Humboldt-Universit¨at zu Berlin, Institut f¨ur Mathematik Mathematik f¨ur NaturwissenschaftlerInnen 2
Dr. Caroline L¨obhard
Sommersemester 2016, Blatt 3: Exakte Differentialgleichungen, Vektorrechnung
V 3.1.L¨osen Sie das folgende Anfangswertproblem,
2t+ 4y(t) + 2 + (4t+ 12y(t) + 8)y0(t) = 0, y(0) =−1.
V 3.2.Wir betrachten die Differentialgleichung
P(t, y(t)) +Q(t, y(t))y0(t) = 0, (#)
wobei das VektorfeldN(t, x) = (P(t, x), Q(t, x)) nicht exakt sei. Es existiere ein integrierender Faktor µ(t, x) = ˜µ(φ(t, x)), der nur von einer differenzierbaren Funktionφ(t, x) (φ(t, x)∈R) abh¨angt. Weisen Sie nach, dass ˜µdie Differentialgleichung
˜
µ0(φ(t, x)) =
Qt(t, x)−Px(t, x) P(t, x)φx(t, x)−Q(t, x)φt(t, x)
˜
µ(φ(t, x))
erf¨ullt. Pr¨ufen Sie, ob diese Formel im Fall φ(t, x) =t mit der Formel aus Bem.1.24 zusammenpasst.
V 3.3.Bestimmen Sie eine Gleichung der Form φ(t, y(t)) =c, durch die L¨osungen yc(t) der Differen- tialgleichung
t(y(t))2−(y(t))3+ (1−t(y(t))2)y0(t) = 0
implizit bestimmt sind. Berechnen Sie die Konstante c, sodass die L¨osung des zugeh¨origen Anfangs- wertproblems mity(1) = 2 durch die Gleichungφ(t, y(t)) =cgegeben ist.
Hinweis: Es existiert ein integrierender Faktorµ(t, x) = ˜µ(x), der nur vonxabh¨angt. Sie k¨onnen eine Differentialgleichung f¨urµ˜ entweder analog zu Bem.1.24 herleiten, oder, indem Sie in der Formel aus V3.2φ(t, x) =x setzen.
V 3.4.Untersuchen Sie jeweils, ob Zahlenλ1, λ2(undλ3) existieren, so dass die folgenden Gleichungen gelten. Untersuchen Sie auch, ob diese Zahlen eindeutig bestimmt sind.
a) λ1 1
0
+λ2 0
1
= 1
−1
,
b) λ1
1 0 0
+λ2
0 1 1
=
1 2 3
,
c) λ1 1
0
+λ2 0
1
+λ3 3
−2
= 1
−1
,
d) λ1
1 0 0
+λ2
0 1 1
+λ3
1 1 1
=
0 0 0
,
S 3.5.L¨osen Sie die folgenden Differentialgleichungen, a) 2t3+ 3y(t) + (3t+y(t)−1)y0(t) = 0,
b) 1−tcot(y(t))y0(t) = 0,
S 3.6.Untersuchen Sie jeweils, ob Zahlenλ1, λ2(undλ3) existieren, so dass die folgenden Gleichungen f¨ur alle x∈Rgelten. Untersuchen Sie auch, ob diese Zahlen eindeutig bestimmt sind.
a) λ1(1 +x+x2) +λ2x= 0,
b) λ1(1 +x+x2) +λ2x+λ3x2 = 1, c) λ1sin(x) +λ2cos(x) =ex.
Informationen zur Vorlesung finden Sie unter www.math.hu-berlin.de/˜loebhard/mathematik 2 Abgabe der S-Aufgaben am 9.5.2016, V-Aufgaben vorzubereiten zur Woche ab 9.5.2016
