Sei X eine (n-dimensionale) differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vek- torb¨ undel vom Rang q uber ¨ X ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit E, zusammen mit einer surjektiven differenzierbaren Abbildung π : E → X, so dass gilt:

2.1 Lokale Trivialisierungen

Definition

Sei X eine (n-dimensionale) differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vek- torb¨ undel vom Rang q uber ¨ X ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit E, zusammen mit einer surjektiven differenzierbaren Abbildung π : E → X, so dass gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ X tr¨ agt die Faser E

:= π

(x) die Struktur eines q- dimensionalen Vektorraumes.

2. Zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U (x) ⊂ X und einen Diffeomorphismus ϕ : π

(U) → U × R

mit folgenden Eigenschaften:

(a) F¨ ur jedes x ∈ U ist ϕ

:= ϕ|

: E

→ R

ein R -Isomorphismus.

(b) pr

◦ ϕ = π auf π

(U ).

Die Abbildung ϕ nennt man eine lokale Trivialisierung oder B¨ undelkarte, die Abbildung π nennt man B¨ undelabbildung. Die Mannigfaltigkeit X heißt Basis, E heißt Totalraum des B¨ undels.

2.1.1. Satz

Sei π : E → X eine surjektive differenzierbare Abbildung (zwischen Mannigfal- tigkeiten). E ist genau dann ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X, wenn es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

)

von X und lokale (differenzierbare) Triviali- sierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π gibt, so dass gilt:

Zu jedem Paar (α, β ) ∈ A × A gibt es eine differenzierbare Abbildung g

: U

∩ U

→ GL

( R ) mit ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

) f¨ ur x ∈ U

:= U

∩ U

und v ∈ R

.

Beweis: 1) Sei E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X. Dann gibt es eine ¨ Uberdeckung U = (U

)

von X und lokale Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π. Sei

Λ

:= ϕ

◦ ϕ

: U

× R

→ U

× R

.

Dann ist (Λ

)

: R

→ R

f¨ ur jedes x ∈ U

ein R -VR-Isomorphismus, der

bez¨ uglich der Standardbasen durch eine Matrix g

(x) ∈ GL

( R ) beschrieben wird.

Weil (g

)

(x) = pr

(Λ

(x)(e

)) ist, folgt auch, dass g

differenzierbar ist.

2) Sei umgekehrt ein System von lokalen Trivialsierungen mit differenzierbaren Ubergangsfunktionen ¨ g

: U

→ GL

( R ) gegeben. Dann kann man auf diesem Wege jede Faser E

mit einer Vektorraum-Struktur versehen, so dass die Triviali- sierungen faserweise Vektorraum-Isomorphismen sind.

2.1.2. Konstruktionslemma

Sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und q ∈ N . Zu jedem x ∈ X sei ein q-dimensionaler R -Vektorraum E

gegeben, es sei E :=

. S

x∈X

E

und π : E → X die kanonische Projektion. Weiter sei U = (U

)

eine offene ¨ Uberdeckung von X. Zu jedem α ∈ A gebe es eine bijektive Abbildung ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π, die auf jeder Faser einen R -VR- Isomorphismus induziert, zu jedem Paar (α, β) ∈ A × A mit U

6= ∅ gebe es eine differenzierbare Abbildung g

: U

→ GL

( R ), so dass gilt:

ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

).

Dann gibt es auf E eine (eindeutig bestimmte) differenzierbare Struktur, so dass E ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X mit B¨ undelprojektion π und lokalen Trivialisierungen ϕ

ist.

Beweis: Man kann annehmen, dass A abz¨ ahlbar ist und dass es lokale Karten ψ

: U

→ B

⊂ R

gibt. Dann ist

ϕ e

: π

(U

) → B

× R

mit ϕ e

:= (ψ

× id) ◦ ϕ

eine Karte f¨ ur E. Die Kartenwechsel

ϕ e

◦ ϕ e

= (ψ

× id) ◦ ϕ

◦ ϕ

◦ (ψ

× id)

sind Diffeomorphismen.

E wird mit einer Topologie versehen, indem man die Mengen π

(U

) mit der Pro- dukttopologie versieht Das funktioniert, weil die Kartenwechsel Hom¨ oomorphismen sind. Die so entstehende Topologie ist eine Hausdorff-Topologie: Seien p, q ∈ E, p 6= q. Liegen beide Punkte in einer Faser E

, so liegen sie in der gleichen Koor- dinatenumgebung, und es gibt nat¨ urlich disjunkte Umgebungen. Ist p ∈ E

und q ∈ E

(mit x 6= y), so gibt es disjunkte Umgebungen V = V (x) und W = W (y), und π

(V ) und π

(W ) sind disjunkte Umgebungen von p und q. Dass E das zweite Abz¨ ahlbarkeitsaxiom erf¨ ullt, folgt daraus, dass dies f¨ ur den R

gilt und die Uberdeckung abz¨ ¨ ahlbar ist. Damit ist E tats¨ achlich eine differenzierbare Mannig- faltigkeit.

Weil ψ

◦ π ◦ ϕ e

(x, v

) = ψ

◦ pr

◦ (ψ

× id) = x ist, ist π eine differenzierbare Abbildung. Außerdem sind die B¨ undelkarten ϕ

= (ψ

× id)

◦ ϕ e

differenzierbar.

Damit ist alles gezeigt.

2.1.3. Beispiel

In jedem Punkt x einer Mannigfaltigkeit ist der (n-dimensionale) Tangential- raum T

(X) gegeben. Nun sei T (X) :=

. S

x∈X

T

(X). ¨ Uberdeckt man X durch lokale Koordinaten (U

, ψ

), so erh¨ alt man Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× C

durch

ϕ

X

ν=1

a

∂

∂x

:= x, (a

, . . . , a

)

.

Dann ist

ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, J

α◦ϕ⁻¹_β

· v

).

Das so beschriebene Vektorb¨ undel T (X) nennt man das Tangentialb¨ undel von X.

Definition

Ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus (zwischen Vektorb¨ undeln E und F

¨

uber einer Mannigfaltigkeit X) ist eine differenzierbare Abbildung Φ : E → F , so dass gilt:

1. π

◦ Φ = π

.

2. F¨ ur alle x ∈ X ist Φ

: E

→ F

eine R -lineare Abbildung.

Ist Φ zus¨ atzlich bijektiv und auch Φ

ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus, so spricht man von einem (Vektorb¨ undel-)Isomorphismus.

2.1.4. Satz

Eine Abbildung Φ : E → F (zwischen Vektorb¨ undeln ¨ uber X) ist genau dann ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus (bzw. -Isomorphismus), wenn es zu jeder offenen Teilmenge U ⊂ X, zu der es Trivialisierungen ϕ : π

(U) → U × R

und ψ : π

(U ) → U × R

(im Falle eines Isomorphismus mit p = q) gibt, eine differenzierbare Abbildung h : U → M

( R ) (bzw. H : U → GL

( R )) gibt, so dass gilt:

ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = (x, h(x)

v

).

Beweis: 1) Sei Φ : E → F ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus. Dann ist pr

◦ ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = π

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

)

= π

◦ ϕ

(x, v

) = x

und f¨ ur festes x ∈ U ist

v

7→ pr

◦ ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = ψ

◦ Φ

◦ ϕ

(v

)

eine lineare Abbildung, die man in der Form v

7→ h(x)

v

mit h(x) ∈ M

( R ) schreiben kann.

2) Ist das Kriterium erf¨ ullt, so gibt es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

)

, Trivialisierungen ϕ

von E und ψ

von F und differenzierbare Abbildungen h

: U

→ M

( R ), so dass gilt:

ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = (x, h

(x)

v

).

Dann ist

π

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = π

◦ ψ

(x, h

(x)

v

)

= pr

(x, h

(x)

v

) = x = π

◦ ϕ

(x, v

), also π

◦ Φ = π

. Dass Φ auf jeder Faser linear ist, ist ebenfalls klar.

Bemerkung: Wir ¨ ubernehmen die Bezeichnungen aus dem zweiten Teil des Be- weises. Die ¨ Ubergangsfunktionen von E seien mit g

bezeichnet, die von F mit γ

. Dann ist

(x, h

(x)

v

) = ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

)

= (ψ

◦ ψ

) ◦ ψ

◦ Φ ◦ ϕ

◦ (ϕ

◦ ϕ

)(x, v

)

= (ψ

◦ ψ

) ◦ ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, g

(x)

v

)

= (ψ

◦ ψ

)(x, h

(x)

g

(x)

v

)

= (x, γ

(x)

h

(x)

g

(x)

v

), also

γ

(x)

h

(x) = h

(x)

g

(x).

2.1.5. Satz

Das System der ¨ Ubergangsfunktionen g

eines Vektorb¨ undels zur ¨ Uberdeckung U = (U

)

erf¨ ullt die folgende

” Cozykel-Bedingung“:

g

(x)

g

(x) = g

(x) f¨ ur x ∈ U

:= U

∩ U

∩ U

.

Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Beziehung

ϕ

◦ ϕ

= ϕ

◦ (ϕ

◦ ϕ

) ◦ ϕ

= (ϕ

◦ ϕ

) ◦ (ϕ

◦ ϕ

),

die ¨ uber U

gilt.

2.1.6. Existenzsatz

Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, U = (U

)

eine offene ¨ Uberde- ckung von X und g

: U

→ GL

( R ) ein System von differenzierbaren Funk- tionen, das die Cozykel-Bedingung erf¨ ullt.

Dann gibt es ein Vektorb¨ undel π : E → X vom Rang q mit Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

und ¨ Ubergangsfunktionen g

. Das B¨ undel ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Beweis: Auf E e := [

α∈A

U

× {α} × R

wird eine ¨ Aquivalenzrelation erkl¨ art:

(x, α, v) ∼ (y, β, w) : ⇐⇒ x = y und w

= g

(x)

v

.

Es sei E := E/ ∼ die Menge der ¨ Aquivalenzklassen und π : E → X definiert durch π [x, α, v]

:= x. Diese Projektion ist wohldefiniert, und die Fasern haben die Struktur q-dimensionaler Vektorr¨ aume. F¨ ur α ∈ A sei ϕ

: π

(U

) → U

× R

definiert durch [x, α, v] 7→ (x, v). Das ist offensichtlich eine wohldefinierte bijektive Abbildung. ¨ Uber U

gilt:

ϕ

◦ ϕ

(x, w

) = ϕ

[x, β, w]

= ϕ

[x, α, v]

(mit w = g

(x)

v

)

= (x, v) = (x, g

(x)

w

).

Seien zwei B¨ undel E und F vom Rang q mit den gleichen ¨ Ubergangsfunktionen g

gegeben, mit Trivialisierungen ϕ

und ψ

. ¨ Uber U

ist dann

θ

(x, v

) := ψ

◦ ψ

(x, v

) = (x, g

(x) · v

) und

%

(x, v

) := ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x) · v

).

Also ist θ

◦ %

= id.

Definiert man Φ

: E|

→ F |

durch Φ

:= ψ

◦ ϕ

, so erh¨ alt man:

Φ

= ψ

◦ ϕ

= ψ

◦ ψ

◦ (ψ

◦ ϕ

) ◦ ϕ

◦ ϕ

= ψ

◦ θ

◦ %

◦ ϕ

= Φ

.

Damit wird durch Φ|

:= Φ

eine differenzierbare Abbildung Φ : E → F defi- niert. Weil ψ

◦ Φ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, v

) ist, ist Φ ein B¨ undel-Homomorphismus (und nat¨ urlich sogar ein Isomorphismus).

Definition

Ein Vektorb¨ undel E heißt trivial, falls E ∼ = X × R

ist.

2.1.7. Satz

Das B¨ undel E sei (bez¨ uglich der ¨ Uberdeckung U = (U

)) durch ¨ Ubergangsfunk- tionen g

gegeben. E ist genau dann trivial, wenn es differenzierbare Funktionen h

: U

→ GL

( R ) gibt, so dass gilt:

g

(x) = h

(x)

h

(x)

f¨ ur x ∈ U

.

Beweis: Die Einheitsmatrix dient als ¨ Ubergangsfunktion f¨ ur das triviale B¨ undel.

Die Behauptung folgt dann aus der lokalen Beschreibung von Vektorb¨ undel- Isomorphismen.

Wir wollen nun zu einem Vektorb¨ undel E das

” duale B¨ undel“ E

konstruieren.

Dazu erinnern wir uns an den Begriff der dualen linearen Abbildung f

: W

→ V

zu einer linearen Abbildung f : V → W (mit f

(λ) := λ ◦ f). Ist {a

, . . . , a

} eine Basis von V und {b

, . . . , b

} eine Basis von W , so gibt es dazu die dualen Basen {α

, . . . , α

} von V

und {β

, . . . , β

} von W

, mit α

(a

) = δ

und β

(b

) = δ

. f werde bez¨ uglich der Basen durch eine Matrix A = (a

) beschrieben,

f (a

) =

m

X

µ=1

a

b

,

und f

bez¨ uglich der dualen Basen durch eine Matrix A

= (a

) : f

(β

) =

n

X

ν=1

a

α

.

Dabei ist a

= (f

β

)(a

) = (β

◦ f)(a

) = a

, also A

= A

.

Ist ι

: R

→ ( R

)

der durch ι

(v)(w) = v

w definierte Isomorphismus, so ist ι

(e

) = ε

(wobei {ε

, . . . , ε

} die duale Basis zur Standardbasis {e

, . . . , e

} ist).

Sei nun E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X mit lokalen Trivialisierungen ϕ

: E|

→ U

× R

und ¨ Ubergangsfunktionen g

: U

→ GL

( R ). Das duale B¨ undel E

wird definiert als Vereinigung E

:=

. [

x∈X

E

, mit Trivialisierungen ϕ e

: E|

→ U

× R

mit

( ϕ e

)

:= ι

◦ (ϕ

)

: E

→ R

.

Die ¨ Ubergangsfunktionen g

von E

kann man nun berechnen. Weil

((ϕ

)

)

◦ (ϕ

)

= ((ϕ

◦ ϕ

)

)

bez¨ uglich {ε

, . . . , ε

} durch g

(x)

beschrieben wird, gilt dies auch f¨ ur ( ϕ e

◦ ϕ e

)

= ι

◦ ((ϕ

)

)

◦ (ϕ

)

◦ ι

bez¨ uglich {e

, . . . , e

}.

2.1.8. Beispiel

Das Cotangentialb¨ undel T

(X) ist das duale B¨ undel zum Tangentialb¨ undel T (X).

Definition

Sei f : X → Y eine differenzierbare Abbildung (zwischen Mannigfaltigkeiten), π : E → Y ein Vektorb¨ undel vom Rang q. Dann versteht man unter dem inversen Bild von E uber ¨ X das B¨ undel

f

E := X ×

E = {(x, e) ∈ X × E : f(x) = π(e)}.

Die B¨ undelprojektion b π : f

E → X ist gegeben durch b π(x, e) := x.

Die Faser von f

E ¨ uber x ∈ X ist gegeben durch (f

E)

= E

. Daher ist das

” geliftete B¨ undel“ (das inverse Bild von E) trivial ¨ uber den Fasern f

(y).

Man hat folgendes kommutative Diagramm:

f

E −→

E b π ↓ ↓ π

X −→

Y

Ist U = (U

)

eine offene ¨ Uberdeckung von Y , so dass E ¨ uber U

trivial ist.

Dann ist U c := { U b

:= f

(U

) : α ∈ A} eine offene ¨ Uberdeckung von X, so dass f

E ¨ uber U b

trivial ist: Ist ϕ

: E|

→ U

× R

eine Trivialisierung von E, so kann man eine Trivialisierung ϕ b

: f

E|

α

→ U b

× R

definieren durch ϕ b

(x, e) := x, (ϕ

)

(e)

.

Sei (g

) das System der ¨ Ubergangsfunktionen von E . Dann ist ϕ b

◦ ϕ b

(x, w

) = x, (ϕ

)

◦ (ϕ

)

(w

= (x, g

(f(x))

w

), also g

◦ f Ubergangsfunktion von ¨ f

E.

2.1.9. Beispiel

Sei j : Y , → X die Einbettung einer Untermannigfaltigkeit Y in eine Man-

nigfaltigkeit X. Ist E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X, so ist E|

:= j

E die Ein-

schr¨ ankung von E auf Y .

Wir wollen noch eine algebraische Konstruktion (die Bildung der direkten Summe) auf Vektorb¨ undel ¨ ubertragen:

π

: E → X und π

: F → X seien zwei Vektorb¨ undel vom Rang p bzw. q. Dann nennt man

E ⊕ F :=

. [

x∈X

E

⊕ F

= {(v, w) ∈ E × F : π

(v) = π

(w)} =: E ×

F die direkte Summe oder Whitney-Summe von E und F . Wir f¨ uhren die Vek- torb¨ undel-Struktur auf E ⊕ F schrittweise ein:

1) Sei E = X × R

und F = X × R

. Dann ist E ⊕ F = X × R

, mit der offensichtlichen B¨ undel-Struktur.

2) Es gebe globale B¨ undel-Isomorphismen ϕ : E → X × R

und ψ : F → X × R

. Dann kann man ϕ ×

ψ : E ⊕ F → X × R

definieren durch

ϕ ×

ψ(v, w) := (x, pr

◦ ϕ(v), pr

◦ ψ(w)) f¨ ur (v, w) ∈ E

⊕ F

.

Das induziert auf E ⊕F eine B¨ undelstruktur, so dass ϕ×

ψ ein VB-Isomorphismus ist.

3) Es seien ϕ e : E → X × R

und ψ e : F → X × R

andere Trivialisierungen. Dann gibt es differenzierbare Abbildungen g

: X → GL

( R ) und g

: X → GL

( R ) mit

ϕ e ◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

) und ψ e ◦ ψ

(x, w

) = (x, g

(x)

w

), und es gilt:

( ϕ e ×

ψ) e ◦ (ϕ ×

ψ)

(x, (v, w)

) = (x,

g

(x) 0 0 g

(x)

•

(v, w)

).

4) Sind E und F beliebige Vektorb¨ undel, so gibt es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

) von X und Trivialisierungen ϕ

: E|

→ U

× R

und ψ

: F |

→ U

× R

. Die Trivialisierungen ϕ

×

ψ

liefern dann wegen (1), (2) und (3) die gew¨ unschte Vektorb¨ undel-Struktur auf E ⊕ F .

Nach diesem Schema geht man immer vor, wenn man Vektorraum-Konstruktionen

auf B¨ undel ¨ ubertr¨ agt.