Einführung in die Meteorologie I

Clemens Simmer

Einführung

in die Meteorologie I

- Teil IV: Meteorologische

Zustandsvariable -

Gliederung der Vorlesung

0 Allgemeines I Einführung

II Zusammensetzung und Aufbau der Atmosphäre III Strahlung

IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen V Thermodynamik der Atmosphäre

--- VI Dynamik der Atmosphäre

VII Atmosphärische Grenzschicht

VIII Synoptische Meteorologie

IV Die atmosphärischen Zustandsvariablen

IV.1 Luftdruck

IV.2 Windgeschwindigkeit und turbulente Transporte IV.3 Temperatur

IV.4 Feuchte

IV.2 Windgeschwindigkeit

1. 

Allgemeines

2. 

TurbulenteTransporte, Reynolds-Mittelung und logarithmisches Windprofil

3. 

Windmessung

•  In der Atmosphäre finden durch die Luftbewegung ständig Transporte von Eigenschaften (z.B. Masse, Wasserdampf, Wärme) statt.

•  Diese Transporte finden i. a. auf allen Skalen statt.

–  Die Bewegung einzelner Moleküle transportieren,

–  so wie auch kleine Wirbel beginnend mit Millimeter großen Auslenkungen in einer Zigarettenrauchfahne

–  bis zu hundert Meter großen Wirbeln, die in Rauchfahnen von Schloten sichtbar werden,

–  ebenso wie ganze Kubikkilometer Luft, die durch großskalige Druckgradienten bewegt werden.

•  Legt man eine räumliche Skala fest, auf der man die Zustandsgrößen (als Mittel) betrachtet – wie z.B. in numerischen Modellen mit

Gitterweiten von Kilometern - so unterscheidet man:

–  skalige Transporte, wenn sie z.B. durch die mittleren Größen auf dieser Skala (Mittelung z.B. über 1 km³, über 10 Minuten, etc.) bestimmt werden, und

–  subskalige Transporte, die auf kleineren Skalen stattfinden. Diese subskaligen Transporte von Energie (Wärme, Wasserdampf, Masse, Impuls…) sind insbesondere an der Grenzfläche zwischen Untergrund (Erdboden, Wasserflächen) und der Atmosphäre bedeutend.

IV.2.2 Turbulente Transporte

Transportflussdichten

•  In der Atmosphäre beziehen wir Transporte gern auf Einheitsflächen oder –querschnitte; d.h. wir möchten wissen, wieviel von einer

beliebigen Eigenschaft (Masse, Energie, Impuls) pro Sekunde durch eine Einheitsfläche hindurch geht.

•  Dies kennen wir bereits von der Strahlung: Den Energiefluss durch Strahlung durch eine horizontale Einheitsfläche haben wir als

Strahlungsflussdichte F bezeichnet:

•  Analog gibt es eine Massenflussdichte F_M :

•  ...und eine Impulsflussdichte F_I (die wir schon als Druck kennen):

F = Strahlungsenergie

Quadratmeter×Sekunde mit "#F$%= W

m² = J m²s

F_M = Masse

Quadratmeter×Sekunde mit

[ ]

F_I = Masse×Geschwindigkeit

Quadratmeter×Sekunde mit

[ ]

m²s = kg

ms² = Pa

Flussdichten durch Massentransporte

•  Anders als beim Strahlungstransport sind die Transporte von Impuls,

Wärmeenergie (=kinetische Energie der Moleküle) oder Wasserdampf immer auch mit Massentransporten verbunden.

•  Die Einheitenanalyse zeigt, dass wir massengebundene Transporte durch das Produkt von Massenflussdichte ρv, [ρv]=(kg/m³)(m/s)=kg/(m²s) und die ent-

sprechenden massenspezifischen Größe χ (d.h. Größe pro kg) schreiben können:

Wasserdampf: ⎡⎣ ⎤⎦F_w = kg

m²s = kg kg

kg m³

m

s ⇒ F_W = ρ_Wv = ρ_W

ρ ρv = qρv , ⎡⎣ ⎤⎦q = ^kg_kg spezifische Feuchte

Impuls: [ ]F_I ^{= kg m s}_m²_s ^{= kg m s}_{kg m}^{kg3 m}_s ^{= m}_{s m}^{kg3 m}_s ^{⇒ FI =vρv ,} [ ]^{v kg m skg} mass. spez. Impuls Wärmeenergie: [ ]F_e ⁼ _m^J2_s ⁼ _kg^J _m^{kg3 m}_s ^{⇒ FQ =eρv mit} [ ]^{e = Jkg}massenspezif. Energie e =c_vT innere Energie mit

c_v spezifische Wärme bei konst.

Volumen ( = 717J / (KgK))

Allgemein: F_χ = χρv mit χ = e,v,q,... massenspezifische Größen

Transporte: skalig und subskalig

𝜒𝜌𝑣

Transporte/Flussdichten erfolgen skalig und/oder

subskalig (Turbulenz).

Annahme: Die Luft links sei wärmer als rechts. Dann

können Wirbel an der Grenz- fläche Wärme von links nach rechts transportieren, auch wenn die mittlere Wind-

geschwindigkeit Null ist.

Wie beschreiben wir die skaligen und subskaligen Flussdichteanteile?

→ Reynolds-Mittelung (Osborne Reynolds,

F_χ = χρ^v

Turbulenz und Reynolds Mittelung (1) ε ε

x t,

'

ε

Rechenregeln: ε +δ = ε +δ ^, εδ ^' = ε δ ^' = 0 , εδ = ?

Mittelungsintervall Δt, Δx

ε ≡ lim

N→∞

1

N ε_i

i=1

∑

Δ

∫

Δx ε^(x)dx

Δ

∫

ε =ε +ε!

mit ε!=ε^-ε → ε"= 1

Δt

(

)

Δt

∫

Δt

∫

=ε

! "# $#

− 1

Δt ε ^dt

Δt

∫

=ε

Δt dt=ε

Δ∫t

! "# $#

≡ 0 Betrachte eine beliebige

Eigenschaft ε als

Funktion der Zeit t oder des Ortes x und mittle diese über Intervalle in der Zeit Δt oder bezüglich des Ortes Δx.

Turbulenz und Reynolds Mittelung (2)

Fχ = ρ^vχ ≅ ρ^(v +v ')(χ + χ ^') = ρ

(

)

= ρ^(v χ +vχ ^'+v 'χ +v 'χ ^') = ρ^(v χ +v 'χ ^') = ρ^v χ

Transport durch ! + ρ^{v '}χ ^'

Transport durch !"#

•  Produkte von meteorologischen Größen treten vielfach auf, z.B. im Advektionsterm bei der Eulerzerlegung.

•  Für die Flussdichte einer Eigenschaft χ müssen wir ebenfalls über ein

Produkt - χρv - mitteln. Dazu schreiben wir alle drei Größen als Summe von Mittelwert und Abweichung, also , und damit

•  Wir berücksichtigen weiter, dass die Luftdichte ρ im Vergleich zu anderen Größen in der Atmosphäre lokal kaum variiert; diese Approximation heißt Boussinesq-Approximation (Joseph Boussinesq, 1842 – 1929):

. Sie trägt der Tatsache Rechnung, dass die Luft

wenig kompressibel ist (verhindert „störende“ Schallwell. bei num. Modellen).

ε = ε + ε ^'

ρ = ρ + ρ^' ≅ ρ

Fχ = ρ^vχ = (ρ + ρ^')(v +v ')(χ + χ ^')

11

Turbulenz und Reynolds Mittelung (3)

Gemittelte Flussdichte ρ^vχ ≅ ρ^vχ + ρ^v' χ ^'

Was bedeutet der letzte Term?

v!χ!= 1

Δt v!(t)χ!^(t)dt

Δt

∫

(

) (

)

Δt

∫

t v‘(t)χ‘(t)

v(t)

t

t χ(t)

< 0

′

′ χ v

Δt

v

χ '

v

negativer turbulenter χ-Transport χ ^'

In Bodennähe verschwindet die mittlere Vertikalgeschwindigkeit (Massenerhaltung). Vertikaltransporte können dann nur noch turbulent erfolgen:

Besonderheit:

vertikaler Transport in Bodennähe

' ' da 0

w w w

ρ χ ρ χ

Beispiele:

•  vertikaler turbulenter Horizontalimpulstransport τ (= Reibung)

•  vertikaler turbulenter Wasserdampftransport E (= Verdunstung)

•  vertikaler turbulenter Wärmetransport H

τ = ρ^wv ≅ ρ^{w'v' , E} ≡ ρ^wq ≅ ρ^{w'q' , H} = ρ^c_p^wT ≅ c_pρ^{w'T '}

mit v spezifischer Horizontalimpuls, q = ρ_w

ρ spezifische Feuchte und

' '

e Flussdicht

Gemittelte

ρ

χ

ρ

χ

ρ

χ

•  Nahe der Erdoberfläche (< 100m) nimmt der Horizontalwind von 0 am Boden stark mit der Höhe zu (bis zum geostrophischen Wind) und ist durch diese Windscherung oft turbulent (sog. Mischungsschicht oder Prandtl Schicht (Ludwig Prandtl, 1875-1953)).

•  In dieser Schicht wird der Impuls der Luft durch den Impulsfluss τ - verursacht durch den vertikalen Austausch von Luftpaketen - zum Boden transportiert.

•  Unter stationären Verhältnissen muss mit der Höhe konstant sein – denn Impulsflusszu- bzw. –abnahmen würden dort jeweils zu

Geschwindigkeitsab- bzw. –zunahmen führen; die Kovarianz von w’ und v’ ist also höhenkonstant.

•  Betrachten wir den vertikalen Austausch von Luftpaketen als Ursache des Impulsflusses, so muss –wenn der Wind zum Boden hin abnimmt - immer ein positives u’ mit einem negativen w’ zusammenhängen und umgekehrt, also τ < 0.

•  Wir führen eine Geschwindigkeit u* (Reibungsgeschwindigkeit) ein, welche die miteinander korrelierten (gleich- oder gegensinnig variierende) Geschwindig-

keitsabweichungen u’ und w’ quantifiziert (nach Messungen gilt etwa u*=1,25σ_v,w mit σ_v,w die Standardabweichung von v bzw. w), womit wir schreiben können:

Logarithmisches Windprofil (1)

τ = ρ ^{w ' v '} = − ρ ^u

= const

τ = ρ^w'v'

Logarithmisches Windprofil (2)

•  Das vertikale Windprofil in der Prandtl Schicht erschließen wir uns wiederum durch eine Dimensionsanalyse.

•  Die Änderung der Geschwindigkeit mit der Höhe ∂u/∂z sollte abhängen

–  der Stärke des Impulsflusses und damit von u_* –  und von der Höhe über Grund z .

•  Es gibt nur eine Möglichkeit, wie man nach Einheiten u_* und z mit ∂u/∂z in Verbindung bringen kann:

(Theodore von Karman, 1881-1963)

•  Integration liefert schließlich das logarithmische Windprofil:

∂u

∂z = u_*

κz mit κ eine dimensionslose Konstante, die experimentell zu ~0,4 bestimmt wurde. Dies ist die von- Karman Konstante.

∂u = du = u_* κ

dz

z = u_*

κ dln z , u(z) = u_*

κ

(

)

u(z) = u_*

ln z

mit z Rauhigkeitslänge

Logarithmisches Windprofil (3)

•  Das logarithmische Windprofil

gilt nur, wenn die Wärmeflüsse (Turbulenz durch Aufheizen oder Abkühlen des Bodens) klein sind – sog. neutrale Verhältnisse (Abb.).

•  u_* und z₀ lassen sich durch zwei Messungen des Horizontalwindes bestimmen.

•  z₀ hängt mit der Bodenrauhigkeit zusammen und beträgt zwischen wenigen Millimetern (Grass) bis zu Metern (Wald).

15

u(z) = u_*

κ ln z

z₀ mit u_* = τ

ρ Reibungsgeschwindigkeit und z₀ Rauhigkeitslänge

Messungen über Grass (aus Blackadar, 1996)

Struktur atmosphä- rische

Grenz-

schicht

Damit folgt insgesamt dχ

dt

individuelle Änderung von χ

! ≅ ∂χ

∂t +

mittlere lokale Änderung

!

v! ⋅ !

∇χ

"Advektion"

mit dem mittleren

Wind

! + !

∇⋅

( )

Divergenz der turbulenten Flussdichten

" #$ %$

Mittelung der prognostischen Grundgleichungen - Schließung

Die linken Seiten der prognostischen Grundgleichungen haben die Form:

dχ

dt = ∂χ

∂t + v⋅ 

(

)

Mitteln des "Advektionsterms" ergibt:

v!⋅ !

( )

( )

^{( )}

( )

^{( )}

^{( )}

bei Inkompressibilität=0 (Kontinuitätsgleichung

dρ

dt =-ρ∇⋅^! !v=0 )

" #$ %$

•  Die gemittelten (über Gitterelement, über Zeitintervall) prognostischen Grundgleichungen erhalten alle einen turbulenten Zusatzterm, die

Divergenz turbulenter Flüsse der die Anzahl der Unbekannten erhöht.

•  Das Finden der nun notwendigen zusätzlichen Bestimmungs-

gleichungen wird Schließung (des Gleichungssystems) genannt.

Zusammenfassung

F_χ = χρ^{v mit} χ =1,v,e,q,...

Gemittelte Flussdichte

Reynolds Mittelung + Boussinesc Approximation ρ^vχ ≅ ρ^vχ +ρ^v'χ^'

vertikale Flussdichten am Boden:

Horizontalimpuls τ = ρ^wv ≅ ρ^w'v' Wasserdampf E ≡ ρ^wq ≅ ρ^w'q'

fühlbare Wärme H = ρ^c_p^wT ≅ c_pρ^{w'T '}

In der unteren Grenzschicht:

τ = ρ^w'v'=−ρ^u_*² =const

mit u_* Reibungsgeschindigkeit

∂u

∂z = u_*

κ^z aus Dimensionsgründen mit κ ~0,4 von-Karman Konstante.

u(z) = u_* κ ^ln

z

z₀ mit z₀ Rauhigkeitslänge

dχ

dt = ∂χ

∂t + v!⋅ !

( )

⇒ dχ dt

individuelle Änderung von χ

! ≅ ∂χ

∂t +

mittlere lokale Änderung

!

v!⋅ !

∇χ

"Advektion"

mit dem mittleren

Wind

! + !

∇⋅

( )

Divergenz der turbulenten Flussdichten

" #$ %$

Übungen zu IV.2.2

Folgende vertikale Windgeschwindigkeiten w, Temperaturen T und spezifische Feuchten q seien an einer zeitlich hochauflösenden Messstation (in 2 m

Höhe) über ein Zeitintervall von 10 Sekunden gemessen worden.

a)  Berechne mittels R^© oder Python die vertikalen turbulenten Flüsse der

(fühlbaren) Wärme H, des Wasserdampfes E und des Horizontalimpulses M (der Druck sei 1000 hPa):

b)  Wie groß sind u_* und z₀?

c)  Wie hoch ist die Windgeschwindigkeit in 10 m Höhe?

H = ρc_pw'T ' , E = ρw'q' , τ = ρw'v'

Zeit (s) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

w (m/s) 0,5 0,4 0,1 -0,3 -0,6 -0,2 0,4 0,4 0,1 -0,3 v (m/s) 2,1 2,4 1,5 1,4 1,9 2,2 1,9 0,9 0,5 2,0 q (g/kg) 10,5 11,2 12,0 11,4 10,3 12,0 13,0 13,2 12,6 11,9

T (°C) 20,5 21,0 20,9 20,8 20,9 21,0 21,0 20,8 20,9 21,0