Aufgabe 1 Seien e 1 , e 2 ∈ E {a,b} gegeben durch 1. e 1 = a ∗ | (ba) und

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey

Compilerbau I SS 2021

Ubungsblatt 2 ¨

Aufgabe 1 Seien e 1 , e 2 ∈ E _{a,b} gegeben durch 1. e ₁ = a ^∗ | (ba) und

2. e ₂ = b ^∗ (a | b) ^∗ .

Stellen Sie jeweils e ₁ und e ₂ als Syntaxbaum dar und nummerieren Sie die Bl¨ atter durch. Konstruieren Sie anschließend den ε-NFA.

L¨ osung:

F¨ ur ein Blatt mit Terminalsymbol a und Nummer i schreiben wir [i, a]. Wir fangen außerdem (traditionell) bei 1 an zu z¨ ahlen.

1. e ₁ als durchnummerierter Baum:

|

∗ [1, a]

◦ [2, b] [3, a]

Der ε-NFA dazu ist dann:

1

•([1, a] ^∗ | ([2, b][3, a]))

•[1, a] ^∗

[1, a] ^∗ •

•[1, a]

[1, a]•

•([2, b][3, a]) •[2, b]

[2, b]•

•[3, a]

[3, a]•

([2, b][3, a])•

([1, a] ^∗ | ([2, b][3, a]))•

ε

ε ε

a ε ε

ε

ε

ε

b

ε

a ε ε

2. e ₂ als durchnummerierter Baum:

◦

∗ [1, b]

∗

| [2, a] [3, b]

Der ε-NFA dazu ist dann:

2

•([1, b] ^∗ ([2, a] | [3, b]) ^∗ )

•[1, b] ^∗

[1, b] ^∗ •

•[1, b]

[1, b]•

•([2, a] | [3, b]) ^∗

([2, a] | [3, b]) ^∗ •

•([2, a] | [3, b])

•[2, a] •[3, b]

[2, a]• [3, b]•

([2, a] | [3, b])•

([1, b] ^∗ ([2, a] | [3, b]) ^∗ )•

ε

ε ε

ε b

ε ε

ε ε

ε ε

ε

ε ε

a b

ε

ε

3

Aufgabe 2 Sei Σ ein (endliches) Alphabet. In dieser Aufgabe soll das Durch- nummerieren der Terminalzeichen eines regul¨ aren Ausdrucks ¨ uber Σ formal definiert werden. Ein Computer w¨ urde genau mit solchen formalen Definitio- nen arbeiten.

(a) Definieren Sie die Funktion ` : E Σ → N , welche die Terminalzeichen eines regul¨ aren Ausdrucks z¨ ahlt.

L¨ osung:

Wir definieren ` wie folgt:

`(a) = 1 f¨ ur a ∈ Σ ∪ {ε},

`(e <sub>1</sub> | e <sub>2</sub> ) = `(e ₁ ) + `(e ₂ ),

`(e <sub>1</sub> e <sub>2</sub> ) = `(e ₁ ) + `(e ₂ ),

`(e <sup>∗</sup> ) = `(e).

(b) Mit Σ _n = N × Σ bezeichnen wir das (unendliche) Alphabet, das aus durchnummerierten Terminalzeichen besteht. Definieren Sie das Durch- nummerieren num : E _Σ → E _Σ

eines regul¨ aren Ausdrucks. Verwenden Sie hierzu eine Hilfsfunktion num ⁰ : N → (E _Σ → E _Σ

), welche die Start- nummerierung als Parameter erh¨ alt.

L¨ osung:

Wir definieren num ⁰ wie folgt:

num ⁰ (i)(a) = [i, a] f¨ ur a ∈ Σ ∪ {ε},

num ⁰ (i)(e ₁ | e ₂ ) = num ⁰ (i)(e ₁ ) | num ⁰ (i + `(e <sub>1</sub> ))(e <sub>2</sub> ), num <sup>0</sup> (i)(e <sub>1</sub> e <sub>2</sub> ) = num <sup>0</sup> (i)(e <sub>1</sub> ) num <sup>0</sup> (i + `(e ₁ ))(e ₂ ),

num ⁰ (i)(e ^∗ ) = num ⁰ (i)(e) ^∗ .

Wir definieren dann num = num ⁰ (1). Somit w¨ are zum Beispiel num(e) = num ⁰ (1)(e) f¨ ur einen beliebigen regul¨ aren Ausdruck e ∈ E _Σ .

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