Anhang A - Vektorraum-Konstruktionen

Anhang A - Vektorraum-Konstruktionen 1

Anhang A - Vektorraum-Konstruktionen

Sei E ein k-Vektorraum, M ⊂ E eine Teilmenge. Dann versteht man unter dem von M aufgespannten Unterraum die Menge aller endlichen Linearkombinationen X

i

α _i x _i mit α _i ∈ k und x _i ∈ M . Die Menge M heißt eine Basis von E, falls je endlich viele Elemente von M linear unabh¨ angig sind und E von M aufgespannt wird.

E 1 , . . . , E k seien Untervektorr¨ aume von E. Besitzt jedes Element x ∈ E eine Dar- stellung x = x ₁ + · · · + x _k mit x _i ∈ E _i , so schreibt man:

E = E 1 + · · · + E k (E ist Summe der E i ).

Man nennt die Summe direkt, falls gilt:

E _i ∩ ( X

k6=i

E _k ) = {0}, f¨ ur alle i.

Man schreibt dann:

E = E ₁ ⊕ . . . ⊕ E _k oder E =

k

M

i=1

E _i .

Sei (E _ι ) ι∈I eine beliebige Familie von k-Vektorr¨ aumen. Die (¨ außere) direkte Summe der E ι ist der k-Vektorraum M

ι∈I

E ι aller Familien (x ι ) ι∈I mit der Eigenschaft, dass x _ι immer in E _ι liegt und x _ι 6= 0 nur f¨ ur endlich viele ι ∈ I gilt. Die Addition und die Multiplikation mit Skalaren erfolgt komponentenweise.

Sei E ein k-Vektorraum und U ⊂ E ein Unterraum. Zwei Elemente x, y ∈ E heißen kongruent modulo U (in Zeichen: x ≡ y mod U ), falls x − y ∈ U ist. Das ist offensichtlich eine ¨ Aquivalenzrelation, und es gilt:

{x ∈ E : x ≡ y mod U } = y + U = {y + u : u ∈ U}.

Man nennt y + U einen affinen Unterraum oder eine Nebenklasse. Anschaulich handelt es sich um den zu U parallelen Raum durch y. Die Menge

E/U = {y + U : y ∈ E}

nennt man den Quotientenraum von E modulo U . Er tr¨ agt auf nat¨ urliche Weise die Struktur eines k-Vektorraumes:

(x + U ) + (y + U ) := (x + y) + U, α(x + U ) := αx + U.

Man muss zeigen, dass dies wohl-definiert ist. Ist x ₁ ≡ x ₂ mod U und y ₁ ≡ y ₂

mod U, so ist x ₁ − x ₂ ∈ U und y ₁ − y ₂ ∈ U , also auch (x ₁ + y ₁ ) − (x ₂ + y ₂ ) =

(x ₁ − x ₂ ) + (y ₁ − y ₂ ) ∈ U , d.h. x ₁ + y ₁ ≡ x ₂ + y ₂ mod U .

2 Anhang A - Vektorraum-Konstruktionen

Und analog: Ist x ₁ ≡ x ₂ mod U und α ∈ k, so ist αx ₁ − αx ₂ = α(x ₁ − x ₂ ) ∈ U, also αx ₁ ≡ αx ₂ mod U .

Die Abbildung q : E → E/U mit q(x) := x + U nennt man Restklassen-Abbildung oder kanonische Projektion. Sie ist linear und surjektiv.

A.1 Satz. Ist F ein k-Vektorraum und f : E → F eine lineare Abbildung mit U ⊂ Ker(f), so gibt es genau eine lineare Abbildung f b : E/U → W mit f b ◦ q = f . Beweis: Weil q surjektiv ist, ist f b durch die Gleichung f b ◦ q = f eindeutig festgelegt. Man setzt f(x b + U ) := f (x). Wegen der Bedingung U ⊂ Ker(f ) ist f b wohl-definiert. Der Nachweis der Linearit¨ at ist trivial.

Insbesondere folgt:

Ist f : E → F eine lineare Abbildung, so wird ein Isomorphismus f : E/ Ker(f) → Im(f)

induziert, mit f (x + Ker(f )) := f (x).

Anhang B - Analysis in Vektorr¨ aumen 3

Anhang B - Analysis in Vektorr¨ aumen

Es seien E und F endlich-dimensionale k-Vektorr¨ aume (mit k = R oder = C ), B ⊂ E offen, x ₀ ∈ B ein Punkt. Eine Funktion f : B → F heißt differenzierbar in x ₀ , falls es eine Abbildung L : B → Hom _k (E, F ) gibt, so dass gilt:

1. L ist stetig in x ₀ .

2. f(x) = f(x 0 ) + L(x)(x − x 0 ) f¨ ur x ∈ B .

Die eindeutig bestimmte lineare Abbildung f ⁰ (x 0 ) := L(x 0 ) ∈ Hom k (E, F ) heißt die Ableitung von f in x ₀ .

Ist E = k ⁿ und F = k ^m , so wird f ⁰ (x ₀ ) durch eine Matrix A ∈ M _m,n (k) gegeben, mit

f ⁰ (x ₀ )(v) = v · A ^> .

Man nennt die Matrix J _f (x ₀ ) := A die Jacobi-Matrix von f in x ₀ . Ist {e ₁ , . . . , e _n } die Standard-Basis von k ⁿ , so ist

f (x ₀ + te _i ) − f(x ₀ ) = L(x ₀ + te _i )(te _i ),

also ∂f

∂x _i (x ₀ ) = lim

t→0

f(x ₀ + te _i ) − f(x ₀ )

t = f ⁰ (x ₀ )(e _i ) = e _i · J _f (x ₀ ) ^> . Damit ist die partielle Ableitung

∂f

∂x _i (x ₀ ) >

die i-te Spalte von J _f (x ₀ ).

Ist F = k, so ist f ⁰ (x ₀ ) eine Linearform. Ist außerdem E = k ⁿ , so besteht die Jacobi-Matrix nur aus einer Zeile, dem Gradienten ∇f (x 0 ).

f heißt stetig differenzierbar auf B, falls f in jedem Punkt von B differenzierbar und die Funktion f ⁰ : B → Hom _k (E, F ) stetig ist. Ist f auf B stetig differenzierbar und die abgeleitete Funktion f ⁰ in x ₀ ∈ B ein weiteres Mal differenzierbar, so heißt f ⁰⁰ (x ₀ ) := (f ⁰ ) ⁰ (x ₀ ) ∈ Hom _k (E, Hom _k (E, F )) ∼ = L ₂ (E, E; F ) die zweite Ableitung von f in x ₀ . Die zugeh¨ orige Bilinearform ist symmetrisch. Im Falle E = k ⁿ und F = k wird sie durch die Hesse-Matrix beschrieben:

f ⁰⁰ (x ₀ )(v, w) = v · Hess _f (x ₀ ) · w ^> .

Analog werden h¨ ohere Ableitungen erkl¨ art. Mit C ^p (B, F ) wird die Menge der p-mal stetig differenzierbaren Funktionen f : B → F bezeichnet. Im Falle k = C nennt man die differenzierbaren Funktionen auch holomorph. Wie in der Funktionentheo- rie einer komplexen Ver¨ anderlichen folgt aus der einmaligen (stetigen) komplexen Differenzierbarkeit einer Funktion, dass sie sogar beliebig oft komplex differenzier- bar ist. Mit O (B, F ) bezeichnet man die Menge aller holomorphen Funktionen von B nach F .

Die meisten aus der Differentialrechnung bekannten S¨ atze lassen sich ¨ ubertragen:

4 Anhang B - Analysis in Vektorr¨ aumen

B.1 Ableitung linearer Abbildungen. Ist f : E → F eine k-lineare Abbil- dung, so ist f ¨ uberall differenzierbar und f ⁰ (x) = f in jedem Punkt x ∈ E.

B.2 Kettenregel. Ist U ⊂ E offen, V ⊂ F offen, x ₀ ∈ U , f : U → F diffe- renzierbar in x ₀ , f(U ) ⊂ V und g : V → G (mit einem weiteren k-Vektorraum G) differenzierbar in f (x ₀ ), so ist g ◦ f : U → G differenzierbar in x ₀ , und es gilt:

(g ◦ f) ⁰ (x ₀ ) = g ⁰ (f(x ₀ )) ◦ f ⁰ (x ₀ ) ∈ Hom _k (E, G).

Ist E = k, F = k ⁿ und G = k, so ist (g ◦ f ) ⁰ (t ₀ ) = ∇g(f(t ₀ )) · f ⁰ (t ₀ ).

B.3 Produktregel. f, g : U → F seien differenzierbar in x ₀ und b : F × F → G sei bilinear. Dann ist auch b ◦ (f, g) : U → G differenzierbar in x 0 , und es gilt:

(b ◦ (f, g)) ⁰ (x ₀ )(v) = b(f (x ₀ ), g ⁰ (x ₀ )(v )) + b(f ⁰ (x ₀ )(v ), g(x ₀ )).

Diese Formel liefert z.B. Ableitungsregeln f¨ ur das gew¨ ohnliche Produkt, das Skalar- produkt und das Vektorprodukt, aber auch f¨ ur die Produkte in beliebigen endlich- dimensionalen k-Algebren.

B.4 Umkehrsatz. Sei U ⊂ E offen, f : U → E stetig differenzierbar und f ⁰ (x ₀ ) ∈ End _k (E) ein Isomorphismus. Dann gibt es Umgebungen V (x ₀ ) ⊂ U und W (f(x ₀ )) ⊂ E, so dass f : V → W ein Diffeomorphismus ist, also bijektiv mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung, und (f ⁻¹ ) ⁰ (y ₀ ) = f ⁰ (x ₀ ) ⁻¹ .

Beispiel.

Sei V ein endlich-dimensionaler k-Vektorraum und E := End _k (V ). Dann ist G := Aut k (V ) eine offene Teilmenge von E. Die Abbildung j : G → E sei definiert durch j (g ) := g ⁻¹ . Man kann zeigen, dass j ein Diffeomorphismus von G nach G ist. Außerdem ist µ : E × E → E mit µ(f, g) := f ◦ g bilinear, und µ(g, j (g)) ≡ id V auf G. Daraus folgt:

0 = (µ ◦ (id _E , j)) ⁰ (g ₀ )(f ) = µ ◦ (g ₀ , j ⁰ (g ₀ )(f )) + µ ◦ (f, j(g ₀ )), also j ⁰ (g ₀ )(f) = −g ₀ ⁻¹ ◦ f ◦ g ₀ ⁻¹ .

B.5 Satz ¨ uber implizite Funktionen. Seien U ⊂ E und V ⊂ F offene

Teilmengen und f : U ×V → F eine stetig differenzierbare Funktion. Es sei (a, b) ∈

U ×V , die Ableitung der Funktion x 7→ f (x, b) in x = a sei mit D ₁ f(a, b) bezeichnet,

die Ableitung der Funktion y 7→ f (a, y) in y = b mit D ₂ f(a, b).

Anhang B - Analysis in Vektorr¨ aumen 5

Ist f(a, b) = 0 und D ₂ f(a, b) ∈ End _k (F ) ein Isomorphismus, so gibt es eine Um- gebung U ₀ (a) ⊂ U und eine stetig differenzierbare Funktion g : U ₀ → V mit

g(a) = b und f(x, g(x)) ≡ 0 auf U 0 . Außerdem gilt:

g ⁰ (x ₀ ) = −D ₂ f (x ₀ , g(x ₀ )) ⁻¹ ◦ D ₁ f(x ₀ , g(x ₀ )).

Im Rest dieses Abschnittes sei k = R .

Ist I ⊂ R ein offenes Intervall mit 0 ∈ I und U ⊂ E offen, so bezeichnet man eine differenzierbare Abbildung f : I × U → E als ein zeitabh¨ angiges Vektorfeld.

Eine Integralkurve mit Anfangswert x ₀ ∈ U f¨ ur f ist eine differenzierbare Kurve α : I ₀ → U , so dass gilt:

1. I 0 ⊂ I ist ein offenes Intervall mit 0 ∈ I 0 . 2. α(0) = x ₀ .

3. α ⁰ (t) = f (t, α(t)) f¨ ur t ∈ I ₀ .

Man bezeichnet α auch als L¨ osung der DGL y ⁰ = f (t, y).

Ein lokaler Fluss f¨ ur f in x ₀ ist eine differenzierbare Abbildung Φ : I ₀ × U ₀ → E, so dass U ₀ eine offene Umgebung von x ₀ ist und außerdem gilt:

1. F¨ ur jedes x ∈ U ₀ ist Φ _x (t) := Φ(t, x) eine Integralkurve f¨ ur f.

2. Es ist stets Φ(0, x) = x.

Aus dem lokalen Existenz- und Eindeutigkeitssatz f¨ ur DGLn folgt, dass es lokal immer einen (eindeutig bestimmten) Fluss gibt.

Ein Spezialfall sind die linearen Systeme mit konstanten Koeffizienten: y ⁰ = A(y), mit A ∈ End(E ). Dann ist e ^A = P ∞

ν=0 1

ν! A ^ν ∈ Aut(E), t 7→ e ^tA differenzierbar auf R (mit _dt ^d (e ^tA ) = A · e ^tA = e ^tA · A) und e ^X+Y = e ^X · e ^Y , sofern XY = Y X ist. Durch Φ(t, x) := e ^tA · x wird ein globaler Fluss f¨ ur das Vektorfeld f (x) = A(x) gegeben.

Nach dem Satz von Liouville erf¨ ullt die Wronski-Determinante W (t) := det(e ^tA ) die DGL y ⁰ = Spur(A) · y, es ist also (log ◦W ) ⁰ (t) = Spur(A). Daraus folgt:

det(e ^tA ) = W (t) = exp(

Z t 0

Spur(A) ds) = e ^t·Spur(A) .

6 Anhang C - Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Anhang C - Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Sei X ein Hausdorff-Raum und E ein n-dimensionaler k-Vektorraum. Eine Kar- te (U, ϕ) f¨ ur X in E besteht aus einer offenen Teilmenge U ⊂ X und einem Hom¨ oomorphismus ϕ : U → W auf eine offene Teilmenge W ⊂ E.

Definition.

Ein differenzierbarer Atlas (mit Modellraum E) f¨ ur X ist eine Familie A = (U _i , ϕ _i ) _i∈I von Karten (U _i , ϕ _i ) f¨ ur X in E mit folgenden Eigenschaften:

1. Die U _i uberdecken ¨ X, d.h., es ist [

i∈I

U _i = X.

2. Die Karten sind paarweise differenzierbar vertr¨ aglich, d.h., f¨ ur i, j ∈ I ist U i ∩ U j = ∅ oder

ϕ _i ◦ ϕ ⁻¹ _j : ϕ _j (U _i ∩ U _j ) → ϕ _i (U _i ∩ U _j )

ist eine differenzierbare Abbildung. Dabei soll hier im Falle k = R unter

” differenzierbar“ stets C ^∞ verstanden werden, im Falle k = C ” holomorph“.

Sind (X, A ) und (Y, B ) zwei Hausdorffr¨ aume mit differenzierbaren Atlanten, so nennt man eine Abbildung f : X → Y differenzierbar (bez¨ uglich der gegebenen Atlanten), falls f¨ ur Karten (U, ϕ) ∈ A und (V, ψ) ∈ B stets ψ ◦ f ◦ ϕ ⁻¹ diffe- renzierbar ist, sofern diese Abbildung einen nicht-leeren Definitionsbereich besitzt.

Der K¨ orper k soll stets mit dem trivialen Atlas A k = {(k, id _k )} versehen werden.

Eine differenzierbare Abbildung von (X, A ) nach (k, A k ) nennt man auch eine differenzierbare Funktion (bzw. im Falle k = C eine holomorphe Funktion) auf X.

Zwei Atlanten A 1 und A 2 f¨ ur X heißen ¨ aquivalent, falls id _X : X → X bez¨ uglich der Atlanten in beiden Richtungen differenzierbar ist. Eine differenzierbare Struktur auf X ist eine ¨ Aquivalenzklasse von Atlanten f¨ ur X.

Definition.

Eine differenzierbare (bzw. im Falle k = C eine komplexe ) Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum, zusammen mit einer differenzierbaren Struktur. Ist E der Modellraum und dim k (E) = n, so spricht man von einer n-dimensionalen Man- nigfaltigkeit.

Beispiele.

1. Ist B ⊂ E offene Menge eines n-dimensionalen k-Vektorraumes, so wird B mit dem trivialen Atlas (B, id B ) zu einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit.

2. Sei E ein n-dimensionaler k-Vektorraum, B ⊂ E offen und f : B → F

differenzierbar, q := dim _k (F ) < n. Ist X := f ⁻¹ (0) 6= ∅ und rg(f ⁰ (x)) = q

f¨ ur alle x ∈ X, so kann man X wie folgt mit einer differenzierbaren Struktur

versehen:

Anhang C - Differenzierbare Mannigfaltigkeiten 7

Sei x ₀ ∈ X, K := Ker(f ⁰ (x ₀ )) ⊂ E und L ⊂ E ein

” Komplement¨ arraum“

zu K, so dass E = K ⊕ L ist. Dann ist dim _k (L) = n − dim _k (Ker(f ⁰ (x ₀ ))) = dim _k (Im(f ⁰ (x ₀ ))) = rg(f ⁰ (x ₀ )) = q = dim _k (F ). Weil Ker(f ⁰ (x ₀ )| _L ) = {0} ist, induziert f ⁰ (x ₀ ) einen Isomorphismus D ₂ f (x ₀ ) : L → F .

Sei x ₀ = x ⁰ ₀ + x ⁰⁰ ₀ , mit x ⁰ ₀ ∈ K und x ⁰⁰ ₀ ∈ L. Nach dem Satz ¨ uber implizite Funktionen gibt es eine offene Umgebung U (x ⁰ ₀ ) ⊂ K , eine offene Umgebung V (x ⁰⁰ ₀ ) ⊂ L und eine differenzierbare Funktion g : U → V , so dass f (x ⁰ + g(x ⁰ )) ≡ 0 f¨ ur x ⁰ ∈ U ist.

Sei f b : U × V → K × F definiert durch f b (x ⁰ , x ⁰⁰ ) := (x ⁰ , f(x ⁰ + x ⁰⁰ )). Dann ist f b ⁰ (x ⁰ ₀ , x ⁰⁰ ₀ ) = (pr ₁ , D ₁ f (x ₀ ) ◦ pr ₁ + D ₂ f (x ₀ ) ◦ pr ₂ ) : K × L → K × F ein Iso- morphismus mit Umkehrabbildung (v, w) 7→ (v, D ₂ f (x ₀ ) ⁻¹ (w −D ₁ f(x ₀ )(v))).

Also ist f b ein lokaler Diffeomorphismus und aus der Gleichung f(x ⁰ + x ⁰⁰ ) = 0 kann x ⁰⁰ = pr ₂ ◦ f b ⁻¹ (x ⁰ , 0) eindeutig bestimmt werden. Also muss dann x ⁰⁰ = g(x ⁰ ) sein.

Durch ϕ(x ⁰ +x ⁰⁰ ) := x ⁰ wird somit ein Hom¨ oomorphismus ϕ : (U ×V )∩X → U gestiftet, mit ϕ ⁻¹ (x ⁰ ) = (x ⁰ , g(x ⁰ )). Das ist eine Karte f¨ ur X in K. Man kann leicht zeigen, dass zwei solche Karten miteinander differenzierbar vertr¨ aglich sind. So wird X zu einer (n − q)-dimensionalen (Unter-)Mannigfaltigkeit.

Sei z.B. f : R ⁿ → R definiert durch f (x) := x · x ^> − 1. Dann ist f ⁰ (x ₀ )(v) = 2x ₀ · v ^> f¨ ur x ₀ ∈ f ⁻¹ (0) eine nicht verschwindende Linearform, hat also den Rang 1. Damit ist

S ⁻¹ = {x ∈ R ⁿ : x · x ^> = 1}

eine (n − 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit, die sogenannte (n − 1)- Sph¨ are.

3. Sei jetzt E ein (n + 1)-dimensionaler k-Vektorraum, versehen mit einem (im Falle k = R euklidischen und im Falle k = C hermiteschen) Skalaprodukt

<. . . , . . .>.

Die Menge P (E) aller 1-dimensionalen k-Untervektorr¨ aume L ⊂ E nennt man den projektiven Raum von E. Die Abbildung π : E \ {0} → P (E) heißt die kanonische Projektion. Eine Teilmenge U ⊂ P (E) wird offen genannt, falls π ⁻¹ (U ) offen in E \ {0} ist. Man kann nachrechnen, dass dies die

” feinste“

Topologie auf P (E) ergibt, f¨ ur die π stetig ist.

Karten f¨ ur P (E) erh¨ alt man folgendermaßen: Ist L ₀ ⊂ E eine feste Gerade

und H ₀ := L ^⊥ ₀ die dazu orthogonale Hyperebene, so ist U ₀ := {L ∈ P (E) :

E = L ⊕ H ₀ } eine offene Umgebung von L ₀ , denn π ⁻¹ (U ₀ ) ist die Vereinigung

aller Geraden L (ohne den Nullpunkt) mit L ∩ H ₀ = {0}, also die offene

Menge E \ H ₀ . Jede Gerade L ∈ U ist auf eindeutige Weise der Graph einer

linearen Abbildung f _L : L ₀ → H ₀ in L ₀ ⊕ H ₀ = E. Durch ϕ ₀ : L 7→ f _L

8 Anhang C - Differenzierbare Mannigfaltigkeiten

wird eine Karte f¨ ur P (E) in Hom _k (L ₀ , H ₀ ) ∼ = H ₀ ∼ = k ⁿ definiert. Ist n¨ amlich L ₀ = ke ₀ und {a ₁ , . . . , a _n } eine Basis von H ₀ , so ist f _L festgelegt durch f _L (e ₀ ) = x ₁ (L)a ₁ + · · · + x _n (L)a _n , und damit ϕ(L) = (x ₁ (L), . . . , x _n (L)).

Ist speziell E = k ⁿ⁺¹ , so schreiben wir P n (k) an Stelle von P (k ⁿ⁺¹ ) und (x ₀ : x ₁ : . . . : x _n ) an Stelle von π(x ₀ , . . . , x _n ). Die x _i heißen die homo- genen Koordinaten des entsprechenden Punktes im projektiven Raum. Mit x ₀ , x ₁ , . . . , x _n sind auch λx ₀ , λx ₁ , . . . , λx _n homogene Koordinaten des gleichen Punktes. Ist in diesem Falle L 0 = ke i = (0 : . . . : 1 : . . . : 0) (mit einer 1 an der i-ten Stelle), so ist L ^⊥ ₀ = {x = (x ₀ , x ₁ , . . . , x _n ) : x _i = 0} und wir erhalten als Umgebung von π(e _i ) die Menge

U _i = {(x ₀ : . . . : x _n ) : x _i 6= 0}.

Jede Gerade L = kx ⊂ k ⁿ⁺¹ , die – als Element des projektiven Raumes – zu U _i geh¨ ort, ist Graph einer linearen Abbildung f _L : L ₀ → L ^⊥ ₀ , und die Karte ϕ _i : U _i → k ⁿ ist nach der obigen Konstruktion wie folgt gegeben: Ist ι _i : k ⁿ → k ⁿ⁺¹ definiert durch ι _i (w ₁ , . . . , w _n ) := (w ₁ , . . . , w _i , 0, w _i+1 , . . . , w _n ), so gibt es zu x ein λ ∈ k mit λx = e _i + ι _i (ϕ _i (π(x))). Im Falle i = 0 bedeutet das z.B.

λ(x ₀ , x ₁ , . . . , x _n ) = (1, w ₁ , . . . , w _n ) und ϕ ₀ (x ₀ : . . . : x _n ) = ( ^x _x

0

, . . . , ^x _x

0

), f¨ ur allgemeines i also

ϕ _i (x ₀ : . . . : x _n ) = x ₁

x _i , . . . , x i−1

x _i , b 1, x _i+1

x _i , . . . , x _n x _i

.

Man kann nun leicht nachpr¨ ufen, dass je zwei solcher Karten differenzierbar vertr¨ aglich sind.

Sind zwei Punkte im projektiven Raum gegeben, so kann man eine Hy-

perebene H ⊂ k ⁿ⁺¹ finden, die die Urbilder der Punkte nur im Nullpunkt

trifft. Damit liegen beide Punkte in der gleichen Kartenumgebung, und man

kann sehr leicht die Hausdorff-Eigenschaft verifizieren. Also ist P n (k) eine

n-dimensionale Mannigfaltigkeit.

Anhang D - Tangentialvektoren und Derivationen 9

Anhang D - Tangentialvektoren und Derivationen

In einem n-dimensionalen k-Vektorraum E werden Richtungen durch Vektoren beschrieben. Ist X ⊂ E eine Untermannigfaltigkeit, so steht der Begriff des

” Tan- gentialvektors“ zur Verf¨ ugung:

Sei B ⊂ E offen, f : B → F differenzierbar und rg(f ⁰ (x)) = q auf X = f ⁻¹ (0).

Dann ist X eine (n−q)-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Ein Vektor v ∈ E heißt Tangentialvektor an X im Punkt x ₀ , falls es eine offene Umgebung ∆ = ∆(0) ⊂ k und einen differenzierbaren Weg α : ∆ → X mit α(0) = x 0 und α ⁰ (0) = v gibt.

Man stellt sehr schnell fest, dass die Menge T _x

(X) aller Tangentialvektoren an X in x ₀ mit dem Vektorraum Ker(f ⁰ (x ₀ )) ¨ ubereinstimmt. Deshalb kann man vom

” Tangentialraum“ sprechen. Ist W ⊂ k ^n−q offen und ϕ : W → X eine lokale Parametrisierung von X in x ₀ (also ϕ : W → E differenzierbar, ϕ(W ) ⊂ X und speziell ϕ(w ₀ ) = x ₀ , rg(ϕ ⁰ (w)) = n − q f¨ ur alle w ∈ W und ϕ : W → ϕ(W ) ein Hom¨ oomorphismus), so ist T x

(X) = Im(ϕ ⁰ (w 0 )).

Bei abstrakten Mannigfaltigkeiten geht das nicht so einfach. Nat¨ urlich kann man Richtungen durch Wege beschreiben, aber das liefert einem noch keine Vektoren.

Die gewinnt man folgendermaßen:

Gegeben seien zwei differenzierbare Wege α, β : ∆ → X mit α(0) = β(0) = x ₀ . Wir sagen, α und β haben in x ₀ die

” gleiche Richtung“, falls gilt:

(f ◦ α) ⁰ (0) = (f ◦ β) ⁰ (0)

f¨ ur alle differenzierbaren Funktionen in der N¨ ahe von x ₀ . Offensichtlich wird da- durch eine ¨ Aquivalenzrelation auf der Menge aller Wege durch x ₀ erkl¨ art. Ein Tan- gentialvektor in x ₀ ist eine ¨ Aquivalenzklasse von Wegen durch x ₀ mit gleicher Rich- tung. Ist (U, ϕ) eine beliebige Karte f¨ ur X in E, so sind die Vektoren (ϕ ◦ α) ⁰ (0) und (ϕ ◦ β) ⁰ (0) gleich. Da haben wir unseren Vektor! Allerdings h¨ angt er von der Karte ϕ ab.

Vektoren sind also Paare (v, (U, ϕ)), bestehend aus einem Vektor v ∈ E und einer Karte (U, ϕ) mit x ₀ ∈ U . Zwei solche Paare (v, (U, ϕ)) und (w, (V, ψ)) definieren den gleichen Vektor, falls gilt:

v = (ϕ ◦ ψ ⁻¹ ) ⁰ (ψ(x 0 ))(w).

Im Folgenden betrachten wir nur noch reelle Mannigfaltigkeiten.

Sei x ∈ X ein fester Punkt. Zwei in der N¨ ahe von x definierte Funktionen f und g heißen ¨ aquivalent, falls es eine offene Umgebung U = U (x) ⊂ X gibt, so dass f| _U = g| _U ist. Eine ¨ Aquivalenzklasse nennt man einen Funktionskeim in x.

Den Keim der Funktion f bezeichnet man mit f _x . Meistens unterscheiden wir nicht

zwischen einer Funktion und dem von ihr repr¨ asentierten Keim. Die Menge E x aller

(beliebig oft) differenzierbaren Funktionskeime in x bildet einen R -Vektorraum.

10 Anhang D - Tangentialvektoren und Derivationen

Unter einer Derivation in x versteht man eine R -lineare Abbildung δ : E x → R , so dass gilt:

δ(f · g) = f (x) · δ(g) + g(x) · δ(f ).

Man sieht leicht, dass die Menge Der _R ( E x , R ) aller Derivationen in x ein reeller Vektorraum ist.

Ist ϕ ein Koordinatensystem in x, so bestimmt jeder Tangentialvektor α ⁰ (0) ∈ T _x (X) eindeutig einen Vektor (ϕ ◦ α) ⁰ (0) ∈ R ⁿ . Ist umgekehrt v ∈ R ⁿ und

α(t) := ϕ ⁻¹ (ϕ(x) + tv),

so ist (ϕ ◦ α) ⁰ (0) = v. Auf diesem Wege ¨ ubertr¨ agt man die Vektorraum-Struktur des R ⁿ auf T x (X).

D.1 Satz. Durch θ x (α ⁰ (0))(f) := (f ◦ α) ⁰ (0) wird ein Isomorphismus θ x : T _x (X) → Der _R ( E x , R ) definiert.

Beweis: Offensichtlich h¨ angt die Definition von θ _x (α ⁰ (0)) nur von der ¨ Aquiva- lenzklasse α ⁰ (0) ab. Und man rechnet leicht nach, dass es sich tats¨ achlich um ei- ne Derivation handelt. Nun zur R -Linearit¨ at. Es seien zwei Tangentialvektoren α ⁰ ₁ (0), α ⁰ ₂ (0) gegeben, ihre Bilder seien die Derivationen δ ₁ und δ ₂ . Weiter sei ϕ eine lokale Karte in x. Ist (ϕ◦α _i ) ⁰ (0) = v _i , f¨ ur i = 1, 2, und β(t) = ϕ ⁻¹ (ϕ(x)+t(v ₁ +v ₂ )), so ist β ⁰ (0) = α ⁰ ₁ (0) + α ⁰ ₂ (0) und

θ _x (β ⁰ (0))(f) = (f ◦ β) ⁰ (0)

= d

dt 0

f ◦ ϕ ⁻¹ (ϕ(x) + t(v ₁ + v ₂ ))

= (∇(f ◦ ϕ ⁻¹ ))(0) • (v 1 + v 2 )

= (∇(f ◦ ϕ ⁻¹ ))(0) • v ₁ + (∇(f ◦ ϕ ⁻¹ ))(0) • v ₂

= (f ◦ α ₁ ) ⁰ (0) + (f ◦ α ₂ ) ⁰ (0)

= δ ₁ (f ) + δ ₂ (f ),

also θ _x (α ⁰ ₁ (0)+ α ⁰ ₂ (0)) = θ _x (α ⁰ ₁ (0))+ θ _x (α ⁰ ₂ (0)). Die Homogenit¨ at zeigt man genauso.

Ist θ _x (α ⁰ (0)) = 0, so ist (f ◦ α) ⁰ (0) = 0 f¨ ur alle f ∈ E x . Das bedeutet aber, dass α ⁰ (0) der Nullvektor in T x (X) ist. Also ist θ x injektiv.

Sei nun eine Derivation δ ∈ Der _R ( E x , R ) gegeben. Wir w¨ ahlen eine Karte ϕ = (x ₁ , . . . , x _n ) f¨ ur X mit ϕ(x) = 0. Ist f ∈ E x , so gibt es eine Darstellung

f(y) = f(x) +

n

X

ν=1

x _ν (y) · f _ν (y), f¨ ur y nahe x,

mit Funktionen f _ν ∈ E x und f _ν (x) = ∂(f ◦ ϕ ⁻¹ )

∂x ν

(0). Die Derivation δ verschwindet

auf allen konstanten Funktionen. Daher ist

Anhang D - Tangentialvektoren und Derivationen 11

δ(f) =

n

X

ν=1

δ(x _ν ) · ∂ (f ◦ ϕ ⁻¹ )

∂x _ν (0).

Der Weg α(t) := ϕ ⁻¹ (δ(x 1 )t, . . . , δ(x n )t) mit α(0) = x h¨ angt nicht von f ab, und es ist

(f ◦ α) ⁰ (0) =

n

X

ν=1

δ(x _ν ) · ∂ (f ◦ ϕ ⁻¹ )

∂x _ν (0) = δ(f), also θ _x (α ⁰ (0)) = δ.

Spezielle Derivationen sind die (von der Karte ϕ abh¨ angigen) partiellen Ableitungen D ^(ϕ) _i , i = 1, . . . , n, definiert durch

D _i ^(ϕ) (f ) = ∂ (f ◦ ϕ ⁻¹ )

∂x _i (ϕ(x)) .

Man kann zeigen, dass die partiellen Ableitungen eine Basis des Raumes Der _R ( E x , R ) bilden:

1. Wir haben oben schon gesehen, dass δ = P n

ν=1 δ(x _ν ) · D ν ^(ϕ) ist. Also bilden die partiellen Ableitungen ein Erzeugendensystem.

2. Ist δ := P n

ν=1 a _ν · D ^(ϕ) ν = 0, so ist a _ν = δ(x _ν ) = 0 f¨ ur ν = 1, . . . , n. Also sind die D ^(ϕ) ν linear unabh¨ angig.

Damit hat eine allgemeine Derivation die Gestalt D =

n

X

i=1

a i D _i ^(ϕ) .

Ist Φ : X → Y eine differenzierbare Abbildung zwischen zwei Mannigfaltigkeiten, so wird f¨ ur jedes x ∈ X durch Φ ∗ (α ⁰ (0)) := (Φ ◦ α) ⁰ (0) eine lineare Abbildung Φ ∗ : T _x (X) → T _Φ(x) (Y ) definiert. Wird n¨ amlich der Tangentialvektor α ⁰ (0) durch ein Paar (v, (U, ϕ)) repr¨ asentiert und ist (V, ψ) eine Karte f¨ ur Y in Φ(x), so wird Φ ∗ (α ⁰ (0)) durch den Vektor (ψ ◦ Φ ◦ ϕ ⁻¹ ) ⁰ (ϕ(x))(v ) und die Karte (V, ψ) repr¨ asen- tiert. Wird α ⁰ (0) durch eine Derivation δ gegeben, so ist

Φ ∗ δ(g) = δ(g ◦ Φ).

Definition.

Eine Derivation auf einer Mannigfaltigkeit X ist eine Abbildung D : C ^∞ (X) → C ^∞ (X), so dass gilt:

1. D ist R -linear.

2. Es ist D(f · g) = f · D(g) + g · D(f).

12 Anhang D - Tangentialvektoren und Derivationen

Die Menge Der(X) aller Derivationen auf X bildet einen R -Vektorraum.

D.2 Satz. Ist x ₀ ∈ X, U = U (x ₀ ) ⊂ X eine offene Umgebung, f ∈ C ^∞ (X) und f | _U = 0, sowie D eine Derivation auf X, so ist (Df)(x ₀ ) = 0.

Beweis: Man kann eine Funktion % ∈ C ^∞ (G) finden, so dass %(x) ≡ 1 nahe x ₀ und ≡ 0 auf X \ U ist Dann ist %(x) · f (x) ≡ 0 auf ganz X und daher 0 = D(% · f)(x ₀ ) = %(x ₀ ) · (Df )(x ₀ ) + f (x ₀ ) · (D%)(x ₀ ) = (Df )(x ₀ ).

Man kann also Derivationen auf offene Teilmengen einschr¨ anken!

Betrachten wir nun den Spezialfall, dass es eine Karte ϕ : U → W ⊂ E gibt. Ist D eine Derivation auf X, so wird in jedem Punkt x ∈ X eine Derivation D _x definiert, durch D _x (f) := D( f), wobei b f b eine differenzierbare Funktion auf X ist, die in der N¨ ahe von x mit f ubereinstimmt. Wegen des obigen Satzes ist die Definition ¨ unabh¨ angig von der gew¨ ahlten Fortsetzung f. b

Offensichtlich gibt es differenzierbare Funktionen a _ν auf U , so dass gilt:

(D| U f)(x) =

n

X

ν=1

a ν (x) · D _ν ^(ϕ) f(x), f¨ ur x ∈ U.

Dabei sind die Funktionen a _ν = D| _U (x _ν ) differenzierbar.

Sei umgekehrt eine Derivation D _U = P

ν a _ν D ^(ϕ) ν auf U gegeben, mit differen- zierbaren Funktionen a _ν . Dann definiert man zu jedem x ₀ ∈ U eine Derivation D : C ^∞ (X) → C ^∞ (X) wie folgt: Zun¨ achst w¨ ahle man zwei offene Umgebungen V ⊂⊂ U ⊂ X um x ₀ und eine Funktion % ∈ C ^∞ (X) mit kompaktem Tr¨ ager in U und %| _V ≡ 1. Dann setze man

Df(x) :=



 

 

%(x) ·

n

X

ν=1

a _ν (x) ∂(f ◦ ϕ ⁻¹ )

∂x _ν (ϕ(x)) f¨ ur x ∈ U,

0 falls x 6∈ U.

Offensichtlich ist D eine Derivation mit D| V = D U | V . Definition.

Ein globaler Fluss auf X ist eine differenzierbare Abbildung Φ : R × X, so dass gilt:

1. Φ(0, x) = x f¨ ur alle x ∈ X.

2. Φ(t, Φ(s, x)) = Φ(t + s, x) f¨ ur t, s ∈ R und x ∈ X.

Ein globaler Fluss definiert Diffeomorphismen Φ _t : X → X durch Φ _t (x) = Φ(t, x) (und mit Φ ₀ = id _X und (Φ _t ) ⁻¹ = Φ −t ). F¨ ur jeden Punkt x ∈ X wird außerdem eine Kurve Φ _x : R → X mit Φ _x (t) = Φ(t, x) definiert, also mit Φ _x (0) = x.

D.3 Satz. Sei Φ : R × X → X ein globaler Fluss. Dann wird durch Df (x) :=

∂(f ◦ Φ)

∂t (0, x) eine Derivation auf X gegeben.