M ˜ = i∂ t − µ + 2m ∇ ~ 2 − µ µ i∂ t + µ − ∇ 2m ~ 2

11 Übungsblatt Theoretische Physik V - Klausurblatt

11.1 (Greensche Funktion und Suprauidität)

Die Matrixvon Aufgabe16 lautet:

M ˜ = i∂ t − µ + _2m ^{∇ ~ 2} − µ µ i∂ t + µ − ^∇ _2m ^{~ 2}

!

Wirbilden dieFourier Transformierte:

Z dt ⁰

2π i∂ t e ^{−iωt 0} = ω Z dt ⁰

2π δ t − t ⁰ e ^{−iωt 0}

= ω Z d ³ x ⁰

(2π) ³

∇ ~ ² e ^−ip·x = − p ²

Z d ³ x ⁰

(2π) ³ δ x − x ⁰ e ^−ip·x

= − p ²

Und damit folgt:

M = ω − µ − 2m ^{p 2} − µ µ ω + µ + _2m ^{p 2}

! .

Für

2 × 2

^{Matrizen, kannmandie Inverse leicht nachder} Cramerschen Regelbilden:

a b c d

−1

= 1

ad − bc

d − b

− c a

.

Die Determinante lautet:

ω − µ − p ²

2m ω + µ + p ² 2m

+ µ ²

= ω ² + ωµ + ω p ²

2m − µω − µ ² − µ p ² 2m − p ²

2m ω − p ² 2m µ −

p ² 2m

2

+ µ ²

= ω ² −

µ p ² m + p ⁴

4m ²

| {z }

=E ²

= ω ² − E ²

und damitfolgt 1

G (ω, p) = 1 ω ² − E ²

ω + µ + _2m ^{p 2} µ

− µ ω − µ − _2m ^{p 2}

!

1

E

^{wurdeinAufgabe16dbestimmt.}

E = k r k ²

4m ² + µ m = 1

2m

p 4µk ² + k ⁴ .

Die Nebendiagonalelemente

µ

^{stellen eine Art} Stromdichte dar. Die Diagonalelemente sind nicht invariant unter einem Phasenfaktor

exp ( − iθ)

^und verursachen daher eine Symmetriebrechung.

x y

z

11.2 (Kondensat-Entleerung depletion of the condensate in verdünnten

Bose-Einstein-Kondensaten)

a)

Es istzu zeigen:

n = n ₀ + h| δψ (~x, t) | ² i

Mit

n = h| ψ (~x, t) | ² i

^derTeilchendichte,

n ₀ = | ψ ₀ | ²

^der Kondensatdichteund

ψ (~x, t) = ψ ₀ + δψ (~x, t)

^folgt:

n = h| ψ (~x, t) | ² i

= h (ψ ₀ + δψ (~x, t)) (ψ ^∗ ₀ + δψ ^∗ (~x, t)) i

= h ψ ₀ ψ ^∗ ₀ + ψ ₀ δψ ^∗ (~x, t) + δψ (~x, t) ψ ₀ ^∗ + δψ (~x, t) δψ ^∗ (~x, t) i

= h| ψ ₀ | ² i + h ψ ₀ δψ ^∗ (~x, t) i + h δψ (~x, t) ψ ₀ ^∗ i + h| δψ (~x, t) | ² i

= n ₀ + h| δψ (~x, t) | ² i + ψ ₀ h δψ ^∗ (~x, t) i

| {z }

=0

+ψ ^∗ ₀ h δψ (~x, t) i

| {z }

=0

Die Terme verschwinden, da wir eine Integration über ein symmetrisches Intervall

durchführenund derIntegrand ungeradeist.

Somit ergibt sichinsgesamt also:

n = n ₀ + h| δψ (~x, t) | ² i

b)

Es ist mit Hilfe der Greenschen Funktion, welche in Aufgabe 17 abgeleitet wurde zu

zeigen,dass

h| δψ (~x, t) | ² i =

Z d ^d p (2π) ^d

" _{~ p} 2

2m + n ₀ g 2E (~ p) − 1

2

#

Es gilt (für

~x = ~x ⁰

^und

t ⁰ = t + ε

^,mit

ε → 0

^):

h| δψ (~x, t) | ² i = h δψ (~x, t) δψ ^∗ (~x, t) i = h T

δψ (~x, t) δψ ^∗ ~x ⁰ , t ⁰

i = iG (~x, t)

Aus Aufgabe 14 d) und e)können wir

h T [δψδψ ^∗ ] i = iG (~x, t)

^{nutzen, wobei}

G (~x, t)

dieFouriertransformierte derGreenschen FunktionausAufgabe 17 ist undmit

µ = n ₀ g

ist dasgesuchte Matrixelement gegeben mit:

G (ω, ~ p) = ω −

p ²

2m + n ₀ g ω ² − E ²

Es folgt alsomit Fourier Transformation:

G ~x − ~x ⁰ , t − t ⁰

=

Z d ^d p (2π) ^d

Z dω 2π

ω −

p ²

2m + n ₀ g

ω ² − E ² e ^{i~ p(~ x−~ x 0 )} e ^{−iω(t−t 0 )}

mit

~x − ~x ⁰ = 0

^und

t ⁰ = t + ε ⇔ t − t ⁰ = ε → 0

^{können wirweiter}umschreiben zu:

G ~x − ~x ⁰ , t − t ⁰

=

Z d ^d p (2π) ^d

Z dω 2π

ω −

p ²

2m + n 0 g ω ² − E ² e ^−iωε

=

Z d ^d p (2π) ^d

Z dω 2π

ωe ^−iωε ω ² − E ² −

Z d ^d p (2π) ^d

Z dω 2π

p ²

2m + n ₀ g ω ² − E ² e ^−iωε

MitHilfe von Konturintegration können wirdie

ω

-Integration ausführen:

Z dω 2π

ωe ^−iωε

ω ² − (E + iη) ² = 1 2 (E + iη)

Z dω 2π

ωe ^−iωε

(ω − (E + iη)) (ω + (E + iη))

= 1

2 (E + iη) Z dω

2π ωe ^−iεω

1

ω − (E + iη) − 1 ω + (E + iη)

= 1

2 (E + iη) 1

2π 2πi · res

ωe ^−iεω

ω − (E + iη) ; E + iη

− 1

2π 2πi · res

ωe ^−iεω

ω + (E + iη) ; − (E + iη)

= i

2 (E + iη)

(E + iη) e ^{−i(E+iη)ε} + (E + iη) e ^i(E+iη)ε

= i 2

e ^{−i(E+iη)ε} + e ^i(E+iη)ε

mit

res

ωe ^−iεω

ω−(E+iη) ; E + iη

= ^{(E +iη)e −i(E+iη)ε} ₁

^.Dasowohl

ε

^,alsauch

η

^gegen

0

^streben,

erhaltenwir:

Z dω 2π

ωe ^−iωε ω ² − E ² = i

2

Die zweite

ω

-Integrationliefert fastäquivalent:

Z dω 2π

_{p 2}

2m + n ₀ g

ω ² − (E + iη) ² e ^−iωε = 1 2 (E + iη)

Z dω 2π

_{p 2}

2m + n ₀ g e ^−iωε (ω − (E + iη)) (ω + (E + iη))

= p ²

2m + n ₀ g 2 (E + iη)

1

2π 2πi · res

e ^−iεω

ω − (E + iη) ; E + iη

= i



 _{p 2}

2m + n ₀ g

e ^{−i(E +iη)ε} 2 (E + iη)





Diesliefert alsowieder mit

ε, η → 0

^:

Z dω 2π

p ²

2m + n ₀ g

ω ² − E ² e ^−iωε = i

p ²

2m + n ₀ g 2E

Fügen wirdiesin

G (~x − ~x ⁰ , t − t ⁰ )

^{ein, soerhaltenwir:}

G ~x − ~x ⁰ , t − t ⁰

= i

Z d ^d p (2π) ^d

1 2 −

p ² 2m + n ₀ g

2E

!

Nun nutzen wir:

h| δψ (~x, t) | ² i = iG (~x, t)

und setzen

G (~x, t)

^ein:

h| δψ (~x, t) | ² i =

Z d ^d p (2π) ^d

p ² 2m + n ₀ g

2E (~ p) − 1 2

!

c)

Wirbetrachten die

Γ

^{-Funktion, wobei zuzeigen ist,dass}

1

λ ^z = 1 Γ (z)

Z ∞ 0

dτ τ ^z−1 e ^−λτ

Wirkönnen umstellenzu:

Γ (z) = Z ∞

0

dτ λ ^z τ ^z−1 e ^−λτ

eine trivialeSubstitution

t = λτ

^{liefert uns:}

Γ (z) = Z ∞

0

dt λ λ ^z

t λ

z−1

e ^−t

(wirverwenden hierbei

τ = _λ ^t

^,

^dt _λ = dτ

^{) nachkürzen von}

λ ^z

^{erhaltenwirdieGamma-}

funktion:

Γ (z) = Z ∞

0

dt t ^z−1 e ^−t

Es istdas Integral:

h| δψ (~x, t) | ² i =

Z d ^d p (2π) ^d

" _{~ p} 2

2m + n ₀ g 2E (~ p) − 1

2

#

explizit zulösen. Dasgesuchte Ergebnisist mit:

h| δψ (~x, t) | ² i = S _d (d − 2) 16π ^{d+ 1 2} Γ

− d 2

Γ

d − 1 2

(mn ₀ g) ^{d 2}

gegeben.

Es gilt

S _d = ^2π

d 2

Γ ( ^d ₂ )

^{für die Fläche der} Einheitskugel. Wir können umschreiben, wobei wirdie

− ¹ ₂

vernachlässigen (dimensional Regularisierung):

h| δψ (~x, t) | ² i =

Z d ^d p (2π) ^d

~ p ²

2m + n ₀ g 2E (~ p)

= 1

2 (2π) ^d Z

d ^d p

p ²

2 + mn ₀ g mE

Mit

E = _2m ^p p

p ² + 4mn ₀ g

^folgt:

h| δψ (~x, t) | ² i = 1 2 (2π) ^d

Z

d ^d p p ⁻¹ p ² + 2mn ₀ g p p ² + 4mn ₀ g

Wirkönnen das

d

-dimensionale Integral umschreiben (

R d ^d p → S _d R

dp p ^d−1

^):

h| δψ (~x, t) | ² i = S d

2 (2π) ^d Z ∞

0

dp p ^d−2 p ² + 2mn ₀ g p p ² + 4mn ₀ g

= S _d 2 (2π) ^d

Z ∞ 0

dp

p ^d + 2mn ₀ g p ^d−2 1 p p ² + 4mn ₀ g

Ausnutzen derinc)gezeigten Relation

1

λ ^z = _Γ(z) ¹ R ∞

0 dτ τ ^z−1 e ^−λτ

^{liefert,wobei}

z = ¹ ₂

und

λ = p ² + 4mn ₀ g

^:

h| δψ (~x, t) | ² i = S d

2 (2π) ^d Γ ¹ ₂ Z ∞

0

dp Z ∞

0

dτ τ ^{− 1 2} e ⁻ ( ^{p 2 +4mn} 0 g ) ^τ

p ^d + 2mn ₀ g p ^d−2

Jetzt substituieren wir

α = p ² τ ⇔ p = p _α

τ

^mit

dα

2pτ = dp

^:

h| δψ (~x, t) | ² i = S d

4 (2π) ^d Γ ¹ ₂ Z ∞

0

dα Z ∞

0

dτ τ ^{− 3 2} e ⁻ ( ^α τ +4mn 0 g ) ^τ α τ

^d ₂ − ¹ ₂

+ 2mn 0 g α τ

^d ₂ − ³ ₂

= S d

4 (2π) ^d Γ ¹ ₂ Z ∞

0

dα α ⁻¹ e ^−α Z ∞

0

dτ τ ⁻¹ e ^{−4mn 0 gτ}

α ^{d 2 + 1 2} τ ^{− d 2} + 2mn ₀ g α ^{d 2 − 1 2} τ ^{− d 2 +1}

MitderSubstitution

τ ⁰ = 4mn ₀ gτ

^folgt:

h| δψ (~x, t) | ² i = S _d 4 (2π) ^d Γ ¹ ₂

Z ∞ 0

dα α ⁻¹ e ^−α Z ∞

0

dτ ⁰ τ ⁻¹ e ^{−τ 0}

α ^{d 2 + 1 2} τ ⁻

d 2

+ 1

2 α ^{d 2 − 1 2} τ ^{− d 2 +1}

(4mn ₀ g) ^{d 2}

UmschreibeninGamma-Funktionen mit

R ∞

0 dx x ⁻¹ e ^−x x ⁿ = Γ (n)

^und

Γ ¹ ₂

= √ π

^:

h| δψ (~x, t) | ² i = S d

4 (2π) ^d Γ ¹ ₂

Γ d

2 + 1 2

Γ

− d 2

+ 1

2 Γ d

2 − 1 2

Γ

− d 2 + 1

2 ^d (mn ₀ g) ^{d 2}

= S _d 4π ^{d+ 1 2}

Γ

d 2 + 1

2

Γ

− d 2

+ 1

2 Γ d

2 − 1 2

Γ

− d 2 + 1

(mn ₀ g) ^{d 2}

Verwendung derEigenschaft derGamma-Funktion

Γ (n + 1) = nΓ (n)

^,liefert:

h| δψ (~x, t) | ² i = S d

4π ^{d+ 1 2} 1

2 (d − 1) Γ d

2 − 1 2

Γ

− d 2

+

− d 2

1 2 Γ

d 2 − 1

2

Γ

− d 2

(mn ₀ g) ^{d 2}

= S _d 4π ^{d+ 1 2}

1

2 (d − 1) − d 4

Γ

− d 2

Γ

d − 1 2

(mn ₀ g) ^{d 2}

= S d (d − 2) 16π ^{d+ 1 2} Γ

− d 2

Γ

d − 1 2

(mn ₀ g) ^{d 2}

Hieraus erhaltenwirfür

d = 3

^die Bogoliubov-Formel, da

h| δψ (~x, t) | ² i

^zu:

h| δψ (~x, t) | ² i = S ₃ 16π ^{7 2} Γ

− 3 2

Γ (1) (mn 0 g) ^{3 2} = 8 3 n

r na ³ π

mit

Γ (1) = 1

^,

Γ − ³ ₂

= ⁴ ₃ √

π

^,

S ₃ = 4π

^,

g = ^4πa _m

^und

n ₀ → n

^für

δψ (~x, t)

^{klein (was}

n − n 0 n

^{bedeutet), wird. Dazugilt}

n = n 0 + h| δψ (~x, t) | ² i ⇔ n 0 = n − h| δψ (~x, t) | ² i

^,

setzen wireinerhaltenwirdie Bogoliubov-Formelfür dieKondensat-Entleerung:

n 0 = n 1 − 8 3

r na ³ π

!

a)

DerHamiltonian lautet:

H = 1

2 p ² + ω ² x ²

| {z }

=:H 0

+ U

8ω ² p ² + ω ² x ² − ω

p ² + ω ² x ² − 3ω

| {z }

=:H ⁰

,

den wirzunächstinungestörten Anteil undStörteil

H ⁰ = U

8ω ² (2H ₀ − ω) (2H ₀ − 3ω)

aufspalten.DerungestörteharmonischeOszillatorhatdieEigenzuständeundEigenwerte:

H 0 | n i = ω

n + 1 2

| n i .

Wirbemerken,dass

H

^mit

H ₀

vertauscht,da:

[H ₀ , H] =

H ₀ , H ₀ + H ⁰

=

H ₀ , H ⁰

= U

8ω [H ₀ , (2H ₀ − ω) (2H ₀ − 3ω)]

= U

8ω { [H 0 , 2H 0 − ω] (2H 0 − 3ω) + (2H 0 − ω) [H 0 , 2H 0 − 3ω] }

= 0.

Damitfolgt

H ₀ H | n i = HH ₀ | n i = ω

n + 1 2

H | n i .

H | n i

^{ist also} Eigenzustand von

H ₀

^{mit Eigenwert}

ω (n + 1/2) .

^{Damit können wir die}

Eigenwerte von

H

^berechnen:

H | n i =

H 0 + U 2ω ²

H 0 − ω

2 H 0 − 3ω 2

| n i

=

ω

n + 1 2

+ U

2ω ²

ω

n + 1 2

− ω

2 ω

n + 1

2

− 3ω 2

| n i

=

ω

n + 1 2

+ U

2 n (n − 1)

| n i

=

n ² U 2 + n

ω − U

2

+ ω 2

| n i

Zuberechnen sind diePropagatoren

G x (t) = − i h T [x (t) x (0)] i G p (t) = − i h T [p (t) p (0)] i .

Daschronologische Produktist gegeben durch:

T [f (t ₁ ) f (t ₂ )] = Θ (t ₁ − t ₂ ) f (t ₁ ) f (t ₂ ) + Θ (t ₂ − t ₁ ) f (t ₂ ) f (t ₁ ) .

Dasbedeutetanschaulich,derOperator,derzeitlichalserstesfolgt,wirdauchalserstes

aufeinen gegebenen Ketangewandt. Wirerinnernunsan dieErzeugungs-und Vernich-

tungsoperatoren unddrücken durch sie

x

^und

p

^aus:

x = 1

√ 2ω

a ^† + a

p = i r ω

2

a ^† − a .

Die Operatoren

x (t) p (t)

müssen insHeisenberg-Bildtransformiert werden:

A (t) = e ^iHt A (0) e ^−iHt .

Dazubenutzen wirdieCampbell-Baker-Haussdorff-Regel:

e ^B Ae ^−B = X ∞ n=0

1

n! A n

^mit

A ₀ = A; A n = [B, A _n−1 ]

ZuerstdieKommutatorenvon

a, a ^†

^mit

H ₀ = ω (N + 1/2) = ω a ^† a + 1/2

und

[a, a ^† ] = 1

[H ₀ , a] = ω[a ^† a + 1 2 , a]

= ω[a ^† , a]a

= − ωa

[H 0 , a ^† ] = ω[a ^† a + 1 2 , a ^† ]

= ωa ^† [a, a ^† ]

= ωa ^†

[H, a] = [H ₀ + U

8ω ² (2H ₀ − ω) (2H ₀ − 3ω) , a]

= − ωa + U

8ω ² ((2H ₀ − ω) [2H ₀ − 3ω, a] + [(2H ₀ − ω) , a] (2H ₀ − 3ω))

= − ωa + U

8ω ² ((2H ₀ − ω) ( − 2ωa) + ( − 2ωa) (2H ₀ − 3ω))

= − ωa + U

8ω ² − 4H ₀ aω + 2ω ² a − 4ωaH ₀ + 6ω ² a

= − ωa + U

8ω ² 8ω ² a − 8H 0 aω − 4ω ² a

= − ωa + U

8ω ² 4ω ² a − 8H 0 aω

= U

2 − ω − U ω H 0

| {z }

=:Ω

a

[H, a ^† ] = ωa ^† + U 8ω ²

(2H ₀ − ω) [2H ₀ − 3ω, a ^† ] + [2H ₀ − ω, a ^† ] (2H ₀ − 3ω)

= ωa ^† + U 8ω ²

(2H ₀ − ω) 2ωa ^† + 2ωa ^† (2H ₀ − 3ω)

= ωa ^† + U 8ω ²

4H ₀ a ^† ω − 2ω ² a ^† + 4ωa ^† H ₀ − 6ω ² a ^†

= ωa ^† + U 8ω ²

8H ₀ a ^† ω − 12ω ² a ^†

=

ω + U

ω H ₀ − 3 2 U

| {z }

=:Ω ^†

a ^†

Damitgilt:

a (t) = e ^iΩt a

^und

a ^† (t) = e ^{iΩ † t} a ^† .

Damit berechnen wir die Greenschen Funktion als Erwartungswert des chronologischen

ProduktesimVakuum

(n = 0)

^.

h T [x (t) x (0)] i = h Θ (t) x (t) x (0) + Θ ( − t) x (0) x (t) i

= 1

2ω D

Θ (t) e ^iHt

a ^† + a

e ^−iHt

a ^† + a

+ Θ ( − t)

a ^† + a e ^iHt

a ^† + a

e ^−iHt E

= 1

2ω

D Θ (t)

(((( (((

e ^iHt a ^† e ^−iHt a ^† + ⁽⁽⁽⁽ e ^iHt a ^† e ^{−iHt (( (} a + e ^iHt ae ^−iHt a ^† + ⁽⁽⁽⁽ e ^iHt ae ^{−iHt ((} a +Θ ( − t)

(((( (((

a ^† e ^iHt a ^† e ^−iHt + ⁽⁽⁽⁽ a ^† e ^iHt ae ^{(( −iHt (} + ae ^iHt a ^† e ^−iHt + ⁽⁽⁽⁽ ae ^iHt ae ^{−iHt ((} E

= 1

2ω

Θ (t) e ^iΩt + D

Θ ( − t) e ^{iΩ † t} E

Damitist

G _x (t) = − i 2ω

Θ (t) e ^iΩt + D

Θ ( − t) e ^{iΩ † t} E

h T [p (t) p (0)] i = h Θ (t) p (t) p (0) + Θ ( − t) p (0) p (t) i

= − ω 2

D Θ (t) e ^iHt

a ^† − a

e ^−iHt

a ^† − a

+ Θ ( − t)

a ^† − a e ^iHt

a ^† − a

e ^−iHt E

= − ω 2

D Θ (t)

(((( (((

e ^iHt a ^† e ^−iHt a ^† − ⁽⁽⁽⁽ e ^iHt a ^† e ^{−iHt (( (} a − e ^iHt ae ^−iHt a ^† + ⁽⁽⁽⁽ e ^iHt ae ^{−iHt ((} a +Θ ( − t)

(((( (((

a ^† e ^iHt a ^† e ^−iHt − ⁽⁽⁽⁽ a ^† e ^iHt ae ^{(( −iHt (} − ae ^iHt a ^† e ^−iHt + ⁽⁽⁽⁽ ae ^iHt ae ^{−iHt ((} E

= ω 2

Θ (t) e ^iΩt + D

Θ ( − t) e ^{iΩ † t} E .

Damitist

G _p (t) = − iω 2

Θ (t) e ^iΩt + D

Θ ( − t) e ^{iΩ † t} E

.