Dynamik der Atmosphäre
Einige Phänomene
L
L = 1000 km U = 10 m/sec Extratropische Zyklone
L
L
L = 500 km U = 50 m/sec Tropische Zyklon, Hurrikan, Taifun
L = 10 - 50 km U = 10 - 20 m/sec L
Cumulonimbuswolke
Wasserhose - waterspout
L
L = 100 m U = 50 m/sec Cumuluswolke
L = 100 - 1000 m U = 10 m/sec L
Staubteufel – dust devil
L
L = 10 - 100 m U = 10 m/sec
Wellenwolken – wave clouds
L = 10 km U = 10 m/sec L
Wolkenstrassen – cloud streets
Blocking - Luftstau
Dynamik der Atmosphäre
¾ Die Atmosphäre besteht aus Gasen
¾ Für Luftströmungen gelten die Gesetze der Hydrodynamik F
¾ Bewegungsvorgänge in der Atmosphäre entstehen, wenn KräfteFauf die Luftteilchen wirken.
Die Gesetze der Hydrodynamik
¾ Das 2 Gesetz von Newton
Masse ×Beschleunigung = Kraft
¾ Anders als bei der Bewegung eines Festkörpers muß bei der Strömung eines Gases (oder einer Flüssigkeit) noch eine zusätzliche Bedingung erfüllt sein: =>
¾ DieKontinuitätsgleichungoder Massenerhaltungsgleichung
Kontinuitätsbedingung
V
Keine Masse wird im Rohr erzeugt A
VA = konstant
Die Erdrotation
Ω = ⋅ 2 ⋅ ≈ × − −
60 60 24sπ 7 3 10 5 1
( ) , s
¾ Diese Drehung erschwert die Aufstellung einer Bewegungs- gleichung für Luftströmungen in der Atmosphäre
¾ Wir brauchen ein rotierendes Koordinatensystem!
¾Die Erde dreht mit einer Winkelgeschwindigkeit
Newton’sche Gesetz in einem rotierenden Koordinatensystem
ρa=ρa'+ρa''=F oder ρa'= −F ρa''
¾ Ein Luftpaket mit Einheitsvolumen1 m3hat Beschleunigung
• ain einem Inertialsystem
• a´in einem Bezugssystem, das sich mit der Erde bewegt
¾ Sei a´´ = a - a´ Newton =>
Mathematische Formulierung der Bewegungsgleichung
p (z + dz)
(x,y,z)
p (z) z
y
x
x y
z
Δ Δ Δ
Kräfte F
¾ Es gibt drei verschiedene Arten von Kräfte:
– Körperkräfte – Druckkräfte – Reibungskräfte
Körperkräfte
¾ Körperkräfte oder Volumenkräfte sind Kräfte, die zur Masse proportional sind.
– Beispiele sind dieGravitationskraftund die Corioliskraft(im rotierenden Bezugssystem)
Druckgradientkraft
p (z + dz)
(x,y,z)
p (z) z
y
x
x y
z
Δ Δ Δ
Druckkräfte sind Kräfte, die senkrecht auf die Seitenflächen des Luftpakets wirken
Druckist einfach Kraft pro Einheitsfläche
Netto-Druckkraft in z-Richtung
p(x y z x y p(x y z z x y p
z x y z p
z
, , )Δ Δ , , Δ Δ Δ) Δ Δ Δ
− +
≈ −∂
∂
≈ −∂
∂ pro Einheitsvolumen
Hydrostatisches Gleichgewicht
− ∂∂p z
∂∂p = −
z ρg gρ Δ Δ Δx y z
¾ aus diesem Gleichgewicht erhält man die hydrostatische Gleichung
p x y z z
−∂∂ Δ Δ Δ
¾ die nach oben gerichtete Druckkraft:
steht im Gleichgewicht zur Gravitationskraft: gρΔxΔyΔz.
H
A B
Tief Hoch
Druckgradientkraft Strömung
Homogenes Medium
A B
Tief Hoch
Druckgradientkraft Strömung
warm kalt
Inhomogenes Medium
¾Die gesamte Druckgradientkraftauf das Luftpaket ist gleich dem Vektor −∇p pro Einheitsvolumen, oder
= −(1/ρ)∇ppro Einheitsmasse Horizontale Druckgradientkraft
Dies sind: in x-Richtung
in y-Richtung
−∂∂p
xΔ Δ Δx y z
−∂∂p
yΔ Δ Δx y z
¾ Ursache Wenn die Luft in Bewegung ist, sind die horizontalen Komponenten des Druckgradientenkraft von Bedeutung.
1 1
1
1 0
1 0 1 0
3 3
6
3 2
ρ∇ ≈p × = − −
k g m
P a
m m s
/
In einem Tag( = 105s), diese Beschleunigung wurde eine Geschwindigkeit von 10−3ms−2×105serzeugen.
dp = 10 mb
dx = 1000 km
Tatsächlich wird nur circa 10 m s−1beobachtet!
− ∇1 ρ p
Atmosphärisches Beispiel
¾ Ursache für diesen Unterschied ist der Einfluß der Erdrotation auf die großräumigen Luftströmungen
¾ Ein größer Teil der Durckgradientkraft steht im Gleichgewicht mit einer Trägheitskraft, die durch die Erdrotation entsteht
¾ Dieser Trägheitskraft ist im Term a´´auf der rechten Seite der Gleichung ρa′= F − ρa″ enthalten.
Erklärung der Corioliskraft
eine ruhende Linie im Inertialsystem eine Linie, die mit der
Drehscheibe rotiert
scheinbare Flugbahn des Balls im rotierenden
Koordinatssystem Die Corioliskraft
¾Wer hat recht?
¾ Der Mann außerhalb des Karussells sieht den Ball auf einer geraden Linie mit konstanter Geschwindigkeit rollen.
¾ Daraus schließt er noch dem Gesetz von Newton, daß keine Kraft auf den Ball wirkt.
¾ Vom rotierenden Karussell aus beobachtet man jedoch, wie der Ball nach rechts abgelenkt wird.
¾ Man folgert nach dem Gesetz von Newton, daß auf den Ball eine Kraft wirkt.
¾ Beobachtet man keine Beschleunigung, folgtF= 0.
¾ Im rotierenden Koordinatensystem gilt auchF = 0: es gibt aber noch eine Kraft a″(mit als Masse des Balls), die die Ablenkung des Balls verursacht.
¾ Diese Kraft ist nachρa′= F − ρa″gleich der Kraft-ρa″
(fürF = 0).
Natürlich beide haben recht!
¾ Im Inertialsystem außerhalb des Karussells ist das Newton’sche Gesetz in der Form ρa = Fgültig (vorausgesetzt die Erdrotation wird vernachlässigt).
Die Corioliskraft nimmt mit der Winkelgeschwindigkeit zu.
¾ Aber Vorsicht! Man darf nicht analog weiter folgen, daß die Corioliskraft abnimmt, wenn der Ball schneller rollt, denn in Wahrheit wird sie größer.Warum?
¾ Die Kraft, die auf der rechten Seite der Newton’schen Gleichung hinzugefügt werden muß, wenn die
Beschleunigung in einem rotierenden Bezugssystem gemessen wird, nennt manCorioliskraft
¾ Wenn sich das Karussell schneller dreht und die Geschwindigkeit des Balls gleichbleibt, erscheint die Bahn des Balls stärker gekrümmt.
Antwort
¾ Die Krümmung der Flugbahn ist in diesem Fall kein Maß für die Corioliskraft, weil bei größerer Rollgeschwindigkeit V, erreicht der Ball den Rand des Karussells schneller d.h.
die Zeit, in der die Corioliskraft wirken kann, nimmt ab.
¾ In der Tat, mit einer einfachen Rechnung beweist man, daß die Corioliskraft direkt proportionalzuωund Vist.
Ausschnitt der Drehscheibe
O V
s r
r
A
A’
Linie in Ruhe Linie rotiert
scheinbare Flugbahn des Balls
¾ Die Zeitt, die der Ball für die StreckeOA´braucht, ergibt sich ausr/V.
¾ Während dieser Zeit legtAam Rand der Drehscheibe dieEntfernung s = ωt ×r = ωVt2 zurück.
Aus dem Vergleich mit der bekannten Formels = at2/2würde der Beobachter im Mittelpunkt der Scheibe schließen, daß der Ball nachA´gelangt, weil er die Beschleunigung a = 2ωV erfährt, oder anders ausgedrückt, die Corioliskraftma
erfährt.
Ausschnitt der Drehscheibe
O V
s r
r
scheinbare Flugbahn des Balls A
A’
Masse des Balls klein
¾ Die Corioliskraft kann man nicht nur beobachten, wenn man im Zentrum der Drehscheibe steht, sondern von jedem beliebigen Standpunkt auf der Scheibe aus.
¾ Es ist gleichgültig, in welche Richtung man den Ball rollt:
der Ball wird immer nach rechts abgelenkt.
¾ Wenn das Karussell im Uhrzeigersinn rotiert, erscheint in allen Fällen die Flugbahn nach links gekrümmt.
¾ Es stellt sich heraus, daß für die meisten atmosphärischen Bewegungsgänge nur diehorizontale Komponenteder Corioliskraft von Bedeutung ist.
¾ Die horizontal Komponente der Corioliskraft pro Einheitmasse (oder Coriolisbeschleunigung) ergibt sich deshalb zu 2ωV = 2(Ωsinφ)V = fV wobei f = 2Ωsinφ⇒die Coriolisparameter.
¾ Am Äquator ist φ= 0und deshalb auchf = 0.
¾ Dort verschwindet die horizontale Komponente der Corioliskraft.
¾ Die Corioliskraft lenkt auch der Nordhalbkugel den Wind (oder einen Ball) nach rechts ab, denn vom Nordpol ausgesehen dreht sich die Erde gegen den Uhrzeigersinn.
