Clemens Simmer
Einführung
in die Meteorologie I
- Teil IV: Meteorologische
Zustandsvariable -
Gliederung der Vorlesung
0 Allgemeines I Einführung
II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung
IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen V Thermodynamik der Atmosphäre
--- VI Dynamik der Atmosphäre
VII Atmosphärische Grenzschicht
VIII Synoptische Meteorologie
3
IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen
IV.1 Luftdruck
IV.2 Windgeschwindigkeit IV.3 Temperatur
IV.4 Feuchte
IV.1 Luftdruck
1. Vertikale Druckverteilung
Statische Grundgleichung → 3. Komponente der Bewegungsgleichung
vertikale Integration der statischen Grundgleichung
→ Barometrische Höhenformel
2. Horizontale Druckverteilung
3. Druckmessung
5
IV.1.1 Vertikale Druckverteilung
Statische Grundgleichung und barometrische Höhenformel
Die statische Grundgleichung -1/ρ ∂p/∂z = g beschreibt ein Gleichgewicht zwischen Schwerebeschleunigung
(Massenanziehung g) auf der einen Seite und
Druckgradientbeschleunigung (-1/ρ ∂p/∂z) auf der anderen Seite.
Die barometrische Höhenformel ist die integrierte Form der statischen Grundgleichung unter der Annahme, dass der Druck nur von der Höhe abhängt p(z)=-∫ρg dz + C
Beide Gleichungen erlauben uns, den vertikalen
Druckverlauf in der Atmosphäre in Abhängigkeit von
Dichte und Temperatur zu bestimmen.
Ableitung der statischen Grundgleichung
∂p/∂z=-ρg
Die Ableitung kann erfolgen
- aus Skalenanalyse der 3. Komponente der Bewegungsgleichung,
- aus der 3. Komponente der Bewegungsgleichung bei ruhender Atmosphäre,
- oder aus der Gewichtsabnahme der Luftsäule ümit
zunehmender Höhe.
7
Ableitung der statischen Grundgleichung aus Bewegungsgleichung (Wiederholung)
oder nehme bei vollst. Form
∂ ! v
∂t +( v!⋅ !
∇)!
v = − 1 ρ
∇!p −gk! −2 ! Ω × !
v + 1 ρ
∇⋅! τ
an daß gilt !
v = 0 ⇒ 0 = − 1 ρ
∇!p + ! kg
0 0 0
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟ =
−∂p∂x
−∂p∂y
−∂p∂z
⎛
⎝
⎜⎜
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟⎟ +
0 0
−ρg
⎛
⎝
⎜⎜
⎜
⎞
⎠
⎟⎟
⎟
⇒
∂p
∂x = 0
∂p
∂y = 0
∂p
∂z = −ρg
Es folgt hieraus auch:
Neben der statischen
Grundgleichung fordert die ruhende Atmosphäre auch
verschwindende horizontale Druckgradienten.
Skalenanalyse: Betrachte die Größen- ordnung der Terme in 3. Komponente für großräumige Bewegungen:
Beschleunigung, Coriolis und
Reibung sind viel kleiner (10-3 m/s2) als Druckgradient und Schwerkraft (10 m/s2).
∂w
∂t +(v!⋅ !
∇)w= − 1
ρ
∂p
∂z − g +2Ωucosϕ + 1 ρ
∇ ⋅! τ
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
z
p
2= m ' g / F
Statische Grundgleichung aus Gewichtsüberlegungen
Druck = Kraft/Fläche
= Masse (m=ρV) x Beschleunigung (g) / Fläche (F=ΔxΔy)
p
1= mg / F + m ' g / F
p
2− p
1= Δ p = − mg / F = − mg / ( Δ x Δ y)
Δp = − ρ Vg / (ΔxΔy) = − ρ ΔxΔyΔzg / (ΔxΔy) z g
p = − ρ Δ
Δ
z g p z
p
z
= − ρ
∂
≡ ∂ Δ
Δ
→ Δ
lim
0p
1p
2z
2z
1Δy Δx
m, ρ, V
z
tm‘
p
t=0
∆z
F=ΔxΔy
• Die Erde lässt sich approximieren durch ein Rotationsellipsoid.
• Das Ellipsoid entsteht als Gleichgewichtsform zwischen Newtonscher Gravitation (gN, zum Massenzentrum gerichtet) und der
Zentrifugalbeschleunigung (gZ, von der
Rotationsache weg gerichtet) bei einem flüssigen Planeten.
• Im Gleichgewicht muss deren Summe g senkrecht zur Erdoberfläche stehen.
9
g! = !
gN + !
gZ mit
g!N Newtonsche Anziehung (Gravitation) g!Z Zentrifugalbeschleunigung
g! = g!
k senkrecht zur Erdoberfläche
g !
Ng !
zg !
Zur Variabilität der Schwerebeschleunigung g auf der Erde (1)
Schematische Abbildung mit stark überhöhter Elliptizität der Erde (Radius am Äquator 6.378,1, am Pol 6.356,7 km)
Zur Variabilität der Schwerebeschleunigung g auf der Erde (2)
• Die Newtonsche Graviationsbeschleunigung gN hängt vom Abstand vom Massenschwerpunkt der Erde ab, d.h. sie nimmt mit der Höhe ab – aber durch die Abplattung über den Abstand vom Erdmittelpunkt auch mit der Breite!
• Die Zentrifugalbeschleunigung gZ hängt vom Abstand von der
Rotationsachse der Erde ab; sie nimmt also mit zunehmender Breite ab (und mit der Höhe zu).
• Damit hängt auch g von der Breite und von der Höhe ab.
• Beobachtung von g auf der Erde bei NN (Normalnull, mittlere Höhe der Meeresoberfläche):
• Es gilt genähert:
2
2 -2
2
9,832 m/s an den Polen
9,806 m/s in 45 Breite auf NN , 0,0314 ms / 10 km 9,781 m/s am Äquator
g g
z
⎧ ⎫
⎪ ⎪⎪ ∂
= ⎨⎪ ° ⎬⎪ ∂ ≅ −
⎩ ⎪⎭
g(ϕ,z)≅ 9,80665 1
(
−0,0026373 cos 2( )
ϕ +0,0000059 cos2( )
2ϕ)
×
(
1−3,14⋅10−7z)
in m/s2 mit ϕ die geographische BreiteZur Variabilität der Schwerebeschleunigung g auf der Erde (3)
Die Schwerebeschleunigung ist proportional zum Abstand der Geopotentialflächen Φ (g=-d Φ/dz), auf denen Körper eine konstante potenzielle Energie (Lageenergie) haben.
Der mittlere Meeresspiegel (NN) bildet in eine Geopotenzialfläche.
Es folgt, dass der geometrische Abstand der
Geopotenzialflächen mit der Breite ab- und mit der Höhe zunimmt.
Φ = const
Die Elliptizität ist in der Abbildung stark überhöht!
Barometrische Höhenformel
= Integration der statischen Grundgleichung über die Höhe z
? )
(
) ) (
( = − ⇒ =
∂
∂ z g p z
z z
p ρ
Verschiedene Annahmen:
a) Homogene Atmosphäre (ρ(z)=const)
b) Isotherme Atmosphäre (T(z)=const)
c) Polytrope Atmosphäre (∂T/∂z=const)
13
Druckabnahme mit der Höhe in der homogenen Atmosphäre
ρ(z) = const, Dichte bleibt mit der Höhe konstant
z g
p = −ρ
∂
∂
gdz dp
dz g
dp = −ρ , = −ρ
) (
' )
( )
( )
'
(
(( )) 0 00
0
p z p z g z g z z
z
p
pp zz≡ − = − ρ
zz≡ − ρ −
) (
) (
)
( z p z
0g z z
0p = − ρ −
p z
z
0Es gilt die statische Grundgleichung:
Der Druck hänge nur von der Höhe ab. Dann
lassen sich die partiellen Änderungen (∂) in totale (d) umwandeln.
0 0 0
( )
( )
' ' '
p z z z
p z z z z
dp
ρ
gdzρ
g dz=
= − = −
∫ ∫ ∫
Nach Variablentrennung (p↔z)
integriert man beide Seiten vom Boden bis zur Höhe z (ρ=const, g≅const):
Man erhält:
Der Druck p nimmt linear mit
der Höhe z ab; und zwar mit
ρg ~ 1,2x9,81 = 0,12 hPa/m
Druckabnahme in der isothermen Atmosphäre (1)
T
(z)= const, Temperatur ist mit der Höhe konstant. Dies ist eine bessere Näherung als ρ(z)=const.
∂p
∂z = −ρg , dp
dz = −ρg , dp = −ρgdz
T dz R dp g
dz p T R dp pg
T pR
T R p
L L
L L
−
=
−
=
=
=
,1 ,ρ
ρ
z
z
0p
Wie vorher können wir schreiben:
Die Integration ist rechts nun nicht so einfach möglich, da die Dichte ρ nun noch von der
Höhe z abhängt:
' ( ' ) '
) (
) (
z d z g
dp
z
z z z
p
z z
p
∫ ∫
=
=
−
=
0 0
ρ
Die Gasgleichung gestattet die Dichte ρ in die Temperatur T umzurechnen, die wir kennen (T(z)=const). Dies ganz oben eingesetzt ergibt:
Während rechts einfach über z zu integrieren ist, müssen wir für die linke Seite noch die Stammfunktion von 1/p finden.
Die Stammfunktion von 1/p ist der natürliche Logarithmus ln p.
15
Druckabnahme in der isothermen Atmosphäre (2)
1
p'dp'
p(z=z0) p(z)
∫
= lnp'p(z=z0) p(z)
= lnp(z) −lnp(z0) = ln p(z) p(z0)
z
z
0p
Dann erhalten wir für die Integration der linken Seite:
…und damit
insgesamt:
' ( )
) (
)
ln (
00 0
z T z
R dz g
T R
g z
p z p
L z
L z
−
−
=
−
= ∫
Anwendung von exp(x) (=ex), der Umkehrfunktion des ln
(ln(exp(x)≡exp(ln(x))=x) ⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
−
−
= exp ( )
) (
) (
0 0
z T z
R g z
p z p
L
…ergibt schließlich die barometrische
Höhenformel für die
isotherme Atmosphäre:
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
−
−
= ( ) exp ( ) )
(
0z z
0T R z g
p z
p
L
Druckabnahme in der Atmosphäre - Abhängigkeit von der Temperatur -
0 km 20
10
500 1000 hPa warm
mittel kalt
isotherm homogen
Annahme po=const
• Bei gleicher bodennaher Temperatur ändert sich der Druck in isothermen Atmosphären in Bodennähe, wie bei homogenen Atmosphären der
gleichen Dichte am Boden (siehe
statische Grundgleichung, oder e-x=1-x für kleine x)
• Warme Atmosphären reichen höher, bzw. sie haben in gleichen Höhen
höhere Drücke als kalte Atmosphären.
⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
−
−
= ( )exp ( ) )
( 0 z z0
T R z g
p z
p
L
) (
) ( )
(z p z0 g z z0
p = −
ρ
−17
Druckabnahme in der polytropen Atmosphäre
Annahme: ∂T(z)/∂z = const
z
z
0p
) (
) ( )
( z T z
0z z
0T = − γ −
p(z) = p0 exp − g RL
1
T(z0) −γ (z − z0)dz
z0
∫
z⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = p0 exp − g
RL − 1 γ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(
ln(
T(z0)−γ (z− z0))
−ln(
T(z0)) )
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟ = p0 exp g
RLγ ln
T(z0)−γ (z − z0) T(z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⎛
⎝⎜ ⎞
⎠⎟
exp(alnb) = ba ⇒
p(z) = p
0T ( z
0) − γ ( z − z
0) T (z
0)
⎛
⎝ ⎜⎜ ⎞
⎠ ⎟⎟
g RLγ
ln p(z)
p(z0) = − g RL
1 T dz'
z0
∫
z = − Rg L1
T(z0) −γ (z'− z0) dz'
z0
∫
z exp()Die Höhe der Atmosphäre (1)
• Die Höhe der homogenen Atmosphäre ist durch p(z
top)=0 bestimmt:
• Für Atmosphären ohne Begrenzung nach oben (isotherme, polytrope und andere) wird oft die Halbwertshöhe der
Atmosphäre verwendet; das ist die Höhe bei halbem Bodendruck (~500 hPa). Sie liegt für die
Erdatmosphäre bei ca. 5,5 km.
p( z
top) = 0 = p( z
0) − ρ g ( z
top− z
0)
⇒ ( z
top− z
0) = Δ z
hom= p( z
0)
ρ g ≈ 8400m
19
Die Höhe der Atmosphäre (2)
• Üblicher für nach oben unbegrenzte Atmosphären ist die sogenannte Skalenhöhe einer Atmosphäre.
– Sie ist die Höhe, bei der der Druck auf 1/e des Bodendrucks (=
36,79 %) gefallen ist.
– Bei der isothermen Atmosphäre liegt die Skalenhöhe bei z-z0=RLT/g , denn es gilt
– Die Skalenhöhe der isothermen Atmosphäre ist also gleich der Höhe der homogenen Atmosphäre mit dem Bodendruck und bodennaher Dichte der isothermen Atmosphäre.
p(z)
p(z0) = exp − g
RLT (z − z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ≡ exp(−1) = e−1 = 1 e
→ g
RLT (z − z0) =1→ z − z0 = RLT
g =
gleichungGas-
! p(z0) ρ0g
Temperaturprofil in Troposphäre und
Stratosphäre (1)
21
Temperaturprofil in Troposphäre und Stratosphäre (2)
• Allgemeine Temperaturabnahme in der Troposphäre
– Solare Strahlung wird hauptsächlich am Erdboden absorbiert; dieser heizt die Atmosphäre von unten.
– Aufsteigende Luft kühlt sich bei Ausschluss von Vermischung und Energieaustausch um 1K/100 m ab (1. Hauptsatz der Wärmelehre).
– Im Mittel stellt sich (u.a.durch Wolkenprozesse) eine Abnahme von 0,65 K/100 m ein.
– Aktuelle Profile können davon stark abweichen.
• Allgemeine Temperaturzunahme in der Stratosphäre
– Die Temperaturverteilung ist durch Strahlungseffekte dominiert.
– Energetisch hohe Strahlung (0,13 - 0,17 µm) erzeugt Ozon (O3) durch Dissoziation von molekularem Sauerstoff (O2) und folgender Verbindung von O mit O2; dabei wird auch kinetische Energie erzeugt (=Wärme).
– Ozone zerfällt wieder durch Strahlung im UV (0,20 – 0,30 µm) – Bei diesen Prozessen wird viel Wärme frei, welche zur
Temperaturerhöhung im oberen Teil der Stratosphäre führt.
Zusammenfassung
g(ϕ,z)≅9,80665 1
(
−0,0026373 cos 2( )ϕ +0,0000059 cos2( )2ϕ) (
1−3,14⋅10−7z)
in m/s2 mit ϕ die geographische Breite und z die Höhe über NN in mdp
dz =−ρ(z)g → dp=−ρ(z)gdz=− p(z)g
RLT(z)dz → 1
p(z)dp=− g RLT(z)dz ρ(z)=const (homogen) T(z)=const (isotherm) dT
dz =−γ =const (polytrop) pz0
z =−ρgz
z
z lnp
z0
z =− g
RLT z
z z
ln p
z0
z =− g
RL
1
T(z0)−γ(z'−z0)dz'
z0
∫z
=− g RL −1
γ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(
ln(T(z0)−γ(z−z0)))
z z
p(z)− p(z0)=−ρg(z−z0) ln p(z)−ln p(z0)=− g
RLT(z−z0) lnp(z)−lnp(z0)=− g
RL −1 γ
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
(
ln(T(z0)−γ(z−z0))−ln(T(z0)))
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ln p(z)
p(z0) =− g
RLT (z−z0) ln p(z) p(z0) = g
RLγ ln
T(z0)−γ(z−z0) T(z0) p(z)
p(z0)=exp − g
RLT (z−z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ p(z)
p(z0)=exp g RLγ ln
T(z0)−γ(z−z0) T(z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
p(z)= p(z0)−ρg(z−z0) p(z)= p(z0)exp − g
RLT (z−z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ p(z)= p(z0) T(z0)−γ(z−z0) T(z0)
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
g RLγ
p(z ) ⎛ p(z )⎞ R T p(z )
23
Übungen zu IV.1.1
1. Welches Gewicht lastet durch die Luft auf einem m² am Erdboden?
2. Berechne die Temperaturänderung mit der Höhe in der homogenen Atmosphäre? Welche Temperatur herrscht dann an der
Atmosphärenobergrenze?
3. Berechne die Skalenhöhe der polytropen Atmosphäre für eine
Temperaturabnahme von 0,65K/100m und einer Bodentemperatur von 300 K.
Vergleiche diese mit der Skalenhöhe der isothermen Atmosphäre mit einer Temperatur von 300 K.
4. Plotte analog zu Seite 16 die Druckverteilung mit der Höhe für 3 isotherme Atmosphären mit Bodendruck 1013 hPa und den Temperaturen 300, 270 und 250K, sowie deren homogene Approximationen (d.h. verwende die obigen Temperaturen als bodennahe Temperaturen. Plotte in die gleiche Graphik auch eine Druckkurve für eine polytrope Atmosphäre mit bodennaher
Temperatur 300 K, einer Temperaturabnahme bis 10 km von 6,5°/km und darüber eine isotherme Atmosphäre mit der Temperatur der polytropen Atmosphäre bei 10 km.
Zusatzübungen (Tutorium) zu IV.1.1
1. Welchen Druck erfährt ein Pinguin im Vergleich zum Druck an der Meeresoberfläche (der sei 1000 hPa), wenn er 10 m tief in das Wasser taucht? Vernachlässigen Sie dabei die verschwindende
Änderung der Schwerebeschleunigung und der Dichte des Wassers mit der Tiefe.
2. Wie hoch wäre unsere Atmosphäre (Bodendruck 1013,25 hPa, Temperatur 15°C) unter Annahme einer mit der Höhe konstanten Dichte?
3. Wie groß ist die Gesamtmasse der Erdatmosphäre?
4. Leite im Detail die barometrische Höhenformel für die polytrope Atmosphäre ab.
5. Berechne mit der barometrischen Höhenformel für die polytrope Atmosphäre die Druckabnahme bei einer Temperaturabnahme, die der der homogenen Atmosphäre entspricht.
