Di ff erenzierbare Funktionen

Di ff erenzierbare Funktionen

Aufgabe 1. Seiena b > 0undı D p

a² b² 0gegeben sowie die Ellipse mit den Brennpunktenz_C D .ı; 0/ 2 C undz D . ı; 0/ 2 Csowie den Halbachsena undbdurch die Funktionf WŒ0; 2!Cbeschrieben, welche durch

f .t /D.acost; bsint / fürt 2Œ0; 2

definiert wird. Sei ferner 2 Œ0; 2ein beliebig fixierter Punkt.

1. Man weise nach, daßjf . / z_Cj C jf . / z j D2agilt, somit die Kreislinien

˚x 2Cj jx z j D2a und ˚

x2 Cj jx f . /j D jz_C f . /j genau einen Punktx_C 2Cund die Kreislinien

˚x 2Cj jx z_Cj D2a und ˚

x 2Cj jx f . /j D jz f . /j genau einen Punktx 2Cgemeinsam haben!

2. Wird die Linearisierungg WR!C, welchef in tangential berührt, durch g.t /Df . /CDf . /.t / fürt 2 R

gegeben, so zeige man, daß es Punktet_C 2 Rundt 2 Rmitg.t_C/ D ¹₂.x_CCz_C/ undg.t /D ¹₂.x Cz /gibt und außerdemjg.tC/j D jg.t /j Dagilt! ³

f . /

0 z_C

z x

x_C

Lösung. 1.1. Wegena² Db²Cı²und cos²Csin² D1gilt für das Abstandsquadrat jf . / z_˙j² D.acos ı/²C.bsin /²

Da²cos²2aıcos Cı²Cb²sin²

Dı²cos² 2aıcosC.b²Cı²/D.aıcos /²; woraus sich aufgrund von0ı < adie Beziehungen

jf . / z_Cj Da ıcos und jf . / z j DaCıcos und somitjf . / z_Cj C jf . / z j D2aergeben.

1.2. Fürx_˙2 Cmitjx_˙ zj D2aundjx_˙ f . /j D jf . / z_˙jgilt demnach jx_˙ zj D2aD jf . / z_Cj C jf . / z j D jx_˙ f . /j C jf . / zj: Die Punktez,f . /,x_˙liegen somit auf einer Strecke. Es gibt daher einen Parameter _˙ > 1, so daß die Darstellungx_˙ D_˙f . /C.1 _˙/zgilt. Daraus folgt

2a D jx_˙ zj D_˙jf . / zj D_˙.a˙ıcos /; also _˙ D 2a a˙ıcos : 2.1. Wegenz_CCz D0ergibt sich demzufolge für die Streckenmittelpunkte

x_˙Cz_˙

2 D x_˙ z

2 und somit ˇ ˇ ˇ ˇ

x_˙Cz_˙ 2

ˇ ˇ ˇ ˇD 2a

2 Da:

2.2. Die LinearisierunggWR!C, welchef in tangential berührt, wird durch g.t /D.acos; bsin /C.t /. asin; bcos / fürt 2 Rgegeben:

Um jeweils eine Lösungt_˙2 Rder linearen Gleichungg.t_˙/D ¹₂.x_˙Cz_˙/zu finden, untersucht man Real- und Imaginärteil

acos a.t_˙ /sin D a.acos˙ı/

a˙ıcos bsin Cb.t_˙ /cos D absin

a˙ıcos und erhält durch äquivalente Umformungen

.t_˙ /sin Dcos acos˙ı

a˙ıcos D ısin² a˙ıcos .t_˙ /cos D asin

a˙ıcos sin D ısincos a˙ıcos : Somit erfüllt der durch

t_˙ D ısin a˙ıcos

gegebene Punktt_˙ 2Rjeweils die Gleichungg.t_˙/D ¹₂.x_˙Cz_˙/.

Aufgabe 2. Seien die IntervalleX1 D  1; 1Œ,X2 D 1; 1ŒundX3 D1;1Œund die Funktionenf WR!Rsowieg WX1[X2[X3!Rwie folgt definiert:

f .x/Darctanx fürx2 R; g.x/D 1

2arctan 2x

1 x² fürx 2X1[X2[X3: 1. Man weise nach, daßDf .x/DDg.x/für allex 2X1[X2[X3gilt!

2. Man zeige, daß es Konstantena1,a2,a3 2Rgibt, so daß für jedes`2 f1; 2; 3g f .x/ g.x/Da` für allex 2X`

gilt und berechne diese Konstantena1,a2,a3 2R! ± Lösung. 1. Aufgrund der Gestalt der Ableitung

Darctana b

D b²

b²Ca² für allea,b 2R,b ¤0 ergibt sich

Dg.x/D 1

2 .1 x²/²

.1 x²/²C.2x/² 2.1 x²/C.2x/² .1 x²/² D .1 x²/C2x²

.1 x²/²C.2x/² D 1Cx²

.1Cx²/² D 1

1Cx² DDf .x/

für jedesx2 X1[X2[X3aufgrund der Kettenregel.

2. Seien`2 f1; 2; 3gsowiex,y 2X`mitx < y beliebig vorgegeben. Aufgrund von Schritt 1 hat die Funktionh D f g für jedesz 2 Œx; ydie AbleitungDh.z/ D 0.

Somit liefert der Mittelwertsatz die Abschätzung jh.x/ h.y/j jx yj sup

z2Œx;y

jDh.z/j D0;

woraush.x/Dh.y/für allex,y 2X`folgt. Somit gibt es Konstantena1,a2,a32 R, so daßf .x/ g.x/Da` für allex 2X` und jedes`2 f1; 2; 3ggilt.

2.1. Fallx2 X1 D 1; 1Œ: Mit limx! 1arctanxD ₂ und limx! 1 2x 1 x² D0 erhält man die Konstante

a1 D lim

x! 1.f .x/ g.x//D lim

x! 1arctanx lim

x! 1

1

2arctan 2x

1 x² D 2 : 2.2. Im Fallex2 X2 D 1; 1Œwählt manx D0und erhälta2 Df .0/ g.0/D0.

2.3. Fall x 2 X3 D 1;1Œ: Wegen limx!1arctanx D ₂ und limx!1 2x 1 x² D 0 ergibt sich die Konstante

a3 D lim

x! 1.f .x/ g.x//D lim

x!1arctanx lim

x!1

1

2arctan 2x

1 x² D 2 : Somit sind alle drei Konstantena1 D ₂,a2D0unda3D ₂ bestimmt.

Aufgabe 3. Man zeige durch vollständige Induktion über` 2N[ f0gund Differen- tiation, daß die Reihe

Pn kD0

`Ck

`

x^k

für jedesx 2K,jxj< 1gegen die Summe

1

X

kD0

`Ck

`

x^k D 1 .1 x/^`C1

konvergiert! ±

Lösung. 1. Sei`2N[ f0gbeliebig festgehalten. Die Potenzreihe.sn/um den Mittel- punktx0D 0mit den durchak D <sup>`C</sup>_`^k

fürk 2N [ f0gvorgegebenen Koeffizienten .ak/hat wegen der Beziehung

klim!1

ˇ ˇ ˇ ˇ

akC1

ak

ˇ ˇ ˇ

ˇD lim

k!1

.`CkC1/Š `Š kŠ

`Š .kC1/Š .`Ck/Š D lim

k!1

`CkC1 kC1 D1 den Konvergenzradius R D 1 und konvergiert somit in X D ˚

x 2 K j jxj < 1 gegen eine differenzierbare Grenzfunktions W X ! K. Ferner konvergiert die sum- mandenweise differenzierte Potenzreihe.Dsn/um den Mittelpunkt x0 D 0 mit den Koeffizienten..kC1/akC1/inX gegen die AbleitungDs WX !Kvons WX !K.

2. Die Summenformel wird induktiv über den Parameter`2N [ f0gbewiesen:

Induktionsanfang:Im Falle` D0gilt <sup>`C</sup>_`^k

D 1für allek2 N [ f0g. Die Konver- genz der geometrischen Reihe Pn

kD0x^k

gegen die Summe

1

X

kD0

x^k D 1

1 x für jedesx 2Kmitjxj< 1 liefert somit die Gültigkeit des Induktionsanfangs.

Induktionsschritt:Es sei induktiv vorausgesetzt, daß die Reihe Pn

kD0

`Ck

`

x^k für ein`2N [ f0gund jedesx 2X gegen die Summe

1

X

kD0

`Ck

`

x^k D 1 .1 x/^`C1

konvergiert. Wegen Schritt 1 konvergiert die summandenweise differenzierte Potenz- reihe inX gegen die Ableitung der Grenzfunktion. Die Kettenregel liefert somit

1

X

kD0

.kC1/

`CkC1

`

x^k D `C1

.1 x/^`C2 für jedesx2 X : Da für jedesk2 N[ f0gdie Beziehung

kC1

`C1

`CkC1

`

D kC1

`C1 .`CkC1/Š

`Š .kC1/Š D .`C1Ck/Š .`C1/Š kŠ D

`C1Ck

`C1

gilt, ergibt sich daraus schließlich die Induktionsbehauptung.

Aufgabe 4. Seiena, b 2 Rmita > 0 undjbj < avorgegeben. Man zeige, daß die Funktionf W

2;₂

!Rdurch f .x/D 1

pa² b² arcsinasinxCb

aCbsinx fürx 2

2;₂ korrekt definiert ist und

Df .x/D 1

aCbsinx für allex 2

2;₂ als Ableitung besitzt!

Lösung. 1. Wegena > 0,jbj< aund sinx 2 1; 1Œfür allex 2

2;₂ gelten aCbsinx > 0; b.1 sinx/ < a.1 sinx/ sowie a.1Csinx/ > b.1Csinx/

und somit

.aCbsinx/ < asinxCb < aCbsinx; also ˇ ˇ ˇ ˇ

asinxCb aCbsinx ˇ ˇ ˇ ˇ

< 1:

2. Aufgrund der Gestalt der Ableitung Darcsinc

d

D d

pd² c² für allec,d 2Rmitd > 0undjcj < d erhält man aufgrund der Produkt- und Kettenregel

Df .x/D .aCbsinx/ .aCbsinx/ acosx .asinxCb/ bcosx pa² b²p

.aCbsinx/² .asinxCb/².aCbsinx/²

D 1

pa² b² 1

p.a² b²/.1 sin²x/ .a² b²/cosx

aCbsinx D 1 aCbsinx für allex 2

2;₂

.

Aufgabe 5. Man zeige durch Differentiation, daß die Reihe Pn kD0

1

2kC1. 1/^kx^2kC1 für jedesx2  1; 1Œgegen den Grenzwert arctanx2Rkonvergiert!

Lösung. 1. Die Potenzreihe .sn/umx0 D 0mit den durch a2kC1 D _2k¹_C1. 1/^k und a2k D0fürk 2N [ f0gdefinierten Koeffizienten.ak/hat wegen der Beziehung

klim!1

pk

jakj D lim

k!1

1 pk

k D1

den KonvergenzradiusRD1und konvergiert somit in 1; 1Œgegen eine differenzier- bare Grenzfunktions W 1; 1Œ!R.

2. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe .Dsn/umx0 D 0mit den Ko- effizienten..kC1/akC1/hat ebenfalls den KonvergenzradiusR D1und konvergiert in 1; 1Œgegen die AbleitungDs W 1; 1Œ ! Rder Grenzfunktions W 1; 1Œ ! R.

Es gilt somit Ds.x/D

1

X

kD0

. 1/^kx^2k D

1

X

kD0

. x²/^k D 1

1Cx² für allex 2Rmitjxj< 1 aufgrund der Summenformel der geometrischen Reihe.

3. Die durch f .x/ D arctanx fürx 2 Rdefinierte Funktion f W R ! Rbesitzt ebenfalls die Ableitung

Df .x/ D 1

1Cx² für allex 2R:

Aufgrund von Schritt 2 hat die FunktionhDs f für jedesz 2 1; 1Œdie Ableitung Dh.z/D0. Der Mittelwertsatz liefert somit

jh.x/ h.0/j jxj sup

2Œ0;1

jDh. x/j D0 für allex 2 1; 1Œ;

alsoh.x/ D h.0/für alle x 2  1; 1Œ. Daf .0/ D 0sowies.0/ Dsn.0/ D 0für jedes n2N[ f0ggilt, ergibt sich schließlichs.x/Df .x/für allex2  1; 1Œ.

2

0

2

1

1

sin cos

Aufgabe 6. Man zeige, daß die Funktionen sin, cos W R ! Œ 1; 1 differenzierbar sind und die Ableitungen

Dsin. /Dcos bzw. Dcos. /D sin für alle 2Rbesitzen!

Lösung. Für allex,y 2Rgelten die Additionstheoreme sin.x˙y/Dsinxcosy˙cosxsiny;

cos.x˙y/Dcosxcosysinxsiny:

Setzt manxD ^ˇC₂ 2 Rundy D ^ˇ ₂ 2 Rfürˇ, 2 Rein, so erhält man sinˇ sin Dsin.x Cy/ sin.x y/D2cosxsiny D2cosˇC

2 sinˇ 2 ; cosˇ cos Dcos.x Cy/ cos.x y/D 2sinxsiny D 2sinˇC

2 sinˇ 2 : Wegen der Stetigkeit der Funktionen sin, cos WR!Œ 1; 1und der Grenzwertbe- ziehung limˇ! 2

ˇ sin^ˇ ₂ D1folgt daraus für alle 2R

ˇlim!

sinˇ sin

ˇ D lim

ˇ!cosˇC 2 lim

ˇ!

2

ˇ sinˇ

2 Dcos;

ˇlim!

cosˇ cos

ˇ D lim

ˇ!sinˇC 2 lim

ˇ!

2

ˇ sinˇ

2 D sin;

das heißt, die beiden Funktionen sin, cos W R ! Œ 1; 1 besitzen die Ableitungen

Dsin. /Dcosbzw.Dcos. /D sin für alle 2R.

2

0

2

1

1

tan cot

Aufgabe 7. Man beweise, daß die Funktionen tanWRn˚

2Ck jk2 Z !Rsowie cotWRn fk jk 2Zg !Rdifferenzierbar sind und folgende Ableitungen haben:

Dtan. /D1Ctan² für alle 2Rn˚

2 Ck jk2 Z ; Dcot. /D 1 cot² für alle 2Rn fk jk 2Zg:

Lösung. Da die Funktionen sin, cos WR!Œ 1; 1differenzierbar sind und Dsin. /Dcos bzw. Dcos. /D sin für alle 2R gilt, liefert die Quotientenregel sowohl

Dtan. /D cos Dsin. / sin Dcos. /

cos² D cos² Csin²

cos² D1Ctan² für alle 2Rn˚

2 Ck jk 2Z sowie

Dcot. /D sin Dcos. / cos Dsin. /

sin² D sin² Ccos²

sin² D 1 cot²

für alle 2Rn fk jk2Zg.

Aufgabe 8. Man weise nach, daß die inverse Funktion arcsin W Œ 1; 1 ! 2;₂ von sinW

2;₂

! Œ 1; 1sowie die inverse Funktion arccos W Œ 1; 1!Œ0; von cosWŒ0; !Œ 1; 1jeweils auf 1; 1Œdifferenzierbar ist und die Ableitungen

Darcsin.x/D 1

p1 x² bzw. Darccos.x/D 1

p1 x² für allex 2 1; 1ŒhatŠ Lösung. 1. Fürˇ, 2

2;₂

gilt ^ˇC₂, ^ˇ ₂ 2

2;₂

und das Additionstheorem sinˇ sin D2cosˇC

2 sinˇ 2 :

Im Falle sinˇ sin D0folgt daraus cos^ˇC₂ D0oder sin^ˇ ₂ D0und somitˇD, also die Injektivität von sin W

2;₂

! Œ 1; 1. Die Stetigkeit dieser Funktion überträgt sich auf ihre Inverse arcsin W Œ 1; 1 !

2;₂

. DaDsin. / D cos > 0 für alle 2

2;₂

gilt, ergibt sich die Differenzierbarkeit von arcsin auf 1; 1Œund Darcsin.x/D 1

Dsin. / D 1

cos D 1

p1 sin² D 1 p1 x² für allex 2 1; 1Œund dasxDsin entsprechende 2

2;₂ . 2. Für alleˇ, 2Œ0; gilt^ˇ ₂ 2

2;₂

,^ˇC₂ 2Œ0; und das Additionstheorem cosˇ cos D 2sinˇC

2 sinˇ 2 :

Im Falle cosˇ cos D 0 folgt daraus sin^ˇC₂ D 0 oder sin^ˇ ₂ D 0, also ˇ D und somit die Injektivität von cos W Œ0;  ! Œ 1; 1. Die Stetigkeit dieser Funktion überträgt sich auf ihre Inverse arccosW Œ 1; 1 !Œ0; . DaDcos. /D sin < 0 für alle 20; Œgilt, ergibt sich die Differenzierbarkeit von arccos auf 1; 1Œund

Darccos.x/D 1

Dcos. / D 1

sin D 1

p1 cos² D 1 p1 x²

für allex 2 1; 1Œund das entsprechende 20; ŒmitxDcos.

2

0

2

1 1

arcsin arccos

2

0

2

1 1

arctan

arccot

Aufgabe 9. Man zeige, daß die Inverse arctanWR!

2;₂

von tanW

2;₂

!R sowie arccotWR!0; Œvon cotW0; Œ!Rjeweils differenzierbar ist und

Darctan.x/D 1

1Cx² bzw. Darccot.x/D 1

1Cx² für jedesx 2RgiltŠ Lösung. 1. Für alleˇ, 2

2;₂

giltˇ 2 ; Œund das Additionstheorem tanˇ tan D sinˇ

cosˇ

sin

cos D sin.ˇ / cosˇcos :

Im Falle tanˇ tan D 0 folgt daraus sin.ˇ / D 0 und somit ˇ D , also die Injektivität von tan W

2;₂

! R. Somit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse arctanW R!

2;₂

. Wegen Dtan. / D 1Ctan² > 0 für alle 2

2;₂

ergibt sich demnach die Differenzierbarkeit von arctan sowie Darctan.x/D 1

Dtan. / D 1

1Ctan² D 1 1Cx² für allex 2Rund dasx Dtan entsprechende 2

2;₂ .

2. Für alleˇ, 2 0; Œgiltˇ 2 ; Œund das Additionstheorem cotˇ cot D cosˇ

sinˇ

cos

sin D sin.ˇ / sinˇsin :

Im Falle cotˇ cot D 0folgt daraus sin.ˇ / D 0 und somitˇ D , also die Injektivität von cotW0; Œ!R. Damit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse arccotWR!0; Œ. DaDcot. /D 1 cot² < 0für alle 2 0; Œ gilt, ergibt sich daraus die Differenzierbarkeit von arccot und

Darccot.x/D 1

Dcot. / D 1

1Ccot² D 1 1Cx²

für allex 2 1; 1Œund das entsprechende 20; ŒmitxDcot.

Aufgabe 10. Sei dieHyperbeldurch die FunktionhW0; Œ[; 2Œ!Cvermöge h.t / D

1

sint ;cost sint

fürt 2 0; Œ[; 2Œ;

dieLemniskatedurch die Funktions WŒ0; 2!Cmittels s.t /D

sint

1Ccos²t ; sintcost 1Ccos²t

fürt 2 Œ0; 2

sowie ein beliebiger Punkt 20; Œ[; 2Œvorgegeben.

1. Man zeige, daßh. /s. /D1sowiejh. /j² D jh. / s. /j²C js. /j² gilt!

2. Wird die Linearisierungg WR!C, welchehin tangential berührt, durch g.t /Dh. /CDh. /.t / fürt 2R

gegeben, so weise man nach, daß stets eint 2 Rmitg.t /Ds. /existiert!

h. /

s. /

Lösung. Sei 20; Œ[; 2Œbeliebig vorgegeben.

1. Offenbar gelten in der Tat die Beziehungen h. /s. /D

1

sin ;cos sin

sin

1Ccos² ; sincos 1Ccos²

D .1;cos /.1; cos / 1Ccos² D1 sowie

jh. / s. /j² D 1

sin

sin 1Ccos²

2

C

cos

sin Csincos 1Ccos²

2

D 4cos⁴

sin² .1Ccos² /² C 4cos² sin² .1Ccos² /² D 4cos²

sin² .1Ccos² / D .1Ccos² /² .1 cos² /² sin² .1Ccos² / und somit

jh. / s. /j² D 1Ccos² sin²

sin²

1Ccos² D jh. /j² js. /j²:

2. Die LinearisierunggWR!C, welchehin tangential berührt, wird durch g.t /D

1

sin ;cos sin

C.t /

cos

sin² ; 1 sin²

fürt 2R

gegeben. Um eine Lösung t 2 R der Gleichungg.t / D s. / zu finden, untersucht man die beiden linearen Gleichungen

sin .t /cos

sin² D sin

1Ccos² sincos .t /

sin² D sincos 1Ccos² und erhält durch äquivalente Umformungen

.t /cos D

1 sin² 1Ccos²

sin D 2sincos² 1Ccos² t D

1C sin² 1Ccos²

sincos D 2sincos 1Ccos²

tatsächlich einen Punktt 2 R, der die Gleichungg.t /Ds. /erfüllt.