PD Dr. J. Wolf
Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik
www2.mathematik.hu-berlin.de/∼ jwolf
E-Mail: jwolf@math.hu-berlin.de 17. Juni 2016
Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 9 ¨
(Besprechung in der ¨Ubung am 01. Juli 2016)
Aufgabe 1
Sei Ω⊂Rnein beschr¨anktesC1Gebiet. Seiu∈L2(Ω;Rn) so dass f¨ur alleϕ∈Cc∞(Ω;Rn) mit divu= 0 gilt
Z
Ω
u·ϕdx= 0.
Beweisen Sie, dass ein p∈W1,2(Ω) existiert mit ui = ∂x∂p
i fast ¨uberall in Ω.
Aufgabe 2
Seien f :I×R×R→R, und F :C1(I)→C(I) wie im Beispiel 7.8.
(a) Zeigen Sie, dass F stetig und kompakt ist.
(b) Beweisen Sie Lemma 7.8.2.
Aufgabe 3 (Nemitski Operatoren)
Sei Ω⊂Rn offen und beschr¨ankt. Seif : Ω×R→R. 1. f heißt Carath´eodory Funktion, falls
u7→f(x, u) stetig f¨ur fast alle x∈Ω, (1) x7→f(x, u) messbar f¨ur alleu∈R. (2) 2. Seien 1≤p, q <∞. Wir nehmen an f gen¨ugt der folgenden Wachtumsbedingung
|f(x, u)| ≤a+b|u|α, α= p
q. (3)
(a) Zeigen Sie, dass f¨ur alle u ∈ Lp(Ω) die Funktion F(u)(x) = f(x, u(x)) in Lq(Ω) liegt. (Der Operator u7→F(u) heißtNemitski Operator zuf).
(b) Zeigen Sie, dass F :Lp(Ω)→Lq(Ω) unter den Annahmen (1), (2), (3) stetig ist.
Aufgabe 4Sei Ω⊂Rnein beschr¨anktes Gebiet mit glattem Rand,k >0 eine Konstan- te. Beweisen Sie, dass das nichtlineare Randwertproblem
−∆u = eu1 in Ω, u = k auf ∂Ω eine eindeutige positive L¨osung u∈C2(Ω) hat.
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L¨ osungen Blatt 9
Aufgabe 4
Satz Sei f ∈C0,1(Ω). Sei u∈C2(Ω) mit −∆u=f, dann
kukC2 ≤ c1kfkC1. (4) Außerdem gilt f¨ur f ∈L∞(Ω):
kukW2, p(Ω) ≤ c2kfkL∞ ∀p >1. (5) F¨ur p > n haben wir W2, p(Ω),→C1(Ω). Also haben wir
kukC1 ≤ ckukW2, n+1(Ω) ≤ c3kfkL∞. (6)
Wir definieren T :C1(Ω)→C1(Ω) durch
T(v) =u, −∆u = ev++k1 , u= 0 auf ∂Ω.
Dann ist ev++k1 ∈C0,1(Ω) mit
k∇ev++k1 k∞ ≤ kvkC1k−2e1/k.
Dies zeigt
kT(v)kC2 ≤ ckvkC1k−2e1/k. Folglich ist T ein kompakter Operator.
Nun sei u∈C1(Ω) und λ∈[0,1] mit
u=λT(u).
Dann haben wir
kukC1 ≤ ckukWn+1,2(Ω) ≤ ckev++k1 k∞ ≤ ce1/k.
Nach dem Satz von Leray-Schauder existiert ein u ∈ C1(Ω) mit T(u) = u. Dann ist u∈C2(Ω) und gen¨ugt der Differentialgleichung
−∆u = eu++k1 in Ω, u= 0 auf ∂Ω.
Nach dem Maximumprinzip giltu≥0, alsoeu++k1 =eu+k1 . Hieraus folgt die Behauptung.
Alternativ: f(τ) =−eτ+k1 . Wir berechnen f0(τ) = 1
(τ++k)2eτ+k1 , τ ∈R. Also
0≤f0(τ)≤L=k−2e1k ∀τ ∈R\ {0}.
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Dies zeigt, dass der Operator −∆u−eu++k1 monoton ist. Gem¨aß 8.6 existiert ein u ∈ W01,2(Ω), so dass
Z
Ω
∇u· ∇vdx− Z
Ω
eu++k1 vdx = 0 ∀v ∈W01,2(Ω).
Setzt man insbesondere v =u−∈W01,2(Ω), so erh¨alt man Z
Ω
∇u· ∇u−dx− Z
Ω
eu++k1 u−dx = Z
Ω
|∇u−|2dx+ Z
{u<0}
e1k(−u)dx = 0
Hieraus folgt, dass u≥0 fast ¨uberall in Ω, also ist uschwache L¨osung von
−∆u = eu+k1 in Ω, u= 0 auf ∂Ω.
Wegen eu+k1 ≤ e1/k in Ω folgt aus der obigen Absch¨atzung, dass u ∈ W2, n+1(Ω) ,→ C1(Ω) und
kukC1 ≤ ce1/k.
Hieraus ergibt sicheu+k1 ∈C1(Ω) mit
∂xieu+k1 = ∂xiu (u+k)2eu+k1 also
k∇eu+k1 kL∞ ≤ ck−2e1/kk∇ukL∞ ≤ ck−2e2/k. Folglich ist u∈C2(Ω) mit
kukC2 ≤ ckeu+k1 kC1 ≤ ck−2e2/k.
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