9.2.3 Lokale Eigenschaften analytischer Funktionen
Mittelwerteigenschaft
f(z) = 1 2π
Z2π
0
f(z+reit)dt
f¨ur eine auf einer Kreisscheibe mit Radius > rum z analytische Funktion f
Identit¨at g¨ultig ebenfalls f¨ur Real- und Imagin¨arteil sowie f¨ur harmonische Funktionen
Maximumprinzip
f analytisch inD, stetig auf D =⇒
maxz∈D |f(z)| ≤max
z∈∂D|f(z)|
Absch¨atzungen f¨ur komplexe Ableitungen
|f(n)(z)| ≤ n!
rn max
|w−z|=r|f(w)|
f¨ur eine auf einer Kreisscheibe mit Radius > rum z analytische Funktion f
Satz von Liouville
f analytisch und beschr¨ankt auf C =⇒ f konstant
Fundamentalsatz der Algebra
Existenz einer Nullstelle in C f¨ur jedes nicht konstante Polynom p
Faktorisierung
p(z) = c(z−z1)· · ·(z−zn), n= Gradp
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