∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
−
→
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
−
→
4 ist geradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens nicht.
-6 ist negativ.
Also: x ---->−∞∞∞∞ x ---->+∞∞∞∞
f(x)--->−∞∞∞∞ f(x)--->−∞∞∞∞
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 4 f x( ):= −6x4+5x3−4x2+3
Bsp.:
∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
−
→
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
→
7 ist ungeradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens.
-5 ist negativ.
Also: x ---->−∞∞∞∞ x ---->+∞∞∞∞
f(x)--->+∞∞ f(x)--->∞∞ −∞∞∞∞
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 7 f x( ):= −5x7+3x3−2x2−x+2
Bsp.:
∞∞
∞∞ x
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
→
∞∞
∞∞ x −
f x( ) lim
→
∞∞
∞∞
−
→
3 ist ungeradzahlig, also wechselt das Vorzeichen des Grenzverhaltens.
4 ist positiv.
Also: x ---->−∞∞∞∞ x ---->+∞∞∞∞
f(x)--->−∞∞∞∞ f(x)--->+∞∞∞∞
^---- Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x, hier: 3 f x( ):= 4x3+9x−2
Bsp.:
EigenschaftenPolynomfun_1.gxt EigenschaftenPolfunGrenzv.gxt
Bestimmend ist der Summand mit der höchsten Potenz von x.
(1) Ungeradzahlige Exponenten ergeben einen Vorzeichenwechsel im Grenzverhalten, geradzahlige nicht.
(2) Das Vorzeichen des Koeffizienten bestimmt das Grenzverhalten.
Wie verhält sich der Funktionswert einer ganzrationalen Funktion für x--->∞∞∞∞ oder x--->−∞∞∞∞?
Grenzverhalten
Eigenschaften ganzrationaler Funktionen
MK 3.6.2003 EigenschaftenPolynomfun.mcd
Vielfachheit von Nullstellen
Ein Linearfaktor wird als Differenz (x - Nullstelle) gebildet.
Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion kann in Linearfaktoren zerlegt werden.
Dazu muss man die Nullstellen bestimmen.
Ein Beispiel: f x( ):= x2−x−6 hat die Nullstellen x1= -2 und x2= 3 und somit die Linearfaktorzerlegung f x( ):= [x−(−2)]⋅(x−3)
Die Vielfachheit einer Nullstelle ist dann die Vielfachheit des entsprechenden Linearfaktors.
Das obige Beispiel hat einfache Nullstellen.
Ungeradzahlige Vielfacheiten (1-fache, 3-fache, 5-fache...) ergeben Schnittpunkte, geradzahlige Vielfacheiten (2-fache, 4-fache, 6-fache...) ergeben Berührpunkte.
Bsp.: f x( ):= x4+ x3−7 x⋅ 2−13 x⋅ −6
EigenschaftenPolynomfun_2.gxt Nullstellen: f x( ) =0 auflösen x,
−2 3
−1
−1
→
Linearfaktorzerlegung: f x( ):= (x+2)(x+1)2⋅(x−3)
Es existieren also zwei einfache Nullstellen (=Schnittpunkte) bei -2 und 3, sowie eine doppelte Nullstelle (=Berührpunkt) bei -1.
x:= −4,−3.95..5
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
4 2 2 4
f x( )
x
Schnittp. Berührp. Schnittp.
x:= x
Bsp.: f x( ):= x7+ x6−11 x⋅ 5−11 x⋅ 4+ 19 x⋅ 3+19 x⋅ 2−9 x⋅ −9
EigenschaftenPolynomfun_3.gxt Nullstellen: f x( ) =0 auflösen x,
3
−3 1 1
−1
−1
−1
→
Linearfaktorzerlegung: f x( ):= (x+3)(x+1)3(x−1)2⋅(x−3)
Es existieren also zwei einfache Nullstellen (=Schnittpunkte) bei -3 und 3, sowie eine doppelte Nullstelle (=Berührpunkt) bei 1 und eine dreifache Nullstelle (=Schnittpunkt) bei -1.
4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
4 2 2 4
f x( )
x
x:= −4,−3.98..5
Schnittp. Schnittp. Berührp. Schnittp.
f p x( , ) 1
5 ⋅(x−p)(x+3)⋅(x+1)⋅(x+1)⋅(x−2)
:= x:= −5,−4.98..5
p −4 FRAME + 40
:= Animation 0 bis 320 , 16 Bilder/s Das fertige Video
4 3 2 1 0 1 2 3 4
10 5 5 10 p
