Aufgabe 9.2: Codierung (1 Punkt)

Universit¨at W¨urzburg Lehrstuhl f¨ur Informatik II

Prof. J. Wolff von Gudenberg Am Hubland, 97074 W¨urzburg

Prof. F. Puppe Dipl.-Inform. Gregor Fischer

Prof. D. Seipel fischer@informatik.uni-wuerzburg.de

Einf¨uhrung in die Informatik (HaF)

WS 2004/2005 9. ¨Ubungsblatt

(22.12.2004)

Abgabe bis Mittwoch, 12. Januar 2005, 13:30 Uhr am InfoHaF-Briefkasten im Untergeschoss des H¨orsaalgeb¨audes

Aufgabe 9.1: Zeichen und Worte (2 Punkte)

Gegeben seien die beiden folgenden Worte ¨uber dem Alphabet A={a, b, c, . . . , z}:

u = ”infohafuebungsblattaufgabensteller“

v = ”urlaub“

a) Stellen Sie das Wort v durch eine geeignete Konkatenation von Zeichen des Wortes u dar.

b) Bestimmen Sie:

• sstr(u, 3, 5)

• sstr(u, 5, 3)

• |sstr(u, 3, 5)|

• |sstr(u, 5, 3)|

• |conc(sstr(u, 19, 25),)| c) Ist v ein Infix von u?

d) Ist w = ”info“ein Infix von u?

e) Zeigen sie, dass folgende Aussage f¨ur beliebige Worte x und yfalschist:

x Pr¨afix, Infix und Suffix von y⇒x = y

Aufgabe 9.2: Codierung (1 Punkt)

a) Worin besteht der Zusammenhang zwischen Entropie und dem Erwartungswert der L¨ange einer Codierung? Welche mathematische Beziehung besteht zwischen den beiden Gr¨oßen?

b) Welche der beiden folgenden Abbildungenϕ : {a₀, ..., a₃} → {0,1} liefert eine Codierung?

Begr¨unden Sie Ihre Meinung und bestimmen Sie gegebenenfalls den Erwartungswert der Co- del¨ange!

• Zeichena_i a₀ a₁ a₂ a₃ Abbildungϕ(a_i) 1 11 111 1111

• Zeichena_i a₀ a₁ a₂ a₃

Abbildungϕ(a_i) 1000 0100 0010 0001

Aufgabe 9.3: Zahlendarstellung (3 Punkte)

a) Stellen Sie die Dezimalzahla = 99im Einerkomplement (b1,8), im Zweierkomplement (b2,8) und durch Betrag und Vorzeichen (bv₈) bei einer Wortbreite von 8 Bit dar.

b) Geben Sie f¨ur die negierte Zahl−adie drei Darstellungen aus Aufgabenteil a) an.

c) Zeigen sie f¨urx=x₀x₁· · ·x_n−1:

• −(bv_n(x₀, x₁, . . . , x_n−1)) =bv_n(nicht(x0), x₁, . . . , x_n−1)

• −(b_1,n(x₀, x₁, . . . , x_n−1)) =b_1,n(nicht(x0),nicht(x1), . . . ,nicht(xn−1))

• −(b_2,n(x₀, x₁, . . . , x_n−1)) =b_2,n(nicht(x₀),nicht(x₁), . . . ,nicht(x_n−1)) + 1 Hinweise:

nicht(0) = 1, nicht(1) = 0,2ⁿ⁻¹Pn−1

i=1 2⁻ⁱ = 2ⁿ⁻¹−1

Aufgabe 9.4: Codierungen (4 Punkte)

Im genetischen Code treten insgesamt 20 verschiedene Aminos¨auren auf, die durch Tripletts von Nukleotiden Uracil, Cytosin, Adeninund Guanin (U, C, A, G) codiert sind (Beispiel: UAC, GCG, AGU usw.). Es sei angenommen, die Aminos¨auren treten mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten auf:

Ala Arg Asn Asp Cys Gln Glu Gly His Ile

9% 3% 4% 3% 3% 5% 7% 3% 3% 4%

Leu Lys Met Phe Pro Ser Thr Trp Tyr Val

3% 5% 4% 3% 9% 9% 3% 7% 9% 4%

a) Wie groß ist der Erwartungswert E der codel¨ange beim Triplett-Code, wenn jeder der vier Nukleotiden bin¨ar codiert wird?

b) Wie groß ist die EntropieHder Codierung der Aminos¨auren?

c) Codieren Sie nun die Aminos¨auren nach dem Huffman-Verfahren. Wie groß ist hier der Erwar- tungswert der Codel¨ange?

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