Vorlesung 14
Kurvendiskussion reeller Funktionen
Es wird das Verhalten reellwertiger Funktionenf W X ! Rin Intervallen X R mit Hilfe ihrer Ableitungen untersucht.
Konstanz und Monotonie. Seif WX !Reine differenzierbare Funktion.
1. Die Funktionf ist genau dann konstant, wennDf .x/ D0für jedesx 2X gilt.
2. Die Funktion f ist genau dann monoton wachsend (bzw. fallend), wenn die BedingungDf .x/ 0(bzw.Df .x/0) für jeden inneren Punktx 2X gilt.
3. Die monoton wachsende (bzw. fallende) Funktion f ist genau dann streng mo- noton wachsend (bzw. fallend), wenn sie in keinem Teilintervall vonX konstant ist.
Lokale Extremwerte. 1. Die Funktion f W X ! R hat in x0 2 X ein lokales Maximum (bzw. Minimum), wenn es ein ı > 0 gibt, so daß f .x/ f .x0/ (bzw.
f .x/f .x0/) für allex 2X mitjx x0j< ıgilt.
2. Die Funktionf WX !Rbesitzt inx0 2X einstrenges lokales Maximum(bzw.
Minimum), wenn es einı > 0gibt, so daßf .x/ < f .x0/(bzw.f .x/ > f .x0/) für alle x2 Xmit0 < jx x0j< ı gilt.
Kriterien für strenge lokale Extremwerte. Seif W X ! Reine stetige Funktion, fernerx0 2 X ein innerer Punkt sowieı0 > 0derart, daßx0 ı0; x0Cı0Œ X gilt undf in jedem Punktx 2X mit0 < jx x0j< ı0 differenzierbar ist.
1. Gibt es ein ı 2 0; ı0Œ, so daß sowohl Df .x/ > 0 (bzw. Df .x/ < 0) für alle x 2 x0 ı; x0Œ als auchDf .x/ < 0 (bzw.Df .x/ > 0) für allex 2 x0; x0CıŒgilt, dann besitztf inx0 ein strenges lokales Maximum (bzw. Minimum).
2. Existiert einı 2 0; ı0Œ, so daßDf .x/ > 0 (bzw.Df .x/ < 0) für allex 2 X mit 0 <jx x0j< ı gilt, dann hatf inx0keinenlokalen Extremwert.
3. Ist f in x0 ı0; x0Cı0Œdifferenzierbar und besitztf inx0 einen lokalen Ex- tremwert, dann giltDf .x0/D0.
Kriterium für strenge lokale Extremwerte bei mehrmaliger Differenzierbarkeit.
Sein 2 N,n 2undf W X !R.n 1/-mal differenzierbar. Sei fernerx0 2 X ein innerer Punkt derart, daßDkf .x0/ D0für allek 2 f1; : : : ; n 1ggilt sowief inx0
n-mal differenzierbar ist undDnf .x0/¤0gilt.
1. Istn2N gerade und giltDnf .x0/ < 0(bzw.Dnf .x0/ > 0), dann besitztf inx0
ein strenges lokales Maximum (bzw. Minimum).
2. Istn2N ungerade, so hatf inx0keinenlokalen Extremwert.
Extremwerte. SeiX abgeschlossen und beschränkt sowief W X ! Rstetig. Dann ist auch das Bildf ŒX inRabgeschlossen und beschränkt und besitzt Maximum und Minimum, welches jeweils in inneren oder Randpunkten vonX angenommen wird.
2
Konvexität und Konkavität. Seif WX !Reine stetige Funktion.
1. Die Funktionf heißt(streng) konvex, wenn für alle Punktex,y 2Xmitx < y und alle2 Œ0; 1 die Ungleichungf ..1 /xCy/ .1 /f .x/Cf .y/(bzw.
f ..1 /xCy/ < .1 /f .x/Cf .y/) gilt.
2. Die Funktionf heißt(streng) konkav, wenn f (streng) konvex ist.
Kriterien für Konvexität und Konkavität. Seif WX !Rdifferenzierbar.
1. Die Funktion f W X ! R ist genau dann konvex (bzw. konkav), wenn ihre AbleitungDf WX !Rmonoton wachsend (bzw. fallend) ist.
2. Die konvexe (bzw. konkave) Funktionf WX !Rist genau dann streng konvex (bzw. konkav), wennDf WX !Rin keinem Teilintervall vonX konstant ist.
Wendepunkte. Ist f W X ! R differenzierbar, so heißt der innere Punkt x0 2 X Wendepunktvonf, wennDf WX !Rinx0einen strengen lokalen Extremwert hat.
Kriterien für Wendepunkte. Sei x0 2 X ein innerer Punkt und ı0 > 0 derart be- schaffen, daßf WX !Rinx0 ı0; x0Cı0ŒX zweimal differenzierbar ist.
1. Gibt es ein ı 2 0; ıŒ, so daß sowohl D2f .x/ > 0 (bzw. D2f .x/ < 0) für alle x 2x0 ı; x0Œals auchD2f .x/ < 0(bzw.D2f .x/ > 0) für allex 2x0; x0CıŒgilt, dann besitztf inx0 einen Wendepunkt.
2. Existiert einı 20; ıŒ, so daßD2f .x/ > 0(bzw.D2f .x/ < 0) für alle x2 X mit 0 <jx x0j< ı gilt, dann hatf inx0keinenWendepunkt.
3. Besitztf inx0 einen Wendepunkt, dann giltD2f .x0/D0.
Kriterium für Wendepunkte bei mehrmaliger Differenzierbarkeit. Sein 2 N, n 3und f W X ! Rn-mal differenzierbar. Sei fernerx0 2 X ein innerer Punkt derart, daßDkf .x0/D0für allek2 f1; : : : ; n 1gsowieDnf .x0/¤0gilt.
1. Istn2N ungerade, dann besitztf inx0einen Wendepunkt.
2. Istn2N gerade, so hatf inx0keinenWendepunkt.
Grenzwertberechnung nach Bernoulli-de l’Hospital. Seien 1 a < b 1, 1 y0 1undf,g W a; bŒ ! Rdifferenzierbare Funktionen, so daß sowohl Dg.x/¤0für allex 2a; bŒals auch für einx0 mitax0 bdie Beziehung
xlim!x0
Df .x/
Dg.x/ Dy0 gilt:
Dann gibt es im Falle
xlim!x0f .x/D lim
x!x0g.x/D0 oder lim
x!x0f .x/D lim
x!x0g.x/D ˙1 einı > 0, so daßg.x/¤0für allex 2a; bŒmitjx x0j< ısowie die Beziehung
xlim!x0
f .x/
g.x/ Dy0 gilt:
