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11.4 Eigenschaften analytischer Funktionen

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Academic year: 2021

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11.4 Eigenschaften analytischer Funktionen

Mittelwerteigenschaft

f(z) = 1 2π

Z2π

0

f(z+reit)dt

f¨ur eine auf einer Kreisscheibe mit Radius > rum z analytische Funktion f

Identit¨at g¨ultig ebenfalls f¨ur Real- und Imagin¨arteil sowie f¨ur harmonische Funktionen

Maximumprinzip

f analytisch inD, stetig auf D =⇒

maxz∈D |f(z)| ≤max

z∈∂D|f(z)|

Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen

|f(n)(z)| ≤ n!

rn max

|w−z|=r|f(w)|

f¨ur eine auf einer Kreisscheibe mit Radius > rum z analytische Funktion f

Satz von Liouville

f analytisch und beschr¨ankt auf C =⇒ f konstant

Fundamentalsatz der Algebra

Existenz einer Nullstelle in C f¨ur jedes nicht konstante Polynom p Faktorisierung

p(z) = c(z−z1)· · ·(z−zn), n= Gradp

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