1. Übungsblatt zur PDG I

Fachbereich Mathematik

M. Geißert, R. Haller-Dintelmann, H. Heck

SS 2008 11.04.2007

1. Übungsblatt zur PDG I

Gruppenübung

Aufgabe G1

SeiΩ⊆R^d offen. Für k∈Nwird induktiv M_k:=

x∈2^−kZ^d :B(x,2^1−k)⊆Ω, B(x,2^1−k)6⊂B(y,2^1−l)für alle y∈M_l mitl < k definiert. Zeigen Sie, dass (B(x,2^1−k))_x∈Mk,k∈N eine lokal finite Überdeckung von Ω ist.

Lösung: Offenbar gilt S∞ k=1

S

x∈MkB(x,2^1−k) = Ω.

Wir zeigen, dass die überdeckung lokal endlich ist. Seiy∈Ω. Dann existiert eink ∈N und ein x ∈ Mk mit y ∈ B(x,2^1−k). Sei d = 2dist (y, B(x,2^1−k)^c) und k0 ∈ N mit 2^1−k0 < d. Dann gilt:

y /∈ [

l≥k0

[

x∈Ml

B(x,2^1−l).

Aufgabe G2

Fürh∈R^d betrachte man den Operator Th, definiert durch (T_hf)(x) =f(x+h), f ∈L^p(R^d), x∈R^d.

Beweisen Sie die Stetigkeit vonTh :L^p(R^d)→L^p(R^d)und der FunktionR^d 3h7→Thf für f ∈L^p(R^d).

Lösung: Die Stetigkeit vonT_h folgt auskT_hfkp =kf(·+h)kp =kfkp.

Seif ∈L^p(R^d)und ε >0. Wähle ϕ∈C_c^∞(R^d) mit kϕ−fkp ≤ε. Daϕgleichmässig stetig ist, existiert ein h0 >0 mit

kϕ(·+h)−ϕkp ≤ε|supp˜ ϕ|^1p ≤ε, h≤h0. Daher folgt:

kf(·+h)−fk_p≤ kf(·+h)−ϕ(·+h)k_p+kϕ(·+h)−ϕk_p+kϕ−fk_p≤3ε, h≤h0

1. Übung PDG I

Aufgabe G3

(a) Zeigen Sie |a^iy|= 1 füra >0und y∈R. (b) Zeigen Sie Lemma 1.17 der Vorlesung.

(c) Diskutieren Sie die Beweisidee von Korollar 2.17 und Satz 2.18.

Aufgabe G4 Zeigen Sie

(a) Der Raum L¹ ∩L^∞(M, µ) := L¹(M, µ) ∩L^∞(M, µ), versehen mit der Norm kfk1∩∞ :=kfk1+kfk∞, ist ein Banachraum.

(b) Definiere L¹+L^∞(M, µ) :={f : f : M → Kmessbar und ∃g ∈L¹(M, µ), h∈ L^∞(M, µ) mitf =g+h}. Die Abbildung

kfk1+∞:= inf{khk1+kgk∞ : h∈L¹, f ∈L^∞}.

ist eine Norm, mit der L¹+L^∞ ein Banachraum ist.

(c) Es gilt L^p(M, µ),→L¹+L^∞(M, µ), wobei die Einbettung stetig ist.

Lösung:

(a) Es ist klar, dassk · k1∩∞ eine Norm ist.

Sei nun (u_n) ⊂ L¹ ∩ L^∞(M, µ) eine Cauchyfolge. Dann ist (u_n) auch eine Cauchyfolge inL¹(M, µ)undL^∞(M, µ). Wegen der Vollständigkeit vonL¹(M, µ) und L^∞(M, µ) folgt, dass (un) in L¹(M, µ) und L^∞(M, µ) konvergiert. Da je- de konvergente Folge in L^∞(M, µ) fast überall punktweise konvergiert und jede konvergenteFolge in L¹(M, µ) eine Teilfolge besitzt, die fast überall punktweise konvergiert, stimmen die Grenzwerte überein. Daher konvergiert (un) auch in L¹∩L^∞(M, µ). vollständig ist.

(b) Die Homogenität und die Dreicksungleichung sind klar. Sei u ∈ L¹ +L^∞ mit kuk1+∞ = 0. Dann existieren zu ε > 0 Funktionen hε ∈ L¹(M, µ) und hε ∈ L^∞(M, µ) mit kh_εk1 ≤ ε, kg_εk∞ ≤ ε und u = h_ε +g_ε. Nach Satz der Vor- lesung dürfen wir annehmen, dass lim_ε→0h_ε(x) = 0 für fast alle x ∈ R^d und limε→0gε(x) = 0 für fast alle x∈R^d gilt. Daher folgt:

u(x) = lim

ε→0hε(x) +gε(x) = 0, für fast alle x∈R^d. Also istk · k1+∞ eine Norm.

Sei (u_n)⊂L¹+L^∞(M, µ) eine Cauchyfolge. Wähle eine Teilfolge (u_nk)⊂(u_n) mit

ku_nk−u_nk+1k1+∞≤ 1 k² und hk∈L¹(M, µ), gk ∈L^∞(M, µ) mit

kun1k1+∞>kh1k1+kg1k∞+1

2kun1k1+∞, ku_nk −u_nk

−1k1+∞>kh_kk1+kg_kk∞+1

2ku_nk −u_nk

−1k1+∞, k >1.

Dann gilt:

n

X

k=1

kgkk1+khkk∞ ≤

n

X

k=1

kunk −unk−1k1+∞≤

n

X

k=1

1 k², 2

1. Übung PDG I

wobeiun0 ≡0. Wegen der Vollständigkeit vonL¹(M, µ)undL^∞(M, µ)existieren Grenzfunktionen h∈L¹(M, µ) undg∈L^∞(M, µ) mit

n→∞lim

n

X

k=1

g_k=g, lim

n→∞

n

X

k=1

h_k=h.

Es gilt nun:

kunk−(h+g)k1+∞≤ k

k

X

l=1

hk−hk1+k

k

X

l=1

gk−gk∞→0für k → ∞.

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