Integration reeller Funktionen

Übungsaufgaben 11

Integration reeller Funktionen

Aufgabe 1. Seien eine Längeneinheitd > 0und ein Formparameter 2 0;₂

sowie dasBifoliumdurch die Funktions WŒ ; !Cin Polarkoordinaten

s.t /Ddsin.t C /cos²t .cost;sint / fürt 2Œ ; vorgegeben:

Man zeige, daß jene Fläche, welche vom ganzen Bifolium˚

s.t / 2Cjt 2 Œ ;  umschlungen wird, den Inhalt

Z

js.t /j²dt

2 D .1C4sin² / d² 32

besitzt, indem man (in geeigneter Weise mehrmals) teilweise integriert! ±

D0 D ₉ D ₂

0 z_˚

zD.x; y/

0 z_˚

zD.x; y/

Aufgabe 2. Seien reelle Zahlen0 < c < ı < a sowie fernerb D p

a² ı² > 0und d Dp

ı² c²> 0gegeben. Der BogenE D˚

.acos; bsin /2C j 2

0;₂ bzw.

H D ˚

.ccosht; dsinht / 2 C j t 2 Œ0;1Œ ist Teil einer Ellipse bzw. einer Hyperbel mit dengemeinsamenBrennpunktenz D. ı; 0/undz_˚ D.ı; 0/.

1. Man zeige, daß sich die BögenE undH inz D ^ac_ı ;^bd_ı

senkrecht schneiden!

2. Man leite her, daß jene Fläche, welche von den BögenE undH sowie der reellen Achse eingeschlossen wird, den InhaltF D ¹₂abarccos^c_ı ¹₂cdarcosh^a_ı besitzt! ³

Aufgabe 3. Man berechne das Integral Z b

a

d ².1C²/²

für beliebig vorgegebene Intervallgrenzena,b 2Rmit0 < a < b! ±