Prof. Dr. H. Schmidli Sommersemester 2009 Dipl.-Math. J. Eisenberg
Übungen zur Vorlesung Wahrscheinlichkeitstheorie I
Blatt 2
Abgabe: 29.04.09 bzw. 30.04.09 in der Übung
Aufgabe 1. (4 Punkte)
Es seiΩ = [0,1),F =B([0,1))und µdas Lebesguemass. Für alle n∈N sei An:=h
0, 1 2n
∪h 2 2n, 3
2n
∪...∪h2n−2
2n ,2n−1 2n
.
Man zeige, dassµ(An∩An+1) =µ(An)·µ(An+1).
Aufgabe 2. (4 Punkte)
Es seien (Ω,F, µ) ein Maßraum mit µ(Ω) < ∞ und A1, ..., An ∈ F. Man zeige:
n
X
i=1
µ(Ai)>(n−1)µ(Ω) ⇒
n
\
i=1
Ai 6=∅.
Aufgabe 3. (4 Punkte)
SeiF eine stetige, monoton wachsende Funktion undµdas zugehörige Stielt- jesmass.
a) Zeige, dass µ({x}) = 0für alle x∈R.
b) Zeige, dass abzählbare Mengen das Maß 0haben.
c) Wenn eine Menge positives Maß hat, muss sie dann ein nichtleeres, offenes Intervall enthalten?
Aufgabe 4. (4 Punkte)
Seien (Ω,F), (Ω′,F′) und (Ω′′,F′′) messbare Räume; f := Ω → Ω′ und f′:= Ω′ →Ω′′ beliebige Abbildungen.
Man zeige:
a) A:={f−1(A) : A∈ F′} ist eineσ-Algebra.
b) IstB ⊂ F′ mit σ(B) =F′, dann istf genau dann messbar, wennf−1(B)∈ F für alleB ∈ B.
c) Sindf undf′ messbar, so ist auchf′◦f messbar.
