Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (2)Monotonie

Eine Funktion heißt monoton abnehmend, wenn für alle x∈∈∈∈D gilt: x₁<x₂ ⇔⇔⇔⇔ f x

( )

₁ ^{≥f x}

( )

2 Gilt sogar x₁<x₂ ⇔⇔⇔⇔ f x

( )

₁ ^{>f x}

( )

2 , dann fällt der Graph der Funktion streng monoton.

Untersuche dazu: f x

( )

₁ ^{−f x}

( )

2

x₁−x₂ unter der Voraussetzung x₁<x₂

f x

( )

₁ ^{−f x}

( )

2

x₁−x₂ ≥0 ⇒⇒⇒⇒ f ist monoton zunehmend

f x

( )

₁ ^{−f x}

( )

2

x₁−x₂ ≤0 ⇒⇒⇒⇒ f ist monoton abnehmend

(Anmerkung: Statt streng monoton ist auch echt monoton gebräuchlich.)

MK 3.6.2003 EigenschaftenPolynomfun_2.mcd

Eigenschaften ganzrationaler Funktionen (2)

Monotonie

In welchen Intervallen steigt und fällt der Graph?

Am Beispiel: f x( ):= x²−3x−10

2 0 2 4 6

15 10 5 5 10

fallen x1( ) steigen x2( )

1.5

x1 x2,

Anschaulich: Sie sind mit dem Fahrrad immer von links nach rechts (zunehmende x-Werte) unterwegs. Wenn es bergab geht, dann fällt der Graph (streng) monoton. Wenn Sie tüchtig strampeln müssten, dann steigt der Graph (streng) monoton.

Mathematische Definition der Monotonie:

Eine Funktion heißt monoton zunehmend, wenn für alle x∈∈∈∈D gilt: x₁<x₂ ⇔⇔⇔⇔ f x

( )

₁ ^{≤f x}

( )

2 Gilt sogar x₁<x₂ ⇔⇔⇔⇔ f x

( )

₁ ^{<f x}

( )

2 , dann steigt der Graph der Funktion streng monoton.

EigenschaftenPolfunMonotonie.gxt

Ein anschauliches Beispiel: Finde die Intervalle, in denen der Graph der Funktion steigt und fällt.

Also: Der Graph von f fällt monoton bis 1.5 und steigt dann monoton

Man sieht, dass für sehr kleine h nur Werte x₂ 3

≤ 2 in Frage kommen.

x₂ 3 2

h + 2 Rechnung ≤

analog:

Graph monoton fallend f x

( )

₁ ^{−f x}

( )

2

x₁−x₂ ≤0 Annahme:

Man sieht, dass für sehr kleine h nur Werte x₁ 3

≥ 2 in Frage kommen.

x₁ 3 2

h

− 2

≥

x₁+x₁+h−3≥0

x₁<x₂ , da Voraussetzung

h>0 x₂=x₁+h mit

Es war x₁+x₂−3≥0

x₁+x₂

( )

^⋅

(

^x1−x₂

)

^−3⋅

(

^x1−x₂

)

x₁−x₂ ≥0

x₁²−3 x⋅ ₁−x₂²+ 3 x⋅ ₂

   

x₁−x₂

( )

^≥0

Graph monoton steigend f x

( )

₁ ^{−f x}

( )

2

x₁−x₂ ≥0 Annahme:

f x( ):= x²−3x−10 Am Beispiel:

6 4 2 0 2 4 6

5 4 3 2 1 1 2 3 4 5

f1 x( ) f2 x( ) f3 x( )

x

Diese Funktion hat eine obere und untere Schranke.

−1≤f x( ) ≤1 Es gilt

f3 x( ):= sin x( ) Bsp.:

Hier wäre 2 das Supremum f2 x( ) ≤2

Es gilt f2 x( ):= 2−x²−x⁴

Bsp.:

Damit wäre -5 eine untere Schranke. Das Infimum hier wäre 1.

f1 x( ) ≥−5 Es gilt auch

, da x²≥0 f1 x( ) ≥1

Es gilt f1 x( ):= x²+ 1

Bsp.:

Bis auf Ausnahmen lässt sich zu diesem Zeitpunkt eine Schranke nur anschaulich (ohne Beweis) angeben.

Die kleinstmögliche obere Schranke heißt Supremum und die größtmögliche untere Schranke heißt Infimum.

Dann ist L eine untere Schranke.

für alle x f x( ) ≥L

Dann ist K eine obere Schranke.

für alle x f x( ) ≤K

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn es eine Zahl K∈∈R oder eine Zahl L∈∈ ∈∈∈∈R gibt, so dass gilt:

Def.:

Beschränktheit

Aufgabe: Stelle mit Hilfe von GEONExT Schätzungen für Supremum/Infimum der Graphen fest.

EigenschaftenPolfunSchranke1.gxt blau

EigenschaftenPolfunSchranke2.gxt grün

EigenschaftenPolfunSchranke3.gxt rot

Supremum_3=4.434 Supremum_3^:= g3 z3

( )

₄

Infimum_3=−5 Infimum_3^:= g3 z3

( )

₁

g3 z3( )

→



−1

−5 3.042

− 1.607 4.434 4.434 1.607 3.042

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= z3

xg3 x( ) d

d =0 auflösen x,

6.2831853071795864769 6.2831853071795864769

−

12.399070357617652414

−

9.5464591313372454953

−

9.3101022848760373807 3.2562683294831355732 3.0199114830219274586

−

.16730025674152053962

−

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

→ :=

g3 x( ):= 2 sin 0.25x⋅ ( ) −3 cos x⋅ ( )

∞

∞

∞

∞ --->

g2 x( ) Ein Infimum existiert nicht, da

Supremum_2=1.56

Supremum_2^:= g2 z2

( )

₃ ^{x --> ∞∞∞∞}

g2 z2( )

→



0 2.412

− 2.412

− 1.56 1.56

 

 

 

 

 

 

= z2

xg2 x( ) d

d =0 auflösen x,

1.

.92419299192762847387

−

2.9241929919276284739 2.6005760645323503802

−

4.6005760645323503802

 

 

 

 

 

 

→ :=

g2 x( ):= −0.01⋅(x+ 3)⋅(x+2)⋅(x−1)²⋅(x−4)⋅(x−5) Infimum_1=−1.034

Infimum_1^:= g1 z1

( )

₂

z1

xg1 x( ) d

d =0

auflösen x, gleit 4,

.1035

− −.7057 i⋅ .1035

− +.7057 i⋅ 2.457

 



 

→



:=

g1 x( ):= 0.1 x⋅ ⁴−0.3 x⋅ ³−0.5x+ 1

Lösungen: (Die Berechnung mit Mathcad ist in der 11. Klasse noch nicht nachzuvollziehen)

x₁<x₂

x₁+ x₂<x₂+ x₂

0≤x₁+x₂−3<x₂+x₂−3 0<2x₂−3

3 2 <x₂