Stammfunktionen reeller Funktionen

Stammfunktionen reeller Funktionen

Aufgabe 1. Man berechne für allek,m2N die Integrale Z 2

0

coskxcosmx dx;

Z 2 0

coskxsinmx dx;

Z 2 0

sinkxsinmx dx

mit Hilfe der Additionstheoreme! ±

Lösung. 1. Seien ` 2 Zundc,s W R ! Rdurch c.x/ D cos`x sowie s.x/ D sin`x fürx 2Rdefiniert. Dann giltDc.x/D `sin`xsowieDs.x/D`cos`xund somit

Z 2 0

cos`x dxD sin2`

`

sin0

` D0 für alle`2 Z,`¤0;

Z 2 0

cos`x dxD Z 2

0

1 dxD2 für`D0;

Z 2 0

sin`x dxD cos2`

` Ccos0

` D0 für alle`2 Z,`¤0;

Z 2 0

sin`x dxD Z 2

0

0 dxD0 für`D0:

2. Für allek,m2N undx2 Rgelten die Additionstheoreme 2coskxcosmx Dcos.kCm/xCcos.k m/x;

2coskxsinmx Dsin.kCm/x sin.k m/x;

2sinkxsinmx Dcos.kCm/x cos.k m/x;

woraus sich mit Schritt 1 die gesuchten Integrale Z 2

0

coskxcosmx dxD Z 2

0

cos.kCm/xCcos.k m/x

2 dx D

8

<

:

fürkDm;

0 fürk¤m;

Z 2 0

coskxsinmx dxD Z 2

0

sin.kCm/x sin.k m/x

2 dx D0;

Z 2 0

sinkxsinmx dxD Z 2

0

cos.k m/x cos.kCm/x

2 dx D

8

<

:

fürkDm;

0 fürk¤m;

für allek,m2N ergeben.

Aufgabe 2. Sei eine Längeneinheitı > 0sowie die Funktion W0; Œ!Rdurch .t / D ıcos2t

sint fürt 20; Œgegeben:

Sei ferner dieStrophoidedurch die Funktions W0; Œ!Cin Polarkoordinaten s.t /D.t /.cost;sint / fürt 20; Œ

sowie ein beliebiger Punkt 2 0;₂

vorgegeben.

1. Man zeige, daß die Punktes. /,s ₂

unds C ₂

auf einer Strecke liegen und ˇˇs. / s ₂ˇ

ˇˇ

ˇs C₂

s ₂ˇ

ˇDı² giltŠ 2. Man beweise, daß der Punkt ¹₂ s. /Cs C ₂

auf der reellen Achse liegt und

1 2

ˇ

ˇs. /Cs C₂ˇ ˇD ¹₂ˇ

ˇs. / s C₂ˇ ˇ giltŠ

3. Man berechne den Flächeninhalt jener Teilmenge der Ebene, welche von der Schleife˚

s.t / 2Cjt 2

4;³₄ der Strophoide umschlungen wird!

4. Man bestimme den Flächeninhalt derjenigen Teilmenge der Ebene, welche von den Bögen˚

s.t / 2 Cj t 2

0;₄ und˚

s.t / 2C jt 2 ₃

4 ; sowie der Asymptote

der Strophoide eingeschlossen wird! ³

Lösung. 1. Aufgrund der Additionstheoreme ergeben sich zunächst die Beziehungen s. /D ıcos2 .cot; 1/; s ₂

D.0; ı/; s C ₂

Dıcos2 . tan; 1/:

2.1. Daraus folgt sowohl s. / s ₂

D ı.cos2cot;cos2C1/D ı.cos2cot; 2cos² / D ıcot .cos2; 2sincos /D ıcot .cos2;sin2 / als auch

s C ₂

s ₂

Dı. cos2tan;cos2 1/D ı.cos2tan; 2sin² / D ıtan .cos2; 2sincos /D ıtan .cos2;sin2 /:

Somit liegen die Kurvenpunktes. /,s ₂

unds C ₂

auf einer Strecke, und es gilt ˇˇs. / s ₂ˇ

ˇˇ

ˇs C ₂

s ₂ˇ ˇDı²:

2.2. Außerdem erhält man aus Schritt 1 und den Additionstheoremen auch s. /Cs C ₂

2 D ıcos2

2

cos

sin C sin cos ; 0

D ıcot2 .1; 0/;

s. / s C ₂

2 D ıcos2

2

cos sin

sin cos ; 2

D ıcot2.cos2;sin2 /:

Somit liegt der Mittelpunkt ¹₂ s. /Cs C ₂

auf der reellen Achse, und es gilt

1 2

ˇ

ˇs. /Cs C ₂ˇ ˇD ¹₂ˇ

ˇs. / s C ₂ˇ ˇ:

s. / s ₂

s C₂

3. Jene Fläche, welche von der Schleife ˚

s.t / 2 C j t 2

4;³₄ der Strophoide umschlungen wird, hat gemäß der Leibniz-Sektorformel den Inhalt

FS D

Z 3=4

=4

².t / dt

2 D

Z 3=4

=4

ı²cos²2t dt 2sin²t : Wegen cos2t D1 2sin²t ergibt sich der Flächeninhalt

FS D

Z 3=4

=4

ı²dt 2sin²t

Z 3=4

=4

2ı²dt C Z 3=4

=4

ı².1 cos2t / dt der Schleife der Strophoide als Summe dreier Grundintegrale

FS D ı² cot₄ cot³₄ 2

ı².3 / 4

ı² sin³₂ sin₂

2 D2ı² ı²

2 : 4. Seien neben dem Nullpunkt 0 2 C durch ˛ 2

0;₄

sowie ˇ 2 ₃

4 ; zwei weitere Eckpunkte. ıcot˛; ı/2 Cund. ıcotˇ; ı/2 Ceines Dreiecks auf der Asymptote der Strophoide vorgegeben. Gemäß der Leibniz-Sektorformel wird aus diesem Dreieck durch die Bögen˚

s.t / 2C jt 2

0;₄ und˚

s.t /2 Cj t 2₃

4 ; der Strophoide eine Fläche mit dem Inhalt

FA.˛; ˇ/D ı².cot˛ cotˇ/

2

Z =4

˛

².t / dt 2

Z ˇ 3=4

².t / dt 2

herausgeschnitten. Wie zuvor erhält man durch Berechnung von Grundintegralen FA.˛; ˇ/D ı².cot˛ cotˇ/

2

ı² cot˛ cot₄

2 C ı²

4 ˛ı²C ı² sin₂ sin2˛

2 ı² cot³₄ cotˇ

2 Cˇı² 3ı²

4 C ı² sin2ˇ sin³₂ 2

D2ı²C ı².sin2ˇ sin2˛/

2 C.ˇ ˛/ı² ı²

2 :

Die Grenzprozesse˛ #0undˇ " liefern schließlich den Flächeninhalt

ˇlim"lim

˛#0FA.˛; ˇ/D2ı²C ı² 2 jener Teilmenge, welche von der Asymptote und den Bögen˚

s.t / 2 C j t 2 0;₄ und˚

s.t /2 Cjt 2₃

4 ; der Strophoide eingeschlossen wird.

Aufgabe 3. Sei die gebrochene rationale FunktiongWR!Rdurch g.x/D 2x²C4

..x 1/²C1/..xC1/²C1/ fürx 2Rgegeben:

Man berechne das IntegralRb

a g.x/ dx für beliebige Intervallgrenzena,b 2 Rdurch eine Zerlegung vongin Teilbrüche und deren anschließende Integration! ± Lösung. 1. Im Teilbruchansatz

2x²C4

..x 1/²C1/..xC1/²C1/ D a1xCa0

.x 1/²C1 C b1xCb0

.xC1/²C1

müssen aufgrund der reellen Nullstellenfreiheit der quadratischen Nenner vier unbe- kannte Koeffizientena1,a0,b1,b0 2Rbestimmt werden: Für allex 2Rgilt dann

2x²C4D.a1xCa0/..xC1/²C1/C.b1xCb0/..x 1/²C1/

D a1x³C2a1x²C2a1xCa0x²C2a0xC2a0

C b1x³ 2b1x²C2b1xCb0x² 2b0xC2b0

;

woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung in x das li- neare Gleichungssystem mit vier Gleichungen

0Da1Cb1

2D2a1Ca0 2b1Cb0

0D2a1C2a0C2b1 2b0

4D2a0C2b0

für die vier Unbekannten a1, a0, b1, b0 2 R ergibt. Subtrahiert man das Doppelte der ersten von der dritten Gleichung, dann erhält man2a0 2b0 D0. Mit der vierten Gleichung2a0 C2b0 D 4 folgt daraus a0 D b0 D 1. Setzt man dies in die zweite Gleichung ein, so bekommt mana1 b1 D0. Die erste Gleichunga1Cb1 D0liefert somita1 Db1 D0. Das führt auf die Teilbruchzerlegung

g.x/D 2x²C4

..x 1/²C1/..xC1/²C1/ D 1

.x 1/²C1 C 1

.xC1/²C1 fürx 2R:

2. Mit Hilfe des Grundintegrals Z b

a

dx

.x x0/²C1 Darctan.b x0/ arctan.a x0/ fürx0 2R ergibt sich schließlich

Z b a

g.x/ dx Darctan.b 1/ arctan.a 1/Carctan.bC1/ arctan.aC1/

für allea,b 2R.

Aufgabe 4. Seien eine Folge.gn/von TreppenfunktionengnWŒ 1; 0!Rdurch gn./ D

8

<

:

1

k C _kC¹₁ für 2 ₁

k; _kC¹₁

undk 2 f1; : : : ; ng;

0 für 2 1

nC1; 0

;

sowie eine Folge.fn/von Stammfunktionenfn WŒ 1; 0 !Rfürn2N durch fn.x/ D

Z x 1

gn./ d für allex 2Œ 1; 0definiert:

1. Man zeige, daß die Funktionenfolge .gn/ gleichmäßig gegen eine (regulierte) Grenzfunktiong WŒ 1; 0!Rkonvergiert und bestimme diese Grenzfunktion!

2. Man weise nach, daß die Funktionenfolge.fn/gleichmäßig gegen eine Stamm- funktionf WŒ 1; 0!Rvongkonvergiert und berechne diese Stammfunktion!

Lösung. 1. Definiert man die Funktiong WŒ 1; 0!Rdurch g./D

8

<

:

1

k C _kC¹₁ für 2 ₁

k; _kC¹₁

undk 2N;

0 für D0;

dann erhält man für jedesn2N als Differenz

g./ gn./ D 8 ˆˆ

<

ˆˆ :

0 für 2

1; _nC¹₁

;

1

k C _kC¹₁ für 2 ₁

k; _kC¹₁

undk 2N,knC1;

0 für D0:

Daraus ergibt sich

jg./ gn./j 1

nC1 C 1

nC2 für allen2 N und 2Œ 1; 0;

woraus die gleichmäßige Konvergenz der Folge .gn/ von Treppenfunktionen gegen die Grenzfunktiong WŒ 1; 0!Rfolgt, die somit reguliert ist.

2. Sei die Folge .xk/von Punkten ausŒ 1; 0 durchxk D _k¹ fürk 2 N definiert undn2N beliebig vorgegeben. Die durch

fn.x/D Z x

1

gn./ d für allex 2Œ 1; 0

definierte Stammfunktionfn W Œ 1; 0 ! Rvon gn W Œ 1; 0 ! Rist als stückweise lineare Funktion auf jedem der TeilintervalleŒx1; x2; : : : ; Œxn; xnC1,ŒxnC1; 0linear.

Für jedesk2 f1; : : : ; nC1gerhält man die Funktionswerte fn.xk/D

Z x_k 1

gn./ d D

k 1

X

`D1

Z x<sub>`C1</sub> x`

gn./ d D

k 1

X

`D1

gn.x`/.x`C1 x`/

D

k 1

X

`D1

1

` C 1

`C1 1

` 1

`C1

D

k 1

X

`D1

1

`²

k 1

X

`D1

1

.`C1/² D1 1 k² :

1 0 1 2

1 0

1 2

1 0

1 2

Mit diesen Werten ergibt sich aus der allgemeinen Darstellung fn.x/D

8

<

:

fn.xk/Cgn.xk/.x xk/ fürx 2Œxk; xkC1undk2 f1; : : : ; ng;

fn.xnC1/Cgn.xnC1/.x xnC1/ fürx 2ŒxnC1; 0;

für jedesn2N die konkrete Darstellung fn.x/D

8

<

:

1 _k¹2 Cg.xk/.x xk/ fürx 2Œxk; xkC1undk2 f1; : : : ; ng; 1 _.nC¹_1/2 fürx 2ŒxnC1; 0:

Somit konvergiert die Funktionenfolge.fn/punktweise gegen die durch f .x/D

8

<

:

1 _k¹2 Cg.xk/.x xk/ fürx 2Œxk; xkC1undk2N;

1 fürx D0;

gegebene Grenzfunktionf WŒ 1; 0!R.

3. Da sich für allex 2Œxk; xkC1undk2N,k nC1die Differenz 0f .x/ fn.x/D 1

.nC1/² 1

k² Cg.xk/.x xk/

1

.nC1/² 1

k² Cg.xk/.xkC1 xk/ D 1

.nC1/² 1 k² C

1

k C 1 kC1

1 k

1 kC1

abschätzen läßt, ergibt sich

jf .x/ fn.x/j 1

.nC1/² für allen2N undx 2Œ 1; 0;

woraus die gleichmäßige Konvergenz der Folge.fn/ stetiger Funktionen gegen die stetige Grenzfunktionf W Œ 1; 0 ! Rfolgt. Da außerdemDf .x/ D g.x/für jedes x2 xk; xkC1Œundk2 N gilt, istf eine Stammfunktion vong.

Aufgabe 5. Seien eine Längeneinheitı > 0, zwei Brennpunktez_˚ D .ı; 0/2 Cund z D. ı; 0/2Csowie dieLemniskatedurch die Funktions WŒ0; 2!Cmittels

s.t /D ıp 2sint

1Ccos²t ; ıp

2sintcost 1Ccos²t

!

fürt 2Œ0; 2vorgegeben:

1. Man weise nach, daßjs.t / z_˚j js.t / z j Dı² für allet 2Œ0; 2gilt!

2. Man finde eine Parametertransformation ' W

4;₄

! Œ0; , welche eine Darstellung W

4;₄

!Œ0;1Œin Polarkoordinaten

s.'. //D. /.cos;sin / für alle 2

4;₄ der rechten Schleife der Lemniskate liefert!

3. Man berechne den Flächeninhalt jener Teilmenge der Ebene, welche von der rechten Schleife˚

s.t /2 Cjt 2Œ0;  der Lemniskate umschlungen wird!

z_˚ z

s.t /

Lösung. 1. Für jedest 2Œ0; 2erhält man js.t / z_˚j²

ı² D

p2sint 1Ccos²t 1

!2

C

p2sintcost 1Ccos²t

!2

D 2sin²t 2p 2sint 1Ccos²t C1 ; js.t / z j²

ı² D

p2sint 1Ccos²t C1

!2

C

p2sintcost 1Ccos²t

!2

D 2sin²t C2p 2sint 1Ccos²t C1 und somit wegen cos²t Csin²t D1schließlich das Produkt

js.t / z j² js.t / z_˚j²

ı⁴ D

2sin²t C2p 2sint 1Ccos²t C1

2sin²t 2p 2sint 1Ccos²t C1

D

2sin²t 1Ccos²t C1

² 8sin²t .1Ccos²t /² D 4.1 cos²t /sin²t 8sin²t

.1Ccos²t /² C 4sin²t

1Ccos²t C1D1:

2. Die Parametertransformation ' W

4;₄

! Œ0;  und die gesuchte Darstel- lungW

4;₄

!Œ0;1Œmüssen die Bedingung (1) . /.cos;sin /D ıp

2sin'. /

1Ccos²'. /; ıp

2sin'. /cos'. / 1Ccos²'. /

!

für jedes 2

4;₄

erfüllen. Betrachtet man das Verhältnis von Imaginär- und Realteil, so folgt daraus für alle 2

4;₄

wegen. / > 0die Beziehung tan D . /sin

. /cos D sin'. /cos'. /

sin'. / D cos'. / und somit

cos'. /D tan sowie sin'. /Dp

1 tan² für jedes 2

4;₄ : Setzt man diese Werte in die Gleichung (1) ein, so ergibt sich aus cos² Csin² D 1 und cos2 Dcos² sin² D.1 tan² /cos² die gesuchte Darstellung

. /.cos;sin /D ıp

2.1 tan² /

1Ctan² .1;tan / D ıp

2.1 tan² /

1Ctan² cos²

cos² .1;tan /Dıp

2cos2 .cos;sin / der Lemniskate in Polarkoordinaten 2

4;₄ . 3. Diejenige Fläche, welche von der rechten Schleife˚

. /2 Cj 2

4;₄ der Lemniskate umschlungen wird, hat somit den Inhalt

F .ı/D Z =4

=4

². / d

2 D

Z =4

=4

ı²cos2 d D ı²sin₂ ı²sin ₂

2 Dı²

gemäß der Leibniz-Sektorformel.

Aufgabe 6. SeiX DRn f 1; 1gder Definitionsbereich der durch

g.x/D 4

.x 1/².xC1/² fürx 2X

definierten gebrochenen rationalen Funktiong W X ! R. Für beliebige Intervall- grenzena, b 2 R mita < b undŒa; b X berechne man das Integral Rb

a g.x/ dx durch eine Zerlegung vong in Teilbrüche und deren anschließende Integration!

Lösung. 1. Im Teilbruchansatz 4

.x 1/².x C1/² D a0

x 1 C a1

.x 1/² C b0

xC1 C b1

.x C1/²

werden vier unbekannte Koeffizientena1,a0,b1,b02 Rbestimmt: Fürx 2X gilt 4Da0.x 1/.x C1/²Ca1.x C1/²Cb0.xC1/.x 1/²Cb1.x 1/²

Da0 x³Cx² x 1

Ca1 x²C2xC1 Cb0 x³ x² xC1

Cb1 x² 2xC1

;

woraus sich durch Koeffizientenvergleich vor Termen gleicher Ordnung in x das li- neare Gleichungssystem mit vier Gleichungen

0Da0Cb0

0Da0Ca1 b0Cb1

0D2a1 a0 b0 2b1

4Da1 a0Cb0Cb1

für die vier Unbekanntena1,a0,b1,b0 2 Rergibt. Addiert man die erste zur dritten Gleichung, dann erhält man 2a1 2b1 D 0. Addiert man die zweite zur vierten Gleichung, so ergibt sich2a1C2b1 D 4. Zusammen mit2a1 2b1 D 0folgt daraus a1 D b1 D 1. In die vierte Gleichung eingesetzt, bekommt man b0 a0 D 2. Die erste Gleichung a0 Cb0 D 0 liefert somit a0 D 1und b0 D 1. Das führt auf die Teilbruchzerlegung

g.x/D 4

.x 1/².x C1/² D 1

x 1 C 1

.x 1/² C 1

xC1C 1

.xC1/² fürx 2X : 2. Mit Hilfe der Grundintegrale

Z b a

dx

x˙1 Dlnjb˙1j lnja˙1j und Z b

a

dx

.x ˙1/² D 1

b˙1 C 1 a˙1 ergibt sich schließlich

Z b a

g.x/ dx Dln ˇ ˇ ˇ ˇ

bC1 b 1 ˇ ˇ ˇ ˇ

ln ˇ ˇ ˇ ˇ

aC1 a 1 ˇ ˇ ˇ ˇ

1 bC1

1

b 1 C 1

aC1 C 1 a 1

für allea,b 2Rmita < b undŒa; bX.