Vorlesung 16
Integration reeller Funktionen
Seien Intervallgrenzena,b 2Rmita < bund ein KörperL2 fR;Cgvorgegeben.
Integral von Linearkombinationen. Sindg,h W Œa; b ! Lzwei regulierte Funk- tionen, dann gilt für alle,2Ldie Identität
Z b
a
g./Ch./
d D Z b
a
g./ d C Z b
a
h./ d :
Transformation der Variablen. Seig W Œa; b!Leine regulierte Funktion, ferner X D Œ˛; ˇ R ein Intervall mit ˛, ˇ 2 R und ˛ < ˇ sowie ' W X ! R eine Stammfunktion einer regulierten Funktion WX !Rmit'ŒX Œa; b. Istg stetig oder'monoton, dann gilt die Formel
Z ˇ
˛
g.'.t //D'.t / dt D Z '.ˇ /
'.˛/
g./ d :
Teilweise Integration. Istf W Œa; b !Lbzw.' W Œa; b ! Leine Stammfunktion einer regulierten Funktiong WŒa; b!Lbzw. WŒa; b!L, dann gilt stets
Z b
a
f ./D'./C'./Df ./
d Df .b/'.b/ f .a/'.a/:
Mittelwertsatz. Für jede regulierte Funktiong WŒa; b!Lgilt die Abschätzung ˇ
ˇ ˇ ˇ ˇ
Z b
a
g./ d ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Z b
a
jg./jd jb aj sup
2Œa;bjg./j:
Vergleichsprinzip. Sindg W Œa; b ! Lundh W Œa; b ! Rregulierte Funktionen, welchejg./j h./für alle 2Œa; berfüllen, dann gilt die Ungleichung
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Z b
a
g./ d ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Z b
a
jg./jd Z b
a
h./ d :
Vertauschbarkeit von Grenzprozessen. 1. Konvergiert die Folge .gn/ regulierter Funktionengn W Œa; b ! L gleichmäßig gegen die Grenzfunktiong W Œa; b ! L, so konvergiert die Zahlenfolge Rb
a gn./ d
der Integrale übergngegen das Integral Rb
a g./ d über die regulierte Grenzfunktiong.
2. Konvergiert die Reihe Pn kD0gk
mit regulierten Summanden gk W Œa; b ! L gleichmäßig gegen die GrenzfunktiongWŒa; b!L, so konvergiert die summanden- weise integrierte Reihe Pn
kD0
Rb
a gk./ d
gegen das Integral Rb
a g./ d über die regulierte Grenzfunktiong, und es gilt
1
X
kD0
Z b
a
gk./ d D Z b
a 1
X
kD0
gk./ d D Z b
a
g./ d :
2
Integration der Grenzfunktion von Potenzreihen. 1. Ist.sn/eine Potenzreihe um den Mittelpunktx0 2 R mit den Koeffizienten ak inRund dem Konvergenzradius R > 0, so konvergiert.sn/ inX D ˚
2 R j j x0j < R gegen eine analytische Grenzfunktions W X ! R, wobei diese Konvergenz für jedesr 2 0; RŒim Intervall Œx0 r; x0Crgleichmäßig ist.
2. Betrachtet man fürx2 X,n2 N[ f0gdie durch summandenweise Integration fn.x/D
Z x
x0
sn./ d D Z x
x0
n
X
kD0
ak. x0/kd D
n
X
kD0
ak
kC1.x x0/kC1
definierte Stammfunktionfn W X ! Rder Teilsumme sn W X ! R, dann hat die Potenzreihe.fn/umx0 ebenfalls den KonvergenzradiusR > 0und konvergiert inX gegen die fürx 2X durch
f .x/D Z x
x0
s./ d D Z x
x0 1
X
kD0
ak. x0/kd D
1
X
kD0
ak
kC1.x x0/kC1 definierte analytische Stammfunktionf WX !Rder Grenzfunktions WX !R.
Taylor-Formel mit integralem Restglied. SeiX Rein offenes Intervall, ferner n 2 N [ f0g und f W X ! L .nC1/-mal differenzierbar mit stetiger .nC1/-ter AbleitungDnC1f WX !L. Für festgehaltenesx2 X besitzt die durch
g./D
n
X
kD0
Dkf ./
kŠ .x /k für jedes 2X
definierte FunktiongWX !Leine stetige AbleitungDgWX !L, und es gilt Dg./D
n
X
kD0
DkC1f ./
kŠ .x /k
n
X
kD1
Dkf ./
kŠ k.x /k 1 D
nC1
X
kD1
Dkf ./
.k 1/Š.x /k 1
n
X
kD1
Dkf ./
.k 1/Š.x /k 1 D DnC1f ./
nŠ .x /n
für jedes 2 X. Somit liefert die Integration über die AbleitungDg W X ! Lvon x0 2X bisx 2X wegen
f .x/Dg.x/Dg.x0/C Z x
x0
Dg./ d dieTaylor-Formelmit integralem Restglied
f .x/D
n
X
kD0
Dkf .x0/
kŠ .x x0/kC Z x
x0
DnC1f ./
nŠ .x /nd :
3
x0 x1 x2 xm 2 xm 1 xm
Integral als Grenzwert von Riemann-Summen. Seig WŒa; b !Leine regulierte Funktion. Zu jedem" > 0existiert einı > 0, so daß für jede endliche Folge
x01 x1 xk 1 k xk xm 1 mxm
von Punkten ausŒa; b, welche xk xk 1 ı für alle k 2 f1; : : : ; mg erfüllen, die Differenz vonIntegralundRiemann-Summe übergfolgender Abschätzung genügt:
ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
Z xm
x0
g./ d
m
X
kD1
g.k/.xk xk 1/ ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ
":
s.a/
s.1/ s.2/
s.m 1/
s.m/ s.b/
z0
Leibniz-Sektorformel. SeiŒa; bŒ; 2C für 2Rein gegebenes Intervall von Winkeln. Für jede regulierte Funktion WŒa; b!Œ0;1Œwird durch
s.t /Dz0C.t /.cost;sint /2C fürt 2Œa; b
eine Funktions W Œa; b ! Cdefiniert, die eine Kurve in Polarkoordinaten bzgl. des Polsz0 2Cdarstellt, wobei der Sektor˚
.1 /z0Cs.t /2C jt 2Œa; b; 2Œ0; 1
den FlächeninhaltRb a
1
2j.t /j2dt besitzt.
