Einführung in die Meteorologie I

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie I

- Teil IV: Die atmosphärischen

Zustandsvariablen

2

Gliederung der Vorlesung

0 Allgemeines I Einführung

II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung

IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen

V Thermodynamik der Atmosphäre

--- VI Dynamik der Atmosphäre

VII Atmosphärische Grenzschicht

VIII Synoptische Meteorologie

3

IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen

IV.1 Luftdruck

IV.2 Windgeschwindigkeit

IV.4 Feuchte

4

IV.3 Temperatur

1. 

2.  Thermodynamische Potenziale und spezifische Wärmen 3.  Vertikalbewegungen

4.  Temperaturmessung

5

IV.3.1 Thermodynamische Systeme und Hauptsätze

•  Bei Luftvolumina interessiert uns meteorologisch (meist) nicht das einzelne

Molekül, dessen Position und Geschwindigkeit; wir interessieren uns nur für deren statistischen Eigenschaften.

•  Druck, Temperatur und Dichte sind solche statistischen Eigenschaften, die man aus der Anzahldichte und den Zuständen der einzelnen Moleküle (Impuls, kinetische Energie, Rotationsenergie etc.) ableiten kann.

•  Ein Luftvolumen, für das wir diese statistischen Eigenschaften bestimmen können, nennen wir thermodynamisches System, und die statistischen Eigenschaften, die seinen Zustand beschreiben - wie p, T, V und n, oder die eng mit T

verknüpfte innere Energie u = c_vT - nennen wir thermodynamische Zustandsgrößen.

•  Thermodynamische Zustandsgrößen sind i.a. abhängig voneinander (siehe Gasgleichung pV=nRT).

•  Ein thermodynamisches System ist im thermodynamischen Gleichgewicht, wenn alle Zustandsgrößen mit der Zeit konstant bleiben.

6

Die Temperatur ist die thermodynamische

Zustandsgröße, welche den Wärmezustand eines

Hieraus folgt – oder dies folgt aus der Erfahrung:

Sind zwei thermodynamische Systeme miteinander in Kontakt, so streben sie die gleiche Temperaturen an, die dann im thermodynamischen Gleichgewicht erreicht wird.

0-ter Hauptsatz der Thermodynamik

Der Zustand eines thermodynamischen Systems sei durch k unabhängige

thermodynamische Zustandsgrößen eindeutig bestimmt.

Ø  Dann ist sein Zustand ein Punkt in einem Raum, aufgespannt durch diese Zustands- größen – genannt der Zustandsraum.

Für Luft als ideales Gas gilt k=3, denn die ideale Gasgleichung lautet

denn durch jeweils 3 Zustandsgrößen ist jede andere Zustandsgröße festgelegt.

Bei n=const (Masse bleibt konstant) gilt T=T(p,V), d.h. der Zustand kann dann als 2-dimensionaler

Raum (p,V) visualisiert werden (siehe Abbildung). V p

T(n=const,p,V)

Thermodynamische Zustandsgrößen und Zustandsraum

weitere Zustandsvariable:

...was man auf weitere Zustands- variablen erweitern kann, z.B. auf u=c_vT (innere Energie) oder h=c_pT (Enthalpie).

ΔT = dT = 0

beliebiger geschlossener

Weg im Zustandsraum

! ∫

entlang eines beliebigen geschlossenen

Weges im Zustandsraum

∑

T = T(n, p,V) = pV

nR* ,

dT(p,V)

! ∫

∂

∂p

∂

∂V

⎛

⎝

⎜⎜

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

⎟⎟ T ⋅

dp dV

⎛

⎝

⎜⎜

⎜

⎞

⎠

⎟⎟

! ∫

! ∫

8

Zustandsgrößen und

vollständiges Differenzial

Da die Temperatur als Zustandsvariable (bei

n=const) vollständig durch ihre Abhängigkeit von p und V beschreibbar ist, folgt weiter (Kettenregel):

0 =

! ∫

! ∫

! ∫

p

V

dV dp

Der Nabla-Operator ist hier auf die Ableitung nach den unabhängigen thermodynamischen Zustandsva- riablen p und V als Koordinaten verallgemeinert worden:

Die ursprünglichen Raumkoordi- naten (x, y, z) sind durch

Koordinaten, die den Zustand eines Systems (p,V) - und

seinen Weg im Zustandsraum ds –beschreiben, ersetzt worden.

d ! s

Der Ausdruck dT(p,V) = ∂T

∂p dp+ ∂T

∂V dV

beschreibt die Änderung einer Zustandsvariablen in Abhängigkeit von einem vollständigen Satz von einander unabhängigen Zustandsvariablen.

Der Ausdruck heisst vollständiges Differenzial und gilt so nur für Zustandsvariablen.

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Ausdehnungsarbeit eines Gases

Dehnt sich ein Luftvolumen aus

(und verschiebt dabei angrenzende Luft bei dem an der Grenzfläche herrschenden Druck p),

so leistet die Luft Arbeit.

V → V + ΔV

Betrachte nun sehr kleine Volumenänderungen (ΔV→dV):

A → δA = pdV

Wichtig: Wir benutzen hier δA (anstatt dA) als infinitesimales Inkrement.

Das d ist vollständigen Differenzialen vorbehalten, und damit Zustandsgrößen wie der Temperatur.

Wir werden im Folgenden sehen, dass die an/von einem thermodynami- schen System geleistete Arbeit keine Zustandsgröße ist – denn sie hängt vom Weg des Systems im Zustandsraum ab.

Betrachte das Integral

p dV

V V+ΔV

∫

!dV V

V+ΔV

∫

x x+Δx

∫

Q (Quer- schnitt) Δs (Weg)

10

Geleistete Arbeit ist keine Zustandsvariable eines thermodynamischen Systems

δ^A

 ∫

 ∫

1 2

∫

p₂(V₂−V₁)



+ p dV

2 3

∫

0

+ p dV

3 4

∫

p₁(V₁−V₂)



+ p dV

4 1

∫

0

δ^A

 ∫

Über den geschlossenen Weg im Zustandsraum verändert sich also die Arbeit A; das Gas leistet netto Arbeit in diesem "Kreisprozess".

δ ^A

! ∫

keine Zustandgröße eines idealen Gases.

2

V₁ V₂ V p₂

p₁ p

3 1

4

Denn: Betrachte die Arbeit entlang eines

geschlossenen Weges im Zustandsraum eines idealen Gases, aufgespannt durch die

Zustandsvariablen p und V:

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Quelle der Ausdehnungsarbeit und Auswirkung auf die Temperatur

Bei fester Wand ändern auftreffende Luftmoleküle nur ihre Richtung;

ihre kinetische Energie (m/2 v²) bleibt dabei konstant und damit auch die Temperatur im Volumen.

Bewegt sich die Wand aber durch den Druck der Moleküle nach

rechts, so haben die reflektierten Moleküle eine geringere kinetische Energie; da die Temperatur proportional zur mittleren kinetischen

Energie eines Luftmoleküls ist, nimmt die Temperatur im Volumen ab.

Die Ausdehnung eines Gases gegen einen äußeren Druck führt also zur Abnahme der Temperatur des Gases .

Die kinetische Energie der Moleküle ist also eine interne Energie des Gases. Bei der Ausdehnung eines idealen Gases wird diese interne Energie für die Ausdehnungsarbeit aufgewendet.

(→ Erster Hauptsatz der Wärmelehre)

Dehnt sich ein Luftvolumen gegen angrenzende Luft aus, so wird sie den Impuls der Moleküle dieser Luft verändern auf Kosten der kinetischen Energie der eigenen Moleküle.

12

1. Hauptsatz der Thermodynamik

allgemein dU = δ^{Q -} δA oder du = δ^{q -}δ^a ideales Gas C_vdT = δ^Q − pdV

(spezifisch) c_vdT = δ^q − pd 1 ρ

⎛

⎝⎜ ⎞

⎠⎟ = δ^q − pdα

•  Führt man einem idealen Gas die Wärmemenge ΔQ zu, so kann das Gas diese in Ausdehnungsarbeit ΔA und eine Form der internen

Energie – die innere Energie U – umwandeln:

ΔQ = ΔA + ΔU = p ΔV + ΔU

•  Die innere Energie U eines idealen Gases ist nur von der Tempe- ratur abhängig (U=U(T)) und damit auch eine Zustandsvariable; es gilt U=C_vT mit C_v der Wärmekapazität des Gases bei konstantem Volumen ([C_v]=J/K).

•  Wir führen massenspezifische Größen ein, also

Q→q=Q/m, A→a=A/m, U→u=U/m, C_v→c_v=C_v/m=718 J/(kgK) für Luft mit m Masse, und betrachten infinitesimal kleine Änderungen:

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Adiabatische und diabatische Zustandsänderungen

• 

Eine Zustandsänderung eines thermodynamischen

Systems wird als adiabatisch bezeichnet, wenn keine Wärmezu- oder –abfuhr erfolgt, also δQ=0 oder δq=0 .

• 

Dann gilt offensichtlich δQ=0=pdV + c

oder dT/dV = -p/c

• 

Erfolgt die Zustandsänderung mit Wärmezu- oder - abfuhr, so spricht man von diabatischen

Zustandsänderungen.

Carnot-Kreislauf

•  Der Carnot-Kreisprozess ist ein idealisierter geschlossener

Zustandsweg eines idealen Gases im p-V-Zustandsraum, bei dem aus Wärme (genauer: Wärmedifferenz) Arbeit geleistet wird. Hier lässt sich die Bedeutung des 1. H.S. der Thermodynamik gut demonstrieren.

•  Beim Carnot-Kreislauf wird dem System

–  (1→2) zunächst bei höherer (konstanter) Temperatur Wärme zugeführt,

wobei es sich ausdehnt und den Druck erniedrigt (isotherme Ausdehnung), -  (2→3) dann lässt man es sich – nun ohne

Wärmezufuhr (adiabatisch) auf Kosten der inneren Energie – weiter ausdehnen, wobei es weiter seinen Druck aber eben auch seine Tem- peratur erniedrigt (adiabatische Ausdehnung), -  (3→4) dann komprimiert man bei dieser niedri-

geren (konstanten) Temperatur das Volumen und führt entsprechend Wärme ab (isotherme Kompression), dabei wird der Druck erhöht, -  (4→1) und schließlich komprimiert man

adiabatisch unter Temperaturerhöhung zum Ausgangspunkt (adia-

batische Kompression). ¹⁴

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const),

siehe Gasgleichung

T_w T_k

15

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

dU(T) ≡ 0 (da U nur von T abhängt) 0 = δ^Q − pdV

>0

⇒ δQ > 0 Wärmezufuhr

!

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const),

siehe Gasgleichung

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

T_w T_k

Formalisierung Carnot-Kreislauf (a)

δ^Q = pdV =

pV=nR^*T

! nR^*T_w V dV

δ^Q = ΔQ₁₂ = nR^*T_w

1 2

∫

1 2

∫

1 2

∫

= nR^*T_w(lnV₂ −lnV₁) = nR^*T_w lnV₂ V₁

16

Formalisierung Carnot-Kreislauf (b)

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

C_vdT = −pdV =

Gasgleichung! − ρ^RTdV = −m

V RTdV

→ dT

T = − R c_v

dV

V , dlnT = − R

c_v dlnV

→lnT_k

T_w = − R

c_v lnV₃

V₂ , T_k

T_w = V₃ V₂

⎛

⎝⎜⎜ ⎞

⎠⎟⎟

−R c_v

→ T_kV₃^Rcv =T_wV₂^Rcv

T_w T_k

2 → 3 adiabatische Expansion (großes V) δ^Q ≡ 0 (abgeschlossenes System)

dU(T) = − pdV

>0

⇒ dU < 0 also Temperaturabnahme

! Arbeitsleistung pdV des Systems auf Kosten der inneren Energie U

17

Formalisierung Carnot-Kreislauf (c)

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(kein Wärmeübergänge)

δQ = pdV =

pV=nR^*T

! nR^*T_k V dV

δQ _{= Δ}Q_{34 =} nR^*T_k

3

∫

3

∫

∫

= nR^*T_k lnV₄

V₃ ^{= −}nR^*T_k lnV₃ V₄

T_w T_k

3 → 4 isotherme Kompression (kalt) dU(T) ≡ 0 (da U nur von T abhängt) 0 = δ^Q − pdV

<0

⇒ δ^Q < 0 Wärmeabfuhr

!

18

Formalisierung Carnot-Kreislauf (d)

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

T_kV₄^Rcv =T_wV₁^Rcv

zusammen mit T_kV₃^Rcv =T_wV₂^Rcv folgt

⇒ V₂

V₁ = V₃ V₄

T_k T_w

4 →1 adiabatische Kompression (kleines V) δ^Q ≡0 (abgeschlossenes System)

dU(T) =− pdV

<0

⇒dU>0 Temperaturzunahme

!

Arbeitsleistung −pdV am System erhöht innere Energie U

19

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

Folgerung 1 : dU(T)

! ∫

! ∫

≠0

! = ΔQ₁₂ + ΔQ₃₄ ≡

! ∫

≠0

! > 0 d.h. dem System wird netto

Wärme zugeführt (ΔQ₁₂ > ΔQ₃₄ ),

womit es Ausdehnungsarbeit leistet.

T_w T_k

20

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

differenz Temperatur

die größer

je

größer umso

,

Wärme gesteckte

hinein

Arbeit geleistete

tmaschine Wärmekraf

der ad

Wirkungsgr

1

1 ln

ln 1

1

2

* 1

4

* 3

12 34 12

34 12

<

−

=

−

=

Δ

− Δ Δ =

Δ +

= Δ

=

w k w

k

T T V V

T nR

V V T

nR

Q Q Q

Q Q

η

: 2 Folgerung

21

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

Anmerkung: der Carnot-Kreislauf ist eine Ideali- sierung, denn es wird angenommen, dass das System immer im thermischen Gleichgewicht ist, was die Änderungen reversibel macht.

Es gilt: η_Carnot

reversibel! > η_real

irreversibel! und dS ≥ δQ_irrev T

D.h. in einem abgeschlossenen System (δQ = 0) bleibt die Entropie konstant oder nimmt zu.

T_w T_k

Folgerung 3 :

Definition der Entropie δ^Q

! ∫

1

−T_k lnV₃ V₄

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= nR^*lnV₂

V₁

(

)

aber δ^Q

! ∫

w

+ ΔQ₃₄ T_k ≡0

⇒Entropie S, dS = δ^Q

T ist eine Zustandsvariable

22

Carnot-Kreislauf

pdV Q

T

dU ^{( )} = δ −

p

V

1

4

3 2

Isothermen (T=const)

Adiabaten

(keine Wärmeübergänge)

Folgerung 4 :

2. Hauptsatz der Themodynamik:

Es gibt keine Wärmekraftmaschine, die einen höheren Wirkungsgrad hat als die Carnot'sche.

Insbesondere folgt: Wärme kann nicht vollständig in Arbeit umgesetzt werden.

T_w T_k

Folgerung 5 :

Die Atmosphäre funktioniert wie eine Wärmekraftmaschine: Unter hohem Druck wird Wärme zugeführt (am Boden durch Wärmeflüsse), unter niedrigem Druck (oben, durch

Ausstrahlung) wieder abgeführt.

Folgerung 6 :

Neue Formulierung des 1.HS:

du(T)=Tds− pdα

Hadley-Zirkulation im p-V-Diagramm

Die Hadley-Zirkulation ist ein modifizierter Carnot-Kreislauf und kann in einem im p-V-Diagramm dargestellt werden:

– Dabei fließt Luft am Boden von den Hochdruckgebieten der

Subtropen zu der tropischen Tiefdruckrinne und erwärmt sich dabei durch Wärmeauf- nahme vom Untergrund leicht.

– Dort steigt sie adiabatisch auf,

– und fließt dann zurück unter leichter Druckzunahme und

Temperaturabnahme (durch Abstrahlung in das Weltall) zu den Subtropen,

– wo sie wieder adiabatisch zum Boden sinkt.

23 adiabatisches

Aufsteigen in der ITCZ

adiabatisches Absteigen in den Subtropen

Strahlungsabkühlung und leichtes Absinken im Gegenpassat Erwärmung und

Druckabnahme in den Passaten

•  Wir fassen die Luft als ein thermodynamisches System auf, das durch beliebige drei (zwei wenn die Menge, d.h. Anzahl der Mole konstant gehalten wird) seiner Zustandsvariablen n, p, T, ρ, s, u eindeutig bestimmt ist.

•  Für ein ideales Gas, wie die Erdatmosphäre gilt der 1. Hauptsatz wie folgt:

•  Für adiabatische Zustandsänderungen gilt (δq=0):

c_vdT

=du Änderung der inneren Energie

! = δ^q

zugeführte Wärmemenge

! − p dα

Änderung des spezifischen Volumens α= 1

!ρ

von Gas

geleistete Ausdehnungs- arbeit

! "# #$ =

bei reversiblen Änderungen!

T ds

Änderung der spezifischen

Entropie ds=δq

T

! − pdα

Das Wichtigste

24

c_vdT = − pdα

25

Übungen zu IV.3.1

1.  Schreibe mit Hilfe der Gasgleichung den Druck als vollständiges Differential von T und ρ (n=const); also dp=xdT+ydρ (d.h. bestimme x und y).

2.  Schreibe das spezifische Volumen α als Differenzial von Temperatur und Druck (n=const).

3.  Was ist der Wirkungsgrad der Hadley-Zirkulation unter der Annahme, dass sie als Carnot-Kreislauf betrachtet werden kann?

26

27

Zusatzübungen zu IV.3.2

1. 

Schreibe den Druck als totales Differential von Temperatur, Volumen und Anzahl der Mole n.

2. 

Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf (Folgerung 1) insgesamt Wärme zugefügt wird.

3. 

Zeige, dass beim beschriebenen Carnot-Kreislauf das

Linienintegral über δQ/T bei irreversiblen Prozessen nicht

verschwindet (Folgerung 3).