wir P als Projektion in M_dn(C(X)) auffassen).

(d) Folgern Sie aus (c) und Aufgabe 1, dass es ein lokal-triviales Vektorb¨undelG aufX mitF⊕G∼=X×C^dngibt. (Jedes lokal-triviale Vektorb¨undel ist also direkter Summand eines trivialen Vektorb¨undels, wobei das Komplement- B¨undel lokal-trivial ist.)

(e*) Folgern Sie, dass der Raum Γ(E) der stetigen Schnitte von π: F →X als rechter C(X)-Modul bez¨uglich der punktweisen Multiplikation projektiv und endlich erzeugt ist.

Aufgabe 3. Sei A eine C^∗-Algebra und e∈A idempotent, also e² =e. Zeigen Sie:

(a) Das Element h:= 1 + (e−e^∗)(e^∗−e) ist invertierbar.

(b) eh=ee^∗e=he und e^∗h=e^∗ee^∗ =he^∗.

(c) p:=ee^∗h⁻¹ ist eine Projektion und ep=psowie pe=e.

Aufgabe 4. Sei A eine unitale C^∗-Algebra.

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur jedes Idempotenteq ∈M_n(A) das BildqAⁿ ein endlich erzeugter, projektiver rechter A-Modul ist.

Sei nunP ein projektiver rechterA-Modul mit endlich vielen Erzeugerne₁, . . . , e_n. (b) Verwenden Sie die universelle Eigenschaft vonP, um zu zeigen, dassP ein

direkter Summand von Aⁿ ist. (Die universelle Eigenschaft war, dass f¨ur jede Surjektion π: M → N rechter A-Moduln und jedes φ: P → N ein ψ: P →M mit π◦ψ =φ existiert.)

(c) Geben Sie einen Isomorphismus Mn(A) → End(Aⁿ) an, wobei die rechte Seite die Endomorphismen von Aⁿ als rechter A-Modul bezeichne.

(d) Finden Sie ein Idempotentesp∈Mn(A) mitpAⁿ ∼=P.

(e) Finden Sie mit Hilfe von Aufgabe 3 eine Projektion p∈M_n(A) mitpAⁿ ∼= P.

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