Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 9 ¨

PD Dr. J. Wolf

Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik

www2.mathematik.hu-berlin.de/∼ jwolf

E-Mail: jwolf@math.hu-berlin.de 17. Juni 2016

Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 9 ¨

(Besprechung in der ¨Ubung am 01. Juli 2016)

Aufgabe 1

Sei Ω⊂Rⁿein beschr¨anktesC¹Gebiet. Seiu∈L²(Ω;Rⁿ) so dass f¨ur alleϕ∈C_c^∞(Ω;Rⁿ) mit divu= 0 gilt

Z

Ω

u·ϕdx= 0.

Beweisen Sie, dass ein p∈W^1,2(Ω) existiert mit ui = _∂x^∂p

i fast ¨uberall in Ω.

Aufgabe 2

Seien f :I×R×R→R, und F :C¹(I)→C(I) wie im Beispiel 7.8.

(a) Zeigen Sie, dass F stetig und kompakt ist.

(b) Beweisen Sie Lemma 7.8.2.

Aufgabe 3 (Nemitski Operatoren)

Sei Ω⊂Rⁿ offen und beschr¨ankt. Seif : Ω×R→R. 1. f heißt Carath´eodory Funktion, falls

u7→f(x, u) stetig f¨ur fast alle x∈Ω, (1) x7→f(x, u) messbar f¨ur alleu∈R. (2) 2. Seien 1≤p, q <∞. Wir nehmen an f gen¨ugt der folgenden Wachtumsbedingung

|f(x, u)| ≤a+b|u|^α, α= p

q. (3)

(a) Zeigen Sie, dass f¨ur alle u ∈ L^p(Ω) die Funktion F(u)(x) = f(x, u(x)) in L^q(Ω) liegt. (Der Operator u7→F(u) heißtNemitski Operator zuf).

(b) Zeigen Sie, dass F :L^p(Ω)→L^q(Ω) unter den Annahmen (1), (2), (3) stetig ist.

Aufgabe 4Sei Ω⊂Rⁿein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand,k >0 eine Konstan- te. Beweisen Sie, dass das nichtlineare Randwertproblem

−∆u = e^u1 in Ω, u = k auf ∂Ω eine eindeutige positive L¨osung u∈C²(Ω) hat.