2.1LokaleTrivialisierungen 2Vektorb¨undel

2 Vektorb¨ undel

2.1 Lokale Trivialisierungen

Definition

Sei X eine (n-dimensionale) differenzierbare Mannigfaltigkeit. Ein Vek- torb¨ undel vom Rang q uber ¨ X ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit E, zusammen mit einer surjektiven differenzierbaren Abbildung π : E → X, so dass gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ X tr¨ agt die Faser E

:= π

(x) die Struktur eines q- dimensionalen Vektorraumes.

2. Zu jedem x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U (x) ⊂ X und einen Diffeomorphismus ϕ : π

(U) → U × R

mit folgenden Eigenschaften:

(a) F¨ ur jedes x ∈ U ist ϕ

:= ϕ|

: E

→ R

ein R -Isomorphismus.

(b) pr

◦ ϕ = π auf π

(U ).

Die Abbildung ϕ nennt man eine lokale Trivialisierung, die Abbildung π nennt man B¨ undelabbildung. Die Mannigfaltigkeit X heißt Basis, E heißt Totalraum des B¨ undels.

2.1.1. Satz

Sei π : E → X eine surjektive differenzierbare Abbildung (zwischen Mannig- faltigkeiten). E ist genau dann ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X, wenn es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

)

von X und lokale Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π gibt, so dass gilt:

Zu jedem Paar (α, β ) ∈ I × I gibt es eine differenzierbare Abbildung g

: U

∩ U

→ GL

( R ) mit ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

) f¨ ur x ∈ U

:= U

∩ U

und v ∈ C

.

Beweis: 1) Sei E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X. Dann gibt es eine ¨ Uberdeckung U = (U

)

von X und lokale Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π. Sei

Λ

:= ϕ

◦ ϕ

: U

× C

→ U

× C

.

Dann ist (Λ

)

: C

→ C

f¨ ur jedes x ∈ U

ein R -VR-Isomorphismus, der

bez¨ uglich der Standardbasen durch eine Matrix g

(x) ∈ GL

( R ) beschrieben wird.

Weil (g

)

(x) = pr

(Λ

(x)(e

)) ist, folgt auch, dass g

differenzierbar ist.

2) Sei umgekehrt ein System von lokalen Trivialsierungen mit differenzierbaren Ubergangsfunktionen ¨ g

: U

→ GL

( R ) gegeben. Dann kann man auf diesem Wege jede Faser E

mit einer Vektorraum-Struktur versehen, so dass die Triviali- sierungen faserweise Vektorraum-Isomorphismen sind.

2.1.2. Konstruktionslemma

Sei X eine n-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und q ∈ N . Zu jedem x ∈ X sei ein q-dimensionaler R -Vektorraum E

gegeben, es sei E :=

. S

x∈X

E

und π : E → X die kanonische Projektion. Weiter sei U = (U

)

eine offene ¨ Uberdeckung von X. Zu jedem α ∈ A gebe es eine bijektive Abbildung ϕ

: π

(U

) → U

× R

mit pr

◦ ϕ

= π, die auf jeder Faser einen R -VR- Isomorphismus induziert, zu jedem Paar (α, β) ∈ A × A mit U

6= ∅ gebe es eine differenzierbare Abbildung g

: U

→ GL

( R ), so dass gilt:

ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

).

Dann gibt es auf E eine (eindeutig bestimmte) differenzierbare Struktur, so dass E ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X mit B¨ undelprojektion π und lokalen Trivialisierungen ϕ

ist.

Beweis: Man kann annehmen, dass A abz¨ ahlbar ist und dass es lokale Karten ψ

: U

→ B

⊂ R

gibt. Dann ist

ϕ e

: π

(U

) → B

× R

mit ϕ e

:= (ψ

× id) ◦ ϕ

eine Karte f¨ ur E. Die Kartenwechsel

ϕ e

◦ ϕ e

= (ψ

× id) ◦ ϕ

◦ ϕ

◦ (ψ

× id)

sind Diffeomorphismen.

E wird mit einer Topologie versehen, indem man Produktumgebungen als Elemen- tarumgebungen benutzt. Das ist eine Hausdorff-Topologie: Seien p, q ∈ E, p 6= q.

Liegen beide Punkte in einer Faser E

, so liegen sie in der gleichen Koordinatenum- gebung, und es gibt nat¨ urlich disjunkte Umgebungen. Ist p ∈ E

und q ∈ E

(mit x 6= y), so gibt es disjunkte Umgebungen V = V (x) und W = W (y), und π

(V ) und π

(W ) sind disjunkte Umgebungen von p und q. Dass E das zweite Abz¨ ahl- barkeitsaxiom erf¨ ullt, folgt daraus, dass dies f¨ ur den R

gilt und die ¨ Uberdeckung abz¨ ahlbar ist. Damit ist E tats¨ achlich eine differenzierbare Mannigfaltigkeit.

Weil ψ

◦ π ◦ ϕ e

(x, v

) = ψ

◦ pr

◦ (ψ

× id) = x ist, ist π eine differenzierbare

Abbildung. Damit ist alles gezeigt.

2.1 Lokale Trivialisierungen 3

2.1.3. Beispiel

In jedem Punkt x einer Mannigfaltigkeit ist der (n-dimensionale) Tangential- raum T

(X) gegeben. Nun sei T (X) :=

. S

x∈X

T

(X). ¨ Uberdeckt man X durch lokale Koordinaten (U

, ψ

), so erh¨ alt man Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× C

durch

ϕ

X

ν=1

a

∂

∂x

:= x, (a

, . . . , a

)

.

Dann ist

ϕ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, J

α◦ϕ⁻¹_β

· v

).

Das so beschriebene Vektorb¨ undel T (X) nennt man das Tangentialb¨ undel von X.

Definition

Ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus (zwischen Vektorb¨ undeln E und F

¨

uber einer Mannigfaltigkeit X) ist eine differenzierbare Abbildung Φ : E → F , so dass gilt:

1. π

◦ Φ = π

.

2. F¨ ur alle x ∈ X ist Φ

: E

→ F

eine R -lineare Abbildung.

Ist Φ zus¨ atzlich bijektiv und auch Φ

ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus, so spricht man von einem (Vektorb¨ undel-)Isomorphismus.

2.1.4. Satz

Eine Abbildung Φ : E → F (zwischen Vektorb¨ undeln ¨ uber X) ist genau dann ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus (bzw. -Isomorphismus), wenn es zu jeder offenen Teilmenge U ⊂ X, zu der es Trivialisierungen ϕ : π

(U) → U × R

und ψ : π

(U ) → U × R

(im Falle eines Isomorphismus mit p = q) gibt, eine differenzierbare Abbildung h : U → M

( R ) (bzw. H : U → GL

( R )) gibt, so dass gilt:

ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = (x, h(x)

v

).

Beweis: 1) Sei Φ : E → F ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus. Dann ist pr

◦ ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = π

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

)

= π

◦ ϕ

(x, v

) = x

und f¨ ur festes x ∈ U ist

v

7→ pr

◦ ψ ◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = ψ

◦ Φ

◦ ϕ

(v

)

eine lineare Abbildung, die man in der Form v

7→ h(x)

v

mit h(x) ∈ M

( R ) schreiben kann.

2) Ist das Kriterium erf¨ ullt, so gibt es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

)

, Trivialisierungen ϕ

von E und ψ

von F und differenzierbare Abbildungen h

: U

→ M

( R ), so dass gilt:

ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = (x, h

(x)

v

).

Dann ist

π

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

) = π

◦ ψ

(x, h

(x)

v

)

= pr

(x, h

(x)

v

) = x = π

◦ ϕ

(x, v

), also π

◦ Φ = π

. Dass Φ auf jeder Faser linear ist, ist ebenfalls klar.

Bemerkung: Wir ¨ ubernehmen die Bezeichnungen aus dem zweiten Teil des Be- weises. Die ¨ Ubergangsfunktionen von E seien mit g

bezeichnet, die von F mit γ

. Dann ist

(x, h

(x)

v

) = ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, v

)

= (ψ

◦ ψ

) ◦ ψ

◦ Φ ◦ ϕ

◦ (ϕ

◦ ϕ

)(x, v

)

= (ψ

◦ ψ

) ◦ ψ

◦ Φ ◦ ϕ

(x, g

(x)

v

)

= (ψ

◦ ψ

)(x, h

(x)

g

(x)

v

)

= (x, γ

(x)

h

(x)

g

(x)

v

), also

γ

(x)

h

(x) = h

(x)

g

(x).

2.1.5. Satz

Das System der ¨ Ubergangsfunktionen g

eines Vektorb¨ undels zur ¨ Uberdeckung U = (U

)

erf¨ ullt die folgende

” Cozykel-Bedingung“:

g

(x)

g

(x) = g

(x) f¨ ur x ∈ U

:= U

∩ U

∩ U

.

Beweis: Die Behauptung folgt unmittelbar aus der Beziehung

ϕ

◦ ϕ

= ϕ

◦ (ϕ

◦ ϕ

) ◦ ϕ

= (ϕ

◦ ϕ

) ◦ (ϕ

◦ ϕ

),

die ¨ uber U

gilt.

2.1 Lokale Trivialisierungen 5

2.1.6. Existenzsatz

Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, U = (U

)

eine offene ¨ Uberde- ckung von X und g

ein System von ¨ Ubergangsfunktionen zur ¨ Uberdeckung U , das die Cozykel-Bedingung erf¨ ullt.

Dann gibt es ein Vektorb¨ undel π : E → X vom Rang q mit Trivialisierungen ϕ

: π

(U

) → U

× R

und ¨ Ubergangsfunktionen g

. Das B¨ undel ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt.

Beweis: Auf E e := [

α∈A

U

× {α} × R

wird eine ¨ Aquivalenzrelation erkl¨ art:

(x, α, v) ∼ (y, β, w) : ⇐⇒ x = y und w

= g

(x)

v

.

Es sei E := E/ ∼ die Menge der ¨ Aquivalenzklassen und π : E → X definiert durch π [x, α, v]

:= x. Diese Projektion ist wohldefiniert, und die Fasern haben die Struktur q-dimensionaler Vektorr¨ aume. F¨ ur α ∈ A sei ϕ

: π

(U

) → U

× R

definiert durch [x, α, v] 7→ (x, v). Das ist offensichtlich eine wohldefinierte bijektive Abbildung. ¨ Uber U

gilt:

ϕ

◦ ϕ

(x, w

) = ϕ

[x, β, w]

= ϕ

[x, α, v]

(mit w = g

(x)

v

)

= (x, v) = (x, g

(x)

w

).

Seien zwei B¨ undel E und F vom Rang q mit den gleichen ¨ Ubergangsfunktionen g

gegeben, mit Trivialisierungen ϕ

und ψ

. Dann sei h

: U

→ GL

( R ) definiert durch ψ

◦ ϕ

(x, v

) = (x, h

(x)

v

) und Φ : E → F durch

Φ(ϕ

(x, v

)) := ψ

(x, h

(x)

v

).

Ist x ∈ U

und ϕ

(x, v

) = ϕ

(x, w

), so ist

ψ

(x, h

(x)

w

) = ψ

◦ (ψ

◦ ϕ

)(x, w

) = ϕ

(x, v

).

Also ist Φ ein wohldefinierter Vektorb¨ undel-Isomorphismus.

Definition

Ein Vektorb¨ undel E heißt trivial, falls E ∼ = X × R

ist.

2.1.7. Satz

Das B¨ undel E sei (bez¨ uglich der ¨ Uberdeckung U = (U

)) durch ¨ Ubergangsfunk- tionen g

gegeben. E ist genau dann trivial, wenn es differenzierbare Funktionen h

: U

→ GL

( R ) gibt, so dass gilt:

g

(x) = h

(x)

h

(x)

f¨ ur x ∈ U

.

Beweis: Die Einheitsmatrix dient als ¨ Ubergangsfunktion f¨ ur das triviale B¨ undel.

Die Behauptung folgt dann aus der lokalen Beschreibung von Vektorb¨ undel- Isomorphismen.

Wir wollen nun zu einem Vektorb¨ undel E das

” duale B¨ undel“ E

konstruieren.

Dazu zun¨ achst etwas Lineare Algebra: Ist f : V → W eine lineare Abbildung zwi- schen (endlich-dimensionalen) Vektorr¨ aumen, so wird die duale lineare Abbildung f

: W

→ V

definiert durch f

(λ) := λ ◦ f .

Nun seien {a

, . . . , a

} eine Basis von V und {b

, . . . , b

} eine Basis von W . Es gibt dazu die dualen Basen {α

, . . . , α

} von V

und {β

, . . . , β

} von W

, mit α

(a

) = δ

und β

(b

) = δ

.

f wird bez¨ uglich der Basen durch eine Matrix A = (a

) beschrieben, f (a

) =

m

X

µ=1

a

b

,

und f

wird bez¨ uglich der dualen Basis durch eine Matrix A

= (a

) beschrieben, f

(β

) =

n

X

ν=1

a

α

.

Dabei ist

a

= (f

β

)(a

) = (β

◦ f )(a

) = a

, also A

= A

.

Ist nun E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X mit lokalen Trivialisierungen ϕ

: E|

→ U

× R

, so beschreibt f¨ ur x ∈ U

die Matrix g

(x) ∈ GL

( R ) den Isomorphis- mus (ϕ

)

◦ (ϕ

)

: R

→ R

(bez¨ uglich der Standardbasis). Die Matrix g

(x) beschreibe nun (ϕ

)

◦ (ϕ

)

: ( R

)

→ ( R

)

(bez¨ uglich der zur Standardbasis dualen Basis von ( R

)

). Dann ist g

(x) = g

(x)

.

Es gibt einen kanonischen Isomorphismus ι : R

→ ( R

)

mit ι(v)(w) = v

w.

Dabei wird v = (v

, . . . , v

) auf die Linearform λ

: (x

, . . . , x

) 7→ v

x

+ · · · + v

x

abgebildet.

Das duale B¨ undel E

ist definiert als E

:=

. [

x∈X

E

. Trivialisierungen ϕ e

gewinnt man durch

( ϕ e

)

:= ι

◦ (ϕ

)

.

Ubergangsfunktionen sind die Funktionen ¨ g

(x) = g

(x)

= g

(x)

.

Das Cotangentialb¨ undel T

(X) ist das duale B¨ undel zum Tangentialb¨ undel

T (X).

2.1 Lokale Trivialisierungen 7

Definition

Sei f : X → Y eine differenzierbare Abbildung (zwischen Mannigfaltigkeiten), π : E → Y ein Vektorb¨ undel vom Rang q. Dann versteht man unter dem inversen Bild von E uber ¨ X das B¨ undel

f

E := X ×

E = {(x, e) ∈ X × E : f(x) = π(x)}.

Die B¨ undelprojektion b π : f

E → X ist gegeben durch b π(x, e) := x.

Die Faser von f

E ¨ uber x ∈ X ist gegeben durch (f

E)

= E

. Daher ist das

” geliftete B¨ undel“ (das inverse Bild von E) trivial ¨ uber den Fasern f

(y).

Man hat folgendes kommutative Diagramm:

f

E −→

E b π ↓ ↓ π

X −→

Y

Ist U = (U

)

eine offene ¨ Uberdeckung von Y , so dass E ¨ uber U

trivial ist.

Dann ist U c := { U b

:= f

(U

) : α ∈ A} eine offene ¨ Uberdeckung von X, so dass f

E ¨ uber U b

trivial ist: Ist ϕ

: E|

→ U

× R

eine Trivialisierung von E, so kann man eine Trivialisierung ϕ b

: f

E|

α

→ U b

× R

definieren durch ϕ b

(x, e) := x, (ϕ

)

(e)

.

Sei (g

) das System der ¨ Ubergangsfunktionen von E . Dann ist ϕ b

◦ ϕ b

(x, w

) = x, (ϕ

)

◦ (ϕ

)

(w

= (x, g

(f(x))

w

), also g

◦ f Ubergangsfunktion von ¨ f

E.

Sei j : Y , → X die Einbettung einer Untermannigfaltigkeit Y in eine Mannigfaltig-

keit X. Ist E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X, so ist E|

:= j

E die Einschr¨ ankung von

E auf Y .

2.2 Schnitte

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q.

Definition

Sei U ⊂ X offen. Ein stetiger (bzw. differenzierbarer) Schnitt in E uber ¨ U ist eine stetige (bzw. differenzierbare) Abbildung s : U → E mit π

◦ s = id

. Die Menge aller differenzierbaren Schnitte in E ¨ uber U wird mit Γ(U, E) be- zeichnet.

2.2.1. Satz

Sei (ϕ

) ein System von Trivialisierungen f¨ ur E und (g

) das zugeh¨ orige System von ¨ Ubergangsfunktionen.

Ist s ∈ Γ(X, E), so gibt es ein System von differenzierbaren Funktionen s

: U

→ R

mit

ϕ

◦ s(x) = (x, s

(x)) f¨ ur x ∈ U

. Uber ¨ U

ist dann

s

(x)

= g

(x)

s

(x)

.

Jedes System von Funktionen s

, das die zweite Bedingung erf¨ ullt, bestimmt (¨ uber die erste Gleichung) einen differenzierbaren Schnitt in E.

Beweis: Die Existenz der Funktionen s

(mit s

(x) = pr

◦ ϕ

◦ s(x)) ist klar.

Und dann ist

(x, s

(x)

) = ϕ

◦ s(x) = (ϕ

◦ ϕ

) ◦ ϕ

◦ s(x)

= (ϕ

◦ ϕ

)(x, s

(x)

)

= (x, g

(x)

s

(x)

).

Ist umgekehrt das System der s

mit der obigen ¨ Ubergangsbedingung gegeben, so wird durch

s(x) := ϕ

(x, s

(x)) (¨ uber U

)

der Schnitt s definiert. Die Wohldefiniertheit folgt wie ¨ ublich aus der ¨ Ubergangs- bedingung.

2.2.2. Beispiel

Sei E = T (X) das Tangentialb¨ undel von X. Ist ξ ein Vektorfeld auf X, so wird jedem Punkt p ∈ X der Tangentialvektor ξ

= P

ν

a

(p)(∂/∂x

) ∈ T

(X)

zugeordnet. Sei ϕ : T (X)|

→ U × R

eine von einer Karte (U, ψ) induzierte

Trivialisierung. Dann ist

2.2 Schnitte 9

ϕ(ξ

) = ϕ X

ν

a

(p) ∂

∂x

= (p, a

(p), . . . , a

(p)

).

Also definiert ξ einen Schnitt in T (X) (und umgekehrt definiert jeder Schnitt ein Vektorfeld).

Definition

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q, U ⊂ X offen. Ein System S = {s

, . . . , s

} von Schnitten in E uber ¨ U heißt ein Rahmen oder eine Basis uber ¨ U, falls {s

(x), . . . , s

(x)} f¨ ur jedes x ∈ U eine Basis von E

ist.

Ist ϕ : E|

→ U × R

eine Trivialisierung, so erh¨ alt man durch s

(x) := ϕ

(x, e

) f¨ ur i = 1, . . . , q einen Rahmen f¨ ur E uber ¨ U.

Ist umgekehrt ein Rahmen {s

, . . . , s

} uber ¨ U gegeben, so kann man eine Trivia- lisierung ϕ : E|

→ U × R

definieren durch

ϕ

q

X

ν=1

a

s

(x)

:= (x, (a

, . . . , a

)

).

Viele Konstruktionen, die es bei Vektorr¨ aumen gibt, lassen sich auf Vektorb¨ undel

¨ ubertragen. Wir kennen das schon von den Dualr¨ aumen und den dualen B¨ undeln.

Nun betrachten wir die direkte Summe.

π

: E → X und π

: F → X seien zwei Vektorb¨ undel vom Rang p bzw. q. Dann nennt man

E ⊕ F :=

. [

x∈X

E

⊕ F

= {(v, w) ∈ E × F : π

(v) = π

(w)} =: E ×

F die direkte Summe oder Whitney-Summe von E und F . Wir f¨ uhren die Vek- torb¨ undel-Struktur auf E ⊕ F schrittweise ein:

1) Sei E = X × R

und F = X × R

. Dann ist E ⊕ F = X × R

, mit der offensichtlichen B¨ undel-Struktur.

2) Es gebe globale B¨ undel-Isomorphismen ϕ : E → X × R

und ψ : F → X × R

. Dann kann man ϕ ×

ψ : E ⊕ F → X × R

definieren durch

ϕ ×

ψ(v, w) := (x, pr

◦ ϕ(v), pr

◦ ψ(w)) f¨ ur (v, w) ∈ E

⊕ F

.

Das induziert auf E ⊕F eine B¨ undelstruktur, so dass ϕ×

ψ ein VB-Isomorphismus

ist.

3) Es seien ϕ e : E → X × R

und ψ e : F → X × R

andere Trivialisierungen. Dann gibt es differenzierbare Abbildungen g

: X → GL

( R ) und g

: X → GL

( R ) mit

ϕ e ◦ ϕ

(x, v

) = (x, g

(x)

v

) und ψ e ◦ ψ

(x, w

) = (x, g

(x)

w

), und es gilt:

( ϕ e ×

ψ) e ◦ (ϕ ×

ψ)

(x, (v, w)

) = (x,

g

(x) 0 0 g

(x)

•

(v, w)

).

4) Sind E und F beliebige Vektorb¨ undel, so gibt es eine offene ¨ Uberdeckung U = (U

) von X und Trivialisierungen ϕ

: E|

→ U

× R

und ψ

: F |

→ U

× R

. Die Trivialisierungen ϕ

×

ψ

liefern dann wegen (1), (2) und (3) die gew¨ unschte Vektorb¨ undel-Struktur auf E ⊕ F .

Nach diesem Schema geht man immer vor, wenn man Vektorraum-Konstruktionen

auf B¨ undel ¨ ubertr¨ agt. Das wird z.B. am Ende des n¨ achsten Abschnittes angespro-

chen.

2.3 Tensorfelder 11

2.3 Tensorfelder

Sei V ein n-dimensionaler R -Vektorraum, V

= L(V, R ) sein Dualraum und V

= L(V

, R ) der Bidualraum. Es gibt eine kanonische Abbildung

j : V → V

, mit j(v)(ϕ) := ϕ(v).

Offensichtlich ist j linear, und wenn j (v ) = 0 ist, so ist ϕ(v) = 0 f¨ ur alle Linearfor- men ϕ ∈ V

.

Schreibt man v = v

a

+ · · · + v

a

, mit einer beliebigen Basis {a

, . . . , a

} von V , und ist {α

, . . . , α

} die dazu duale Basis von V

, so ist 0 = α

(v) = v

f¨ ur alle i, also v = 0. Das zeigt die Injektivit¨ at, und aus Dimensionsgr¨ unden ist j dann ein Isomorphismus. Auf diese Weise kann man V und V

miteinander identifizieren.

Definition

Eine Abbildung

ϕ : (V

)

× V

→ R ,

die in jedem Argument linear (insgesamt also (p + q)-fach multilinear) ist, heißt ein p-fach kontravarianter und q-fach kovarianter Tensor (¨ uber V ). Die Menge aller dieser Tensoren sei mit T

(V ) bezeichnet.

2.3.1. Beispiele

A. Eine Linearform ϕ ∈ V

ist ein 1-fach kovarianter Tensor.

Der Vektorraum T

(V ) aller q-fach kovarianten Tensoren wird auch mit L

(V ; R ) bezeichnet (Raum der q-fachen Multilinearformen ¨ uber V ).

Im Falle V = R

wird jedem Vektor a = (a

, . . . , a

) ∈ R

auf kanonische Weise eine Linearform λ

zugeordnet, mit

λ

(x) := a

x = a

x

+ · · · a

x

= a · x

.

Die Zuordnung a 7→ λ

definiert eine lineare Abbildung von R

auf ( R

)

. Ist λ

= 0, so ist a

= λ

(e

) = 0 f¨ ur alle i, also a = 0. Damit ist die Zuordnung ein Isomorphismus.

Leider l¨ aßt sich diese Zuordnung zwischen Vektoren und Linearformen nicht so ohne weiteres auf einen beliebigen endlich-dimensionalen Vektorraum V

¨ ubertragen. Ist allerdings ein Skalarprodukt h. . . , . . .i auf V gegeben, so k¨ onnen wir jedem Vektor a ∈ V genau wie oben eine Linearform λ

zuordnen, durch

λ

(x) := ha , xi.

B. Ein 1-fach kontravarianter Tensor ist ein Element des Bidualraumes V

und kann deshalb auch als Vektor aufgefasst werden.

Definition

Sind f

, . . . , f

Linearformen auf V , so wird deren Tensorprodukt f

⊗. . .⊗f

∈ L

(V ; R ) definiert durch

(f

⊗ . . . ⊗ f

)(v

, . . . , v

) := f

(v

) · · · f

(v

).

2.3.2. Satz

Ist {a

, . . . , a

} eine Basis von V und {α

, . . . , α

} die dazu duale Basis, so bilden die Tensorprodukte α

⊗ . . . ⊗ α

mit 1 ≤ i

, . . . , i

≤ n eine Basis des Raumes L

(V ; R ). Insbesondere ist dim L

(V ; R ) = n

.

Beweis: 1) Lineare Unabh¨ angigkeit:

Sei X

i1,...,iq

c

α

⊗ · · · ⊗ α

= 0. Setzt man q-Tupel (a

, . . . , a

) ein, so erh¨ alt man c

= 0 f¨ ur alle j

, . . . , j

.

2) Ist ϕ eine beliebige q-fache Multilinearform, so setzen wir ψ := X

i1,...,iq

ϕ(a

, . . . , a

)α

⊗ · · · ⊗ α

.

Dann ist (ψ − ϕ)(a

, . . . , a

) = 0 f¨ ur alle j

, . . . , j

, also (ψ − ϕ)(v

, . . . , v

) = 0 f¨ ur alle v

, . . . , v

, und damit ϕ = ψ.

Definition

Eine Multilinearform ϕ ∈ L

(V ; R ) heißt alternierend oder schiefsymmetrisch, falls f¨ ur i = 1, . . . , q − 1 gilt:

ϕ(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

) = −ϕ(x

, . . . , x

, x

, . . . , x

).

Da man beliebige Permutationen aus Vertauschungen zusammensetzen kann, folgt:

2.3.3. Satz

1. ϕ(x

, . . . , x

) = sign(σ) · ϕ(x

, . . . , x

) f¨ ur alle Permutationen σ ∈ S

.

2. ϕ(x

, . . . , x

) = 0, falls zwei Argumente gleich sind.

2.3 Tensorfelder 13

Definition

Es sei A

(V ) ⊂ L

(V ; K) der Unterraum aller alternierenden q-fachen Multiline- arformen auf V .

Speziell ist A

(V ) = R , A

(V ) = V

und A

(V ) = 0 f¨ ur q > n.

Definition

Sind λ

, . . . , λ

∈ V

Linearformen, so setzt man λ

∧ . . . ∧ λ

= X

σ∈Sq

sign(σ)λ

⊗ . . . ⊗ λ

.

2.3.4. Satz

Es ist

λ

∧ . . . ∧ λ

(v

, . . . , v

) = det

λ

(v

)

i, j = 1, . . . , q

.

Die Behauptung folgt sofort aus der Definition der Determinante.

2.3.5. Folgerung

λ

∧ . . . ∧ λ

ist alternierend, und f¨ ur σ ∈ S

ist

λ

∧ . . . ∧ λ

= sign(σ) · λ

∧ . . . ∧ λ

.

Beweis: Die Determinante

λ

∧ . . . ∧ λ

(v

, . . . , v

) = det

λ

(v

)

i, j = 1, . . . , q ist alternierend in den Zeilen (also den λ

) und den Spalten (also den v

).

F¨ ur 1 ≤ i

, . . . , i

≤ n sei δ(i

, . . . , i

) das (eindeutig bestimmte) Vorzeichen der- jenigen Permutation, die (i

, . . . , i

) auf (j

, . . . , j

) mit 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n abbildet.

2.3.6. Hilfssatz 1

Ist {α

, . . . , α

} die duale Basis zu A = {a

, . . . , a

} und 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n, so ist

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) =

0 falls {i

, . . . , i

} 6= {j

, . . . , j

},

δ(i

, . . . , i

) falls {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

}.

Beweis: Ist {i

, . . . , i

} 6= {j

, . . . , j

}, so ist α

⊗ . . . ⊗ α

(a

, . . . , a

) = 0 f¨ ur jedes σ ∈ S

. Sei daher {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

}. Dann ist

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) = δ(i

, . . . , i

)α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

)

= δ(i

, . . . , i

) X

σ∈Sq

sign(σ)α

(a

) · · · α

(a

)

= δ(i

, . . . , i

).

Von der Summe bleibt nur der Summand mit σ = id ¨ ubrig.

2.3.7. Hilfssatz 2

Ist ϕ ∈ A

(V ), A = {a

, . . . , a

} eine Basis von V und

ϕ(a

, . . . , a

) = 0 f¨ ur 1 ≤ i

< . . . < i

≤ n, so ist ϕ = 0.

Beweis: Ist {i

, . . . , i

} = {j

, . . . , j

} mit 1 ≤ j

< . . . < j

≤ n, so ist ϕ(a

, . . . , a

) = δ(i

, . . . , i

) · ϕ(a

, . . . , a

) = 0.

Sind nun x

= x

a

+ · · · + x

a

, j = 1, . . . , q, beliebige Vektoren, so ist ϕ(x

, . . . , x

) = X

i1,...,iq

x

· · · x

ϕ(a

, . . . , a

) = 0.

2.3.8. Satz

Die Formen α

∧. . .∧ α

mit 1 ≤ i

< . . . < i

≤ n bilden eine Basis von A

(V ).

Insbesondere ist dim(A

(V )) = n

q

.

Beweis: 1) Lineare Unabh¨ angigkeit: Sei X

1≤i₁<...<iq≤n

c

α

∧ . . . ∧ α

= 0.

Dann ist

0 = X

1≤i₁<...<iq≤n

c

α

∧ . . . ∧ α

(a

, . . . , a

) = c

f¨ ur j

< . . . < j

.

2) Erzeugendensystem: Sei ϕ ∈ A

(V ). Dann definieren wir ψ ∈ A

(V ) als

2.3 Tensorfelder 15

ψ := X

1≤i1<...<iq≤n

ϕ(a

, . . . , a

)α

∧ . . . ∧ α

. Dann sieht man sofort: ψ = ϕ.

Die Dimension von A

(V ) ist die Anzahl der q-Tupel (i

, . . . , i

) mit 1 ≤ i

<

. . . < i

≤ n. Jedes solche q-Tupel bestimmt genau eine q-elementige Teilmenge von {1, . . . , n}, und zu jeder der Mengen gibt es nur eine zul¨ assige Anordnung der Elemente.

2.3.9. Satz

Sei W ein beliebiger Vektorraum und h : V

× . . . × V

→ W eine q-fach mul- tilineare, alternierende Abbildung. Dann gibt es genau eine lineare Abbildung b h : A

(V ) → W mit

b h(f

∧ . . . ∧ f

) = h(f

, . . . , f

).

Beweis: Die lineare Abbildung b h wird durch Festlegung auf den Elementen einer Basis definiert. Das ergibt auch schon die Eindeutigkeit. Wir m¨ ussen nur sehen, dass die gew¨ unschte Eigenschaft erf¨ ullt ist. Ist {α

, . . . , α

} eine Basis von V

, so gilt f¨ ur Elemente f

= P

iν

a

α

: b h(f

∧ . . . ∧ f

) = b h X

i1,...,iq

a

· · · a

α

∧ . . . ∧ α

= X

i1,...,iq

a

· · · a

b h(α

∧ . . . ∧ α

)

= X

i1,...,iq

a

· · · a

h(α

, . . . , α

)

= h X

1,i1

a

α

, . . . , X

iq

a

α

= h(f

, . . . , f

).

2.3.10. Satz

Es gibt genau eine bilineare Abbildung Φ : A

(V ) × A

(V ) → A

(V ) mit Φ(f

∧ . . . ∧ f

, g

∧ . . . ∧ g

) = f

∧ . . . ∧ f

∧ g

∧ . . . ∧ g

.

Beweis: F¨ ur u = (u

, . . . , u

) ∈ (V

)

sei g

: (V

)

→ A

(V ) definiert durch

g

(w

, . . . , w

) := u

∧ . . . ∧ u

∧ w

∧ . . . ∧ w

.

Weil g

q-fach multilinear und alternierend ist, gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung b g

: A

(V ) → A

(V ) mit

b g

(w

∧ . . . ∧ w

) = g

(w

, . . . , w

).

Die Abbildung h : (V

)

→ L(A

(V ), A

(V )) mit h(u) := g b

ist p-fach multi- linear und alternierend. Also gibt es eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung b h : A

(V ) → L(A

(V ), A

(V )) mit b h(u

∧ . . . ∧ u

) := b g

.

F¨ ur ω ∈ A

(V ) und ψ ∈ A

(V ) sei Φ(ω, ψ) := b h(ω)(ψ ). Offensichtlich ist Φ bilinear und (durch die Werte auf Basis-Elementen) eindeutig bestimmt. Es ist

b h(f

∧ . . . ∧ f

)(g

∧ . . . ∧ g

) = b g

(g

∧ . . . ∧ g

)

= g

(g

, . . . , g

)

= f

∧ . . . ∧ f

∧ g

∧ . . . ∧ g

.

So erh¨ alt man das Dachprodukt

A

(V ) × A

(V ) −→

A

(V ), mit (ϕ, ψ) 7→ ϕ ∧ ψ := Φ(ϕ, ψ).

Dieses Produkt hat folgende Eigenschaften:

1. (ω ∧ ϕ) ∧ ψ = ω ∧ (ϕ ∧ ψ).

2. ω ∧ ϕ = (−1)

ϕ ∧ ω f¨ ur ω ∈ A

(V ), ϕ ∈ A

(V ). (Antikommutativgesetz).

3. F¨ ur Linearformen ϕ, ψ ∈ V

ist ϕ ∧ ψ = ϕ ⊗ ψ − ψ ⊗ ϕ.

Die Eigenschaften (1) und (2) folgen ganz leicht f¨ ur Basisformen und dann wegen der Bilinearit¨ at f¨ ur beliebige Formen.

Sei nun X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und T

(X) :=

. [

x∈X

T

(T

(X)).

Wie ¨ ublich kann man auf T

(X) die Struktur eines differenzierbaren Vektorb¨ undels einf¨ uhren.

Definition

Ein p-fach kontravariantes und q-fach kovariantes Tensorfeld auf X ist

ein differenzierbarer Schnitt T ∈ Γ, X, T

(X)). Die Menge solcher Tensorfelder

bezeichnet man mit T

(X).

2.3 Tensorfelder 17

Bemerkung: Die Tensorfelder ¨ uber X bilden einen Modul ¨ uber C

(X).

Analog bildet man das Vektorb¨ undel A

(X) :=

. [

x∈X

A

(T

(X)).

Definition

Eine q-dimensionale Differentialform (kurz: q-Form) ist ein differenzier- barer Schnitt im B¨ undel A

(X). Man setzt Ω

(X) := Γ(X, A

(X)).

Ist ω ∈ Ω

(X) und ϕ ∈ Ω

(X), so wird ω ∧ ϕ ∈ Ω

(X) definiert durch (ω ∧ ϕ)

:=

ω

∧ ϕ

.

Es ist T

(X) = T (X) und T

(X) = T

(X). Die Schnitte sind jeweils Vektorfelder oder 1-Formen. Ist (U, ϕ) eine Karte f¨ ur X mit Koordinaten x

, . . . , x

, so haben wir die Basen { ∂

∂x

, . . . , ∂

∂x

} bzw. {dx

, . . . , dx

} von T

(U ) bzw. T

(U ). Ein Tensorfeld T hat ¨ uber U die Darstellung

T|

= X

i1,...,ip j1,...,jq

T

∂

∂x

⊗ . . . ⊗ ∂

∂x

⊗ dx

⊗ . . . ⊗ dx

,

mit differenzierbaren Funktionen T

.

Eine q-dimensionale Differentialform ω hat ¨ uber U die Darstellung

ω|

= X

0≤j1<...<jq≤n

a

dx

∧ . . . ∧ dx

,

mit differenzierbaren Funktionen a

.

2.4 Unterb¨ undel und Quotientenb¨ undel

Definition

Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q. Eine Teilmenge F ⊂ E heißt Unterb¨ undel vom Rang p, falls es einen p-dimensionalen Untervektorraum W ⊂ R

gibt, so dass gilt:

Zu jedem Punkt x ∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U(x) ⊂ X und eine Trivialisierung ϕ : E|

→ U × R

von E uber ¨ U mit ϕ

(U × W ) = F |

(:=

F ∩ (E|

) ).

2.4.1. Satz

Sei E ein Vektorb¨ undel ¨ uber X. Eine Teilmenge F ⊂ E ist genau dann ein Unterb¨ undel (vom Rang p), wenn gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ X ist F

⊂ E

ein p-dimensionaler Unterraum.

2. Zu jedem x

∈ X gibt es eine offene Umgebung U = U (x

) ⊂ X und ein Rahmen {s

, . . . , s

} ⊂ Γ(U, E), so dass {s

(x), . . . , s

(x)} f¨ ur x ∈ U eine Basis von F

ist.

Beweis: 1) Sei F ⊂ E ein Unterb¨ undel, ϕ : E|

→ U × R

eine angepasste Trivia- lisierung. Dann ist F

= ϕ

(W ) ein Unterraum von E

, f¨ ur x ∈ X. Man w¨ ahle eine Basis {a

, . . . , a

} von W und erg¨ anze diese zu einer Basis {a

, . . . , a

, a

, . . . , a

} von R

. Die Schnitte s

mit s

(x) := ϕ

(x, a

) liefern das Gew¨ unschte.

2) Sei umgekehrt das Kriterium erf¨ ullt. Die Schnitte s

, . . . , s

∈ Γ(U, E) eines angepassten lokalen Rahmens liefern eine Trivialisierung ϕ f¨ ur E uber ¨ U. Dann ist ϕ ◦ s

(x) = (x, e

) f¨ ur alle i, und es ist F |

= ϕ

(U × ( R

× {0})). Also ist F ein Unterb¨ undel.

Klar ist, dass ein Unterb¨ undel eine Untermannigfaltigkeit und selbst ein Vek- torb¨ undel ist.

Sei E ein Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X und F ⊂ E ein Unterb¨ undel vom Rang r, sowie

E/F :=

. [

x∈X

E

/F

und π : E/F → X sowie p : E → E/F

die kanonischen Projektionen. Wir wollen E/F so mit der Struktur eines Vek- torb¨ undels versehen, dass p ein B¨ undel-Homomorphismus ist.

Sei {s

, . . . , s

} ein Rahmen f¨ ur E ¨ uber einer offenen Menge U ⊂ X, so dass

s

, . . . , s

das Unterb¨ undel F ¨ uber U erzeugen. Dann erzeugen s

, . . . , s

ein wei-

teres (triviales) Unterb¨ undel Q ⊂ E|

. F¨ ur x ∈ U ist {p(s

(x)), . . . , p(s

(x))}

2.4 Unterb¨ undel und Quotientenb¨ undel 19

eine Basis von E

/F

. Damit ist p

: Q

→ E

/F

f¨ ur jedes x ∈ U ein Isomorphis- mus, und (E/F )|

erh¨ alt die Struktur eines trivialen B¨ undels.

Nun sei eine offene ¨ Uberdeckung durch Vektorb¨ undel-Karten ϕ

: E|

→ U

× R

gegeben, so dass F |

= ϕ

(U

× ( R

× {0})) ist. Sei Q

:= ϕ

(U

× ({0} × R

)). Dann induziert p eine Abbildung p

: Q

→ (E/F )|

, die faserweise ein Isomorphismus ist.

Sei ψ

:= ϕ

|

: F |

→ U

× ( R

× {0}). Die ¨ Ubergangsfunktionen zu den ϕ

und den ψ

seien mit G

, bzw. g

bezeichnet. Dann gilt:

G

(x)

v

0

=

g

(x)

v

0

,

also

G

(x) =

g

(x) ] 0 h

(x)

,

mit differenzierbaren Funktionen h

: U

→ GL

( R ).

Ist σ : U × R

→ U × R

definiert durch σ(x, (v

, v

)

) := (x, (v

)

) und j

: Q

, → E|

die kanonische Injektion, so werden durch %

:= σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

: (E/F )|

→ U

× R

Trivialisierungen f¨ ur E/F gegeben, mit

%

◦ %

(x, w

) = σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

◦ p

◦ (σ ◦ ϕ

◦ j

)

(x, w

)

= σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

◦ p ◦ ϕ

(x, (0, w)

)

= σ ◦ ϕ

◦ j

◦ p

◦ p ◦ ϕ

x, G

(x)

(0, w)

= σ(x, (], h

(x)

w

)) = (x, h

(x)

w

))

Damit ist alles gezeigt, E/F ist ein Vektorb¨ undel mit ¨ Ubergangsfunktionen h

.

Definition

Sei f : E → F ein Vektorb¨ undel-Homomorphismus. Dann setzt man Ker f :=

. [

x∈X

Ker(f

: E

→ F

) und Im f :=

. [

x∈X

Im(f

: E

→ F

).

2.4.2. Satz

Sei X eine zusammenh¨ angende differenzierbare Mannigfaltigkeit, f : E → F ein Homomorphismus zwischen B¨ undeln ¨ uber X. Dann sind folgende Aussagen

¨ aquivalent:

1. x 7→ rg(f

) ist konstant.

2. Ker f ⊂ E ist ein Unterb¨ undel.

3. Im f ⊂ F ist ein Unterb¨ undel.

Beweis: OBdA sei E = X × R

, F = X × R

und f(x, v

) = (x, A(x)

v

). Ist Ker f oder Im f ein Unterb¨ undel, so muss offensichtlich x 7→ rg(f

) konstant.

Sei umgekehrt rg(f

) konstant, etwa = r. OBdA kann man annehmen, dass es eine Basis {a

, . . . , a

} von R

und eine Basis {b

, . . . , b

} von R

gibt, so dass die Ele- mente f(x, a

), i = 1, . . . , r, eine Basis von Im(f

) bilden und Im(f

) komplement¨ ar zu dem von b

, . . . , b

erzeugten Raum ist.

Die Schnitte t

(x) := f(x, a

), i = 1, . . . , r, und e t

(x) := (x, b

), j = r + 1, . . . , q, bilden dann einen Rahmen f¨ ur F . Deshalb ist Im f ein Unterb¨ undel.

Es gibt Funktionen α

, so dass gilt:

f(x, a

) =

q

X

j=1

α

(x)b

, f¨ ur i = 1, . . . , p.

Setzt man A

(X) :=

α

(x)

i=1,...,r j=1,...,r

, so ist det A

(x) 6= 0. Daher gibt es auch differenzierbare Funktionen β

mit

f (x, a

) =

r

X

i=1

β

(x)f(x, a

), f¨ ur k = r + 1, . . . , q.

Es folgt: Die Schnitte

s

(x) := x, a

−

r

X

i=1

β

(x)a

, k = r + 1, . . . , q und s e

:= (x, a

), i = 1, . . . , r,

erzeugen E, und dabei erzeugen die s

den Kern von f . Also ist Ker f ein Un- terb¨ undel.

Definition

Eine Folge E −→

F −→

H von Vektorb¨ undel-Homomorphismen heißt eine exakte Sequenz, falls f¨ ur jedes x ∈ X die Folge E

−→

F

−→

H

eine exakte Sequenz ist (also Im(f

) = Ker(g

)).

In diesem Fall ist rg(f

) + rg(g

) = rg(F ) konstant. Da rg(f

) und rg(g

) in der

N¨ ahe eines Punktes x

h¨ ochstens kleinere Werte als in x

selbst annehmen k¨ onnen,

2.4 Unterb¨ undel und Quotientenb¨ undel 21

gilt das auch f¨ ur die Summe. Also sind beide R¨ ange konstant, und Ker f und Im f sind Unterb¨ undel.

2.4.3. Beispiel

Sei F ⊂ E ein Unterb¨ undel. Dann ist die Sequenz 0 → F → E → E/F → 0 exakt.

Ist f : X → Y eine differenzierbare Abbildung zwischen Mannigfaltigkeiten, so kann man

T f : T (X) → f

T (Y )

definieren durch (T f )

:= f

: T

(X) → T

(Y ) = (f

T (Y ))

. Diese Abbildung ist fasertreu und in jeder Faser linear. Wir m¨ ussen noch die Differenzierbarkeit zeigen.

Sind ψ

: V → R

und ϕ

: U = f

(V ) → R

Karten f¨ ur Y bzw. X, so hat man B¨ undelkarten ϕ : T (X)|

→ U × R

mit ϕ P

ν

a

(∂/∂x

)|

:= x, (a

, . . . , a

)

und analog ψ : T (Y )|

→ V × R

. Eine Trivialisierung ψ b : (f

T (Y ))|

→ U × R

gewinnt man dann durch ψ b P

µ

b

(∂/∂y

)|

:= x, (b

, . . . , b

)

. Nun ist ψ b ◦ T f ◦ ϕ

(x, a

) = ψ b

f

X

ν=1

a

∂

∂x

= ψ b X

µ=1 n

X

ν=1

∂(y

◦ f )

∂x

(x)a

∂

∂y

= (x, ψ

X

µ=1 n

X

ν=1

∂ (y

◦ f )

∂x

(x)a

∂

∂y

)

=

x,

n

X

ν=1

∂ (y

◦ f)

∂x

(x)a

, . . . ,

n

X

ν=1

∂(y

◦ f )

∂x

(x)a

= (x, J

0◦f◦ϕ⁻¹₀

(ϕ

(x))

a

) Das zeigt, dass T f ein B¨ undel-Homomorphismus ist.

2.4.4. Beispiele

A. Ist Y , →

X eine Untermannigfaltigkeit, so hat man die exakte Sequenz 0 −→ T (Y ) −→ j

T (X) −→ N

(Y ) −→ 0,

mit dem Normalenb¨ undel N

(Y ) := j

T (X)/T (Y ).

B. Sei f : X → Y eine Submersion. Dann hat man eine exakte Sequenz 0 −→ Ker T (f) −→ T (X) −→

f

T (Y ) −→ 0,

da f

f¨ ur jedes x ∈ X surjektiv ist. Das B¨ undel Ker(T f ) nennt man auch

das ” B¨ undel der vertikalen Tangentialvektoren“.

C. Ist π : E → X ein Vektorb¨ undel, so ist π eine Submersion.

Behauptung: Ker(T π) ∼ = π

E.

Beweis: Sind e und v zwei Elemente von E

, so wird durch α(t) := e + tv ein Weg in E

mit α(0) = e und α(0) =

v definiert. Auf diese Weise kann man die Elemente von E

= E

= (π

E)

als Tangentialvektoren aus T

(E

) ⊂ T

(E) auffassen. Aus Dimensionsgr¨ unden ist dann sogar T

(E

) ∼ = E

. Weil π ◦ α konstant ist, ist π

(v) = 0 f¨ ur alle v ∈ T

(E

), also (π

E)

⊂ (Ker(T π))

. Wieder aus Dimensionsgr¨ unden folgt die Gleichheit.

So erh¨ alt man die exakte Sequenz

0 −→ π

E −→ T (E) −→

π

T (X) −→ 0.

Besonders interessant ist der Spezialfall E = T (X). Mit der Projektion π

: T (X) → X erh¨ alt man die exakte Sequenz

0 −→ π

T (X) −→ T (T (X)) −→

π

T (X) −→ 0.

Das zweite Tangentialb¨ undel spielt eine wichtige Rolle in der Analytischen Mechanik.

Der Konfigurationsraum X eines mechanischen Systems wird durch n ver-

allgemeinerte Koordinaten q

, . . . , q

beschrieben (das k¨ onnen z.B. die 3n

kartesischen Koordinaten eines Systems von n Massenpunkten sein). Die Ko-

ordinaten von T (X) bezeichnet man mit q

, . . . , q

, q

, . . . , q

, die des Phasen-

raums T

(X) mit q

, . . . , q

, p

, . . . , p

(mit den verallgemeinerten Impulsen

p

). Auf T (T (X)) hat man die Koordinaten q

, q

, dq

und d q

.