1
Mikrozustande: f g =f
1
;
2
;
3
;:::;
N
g ;
i
=+1; 1.
Zustandssumme: E
="
1 +"
2
+:::+"
N
; "
= g
B
2 B,
Z =(Z
1 )
N
; Z
1
= X
=1 e
"
=2osh ( g
B
2kT B)
Magnetisierung:
M = N
X
i=1 hm
i i=h
N
X
i=1 m
i i=
1
Z Z
(B)
=
F
B
!
T;N
Freie Energie:
F = 1
ln(Z)= N
ln(Z
1
) ) M = N
1
Z
1 Z
1
B
) M(T;N;B)=N g
B
2
tanh(
g
B B
2kT )
Magnetisierung direkt:
M = N
X
i=1 g
B
2 h
i
i ; h
i i=
1
Z 0
Y
l 6=i X
l e
"
l 1
A X
i
i e
"
i
!
= 1
Z
1 X
e
"
=hi
) M =N
g
B
2
hi ; hi=tanh(
g
B B
2kT )
Suszeptibilitat:
= M
B
B=0
=N g
B
2
1
osh 2
( g
B B
2kT )
B=0 g
B
2kT
) (T;N)=N
g
B
2
2
1
kT
2 a)
Wurfel mit Kantenlange L:
Betrahte z.B. x-Rihtung: ebene Wellen: '
k
(x)/e ikx
.
Periodishe Randbedingungen:
e ik(x+L)
=e ikx
) kL=2n ; n=0;1;2;::: ) k = 2
L n
Dies furalle3 Raumrihtungen: k= 2
L (n
x
;n
y
;n
z )
Volumenelement imk-Raum:
Die kleinste Wurfeleinheit imWellenvektorraumist
3
k =(k
x )(k
y )(k
z )=
2
L 2
L 2
L
= (2)
3
V
Im thermodynamishen Limes V !1 geht dies in eininnitesimales Volumenelement uber,
3
k ! d 3
k = (2)
3
V
b)
Ideales Boltzmann-Gas, kanonish:
Z = X
e
E
; f g=fk
1
;k
2
;:::;k
N
g ; E
= N
X
i=1
"(k
i )
Zustandssumme: faktorisiert wie
ublih (inidealenSystemen),
Z =(Z
1 )
N
; Z
1
= X
k e
"(k)
= X
n
x X
n
y X
n
z e
h 2
(k ) 2
2m n
2
x
e
h 2
(k ) 2
2m n
2
y
e
h 2
(k ) 2
2m n
2
z
wobeidie 3Raumrihtungenauh nohfaktorisieren, also:
Z =(Z
0 )
3N
; Z
0
= 1
X
n= 1 e
h 2
(k ) 2
2m n
2
FurL!1 gehtk !0, und der Integrandvariiertbeliebigshwah mitn, also
Z
0
= Z
1
1 dne
h 2
(k ) 2
2m n
2
= L
T
mit
T :=
s
2h 2
mkT
; Z =
L
T
3N
Soweit steht'sauh inder Vorlesung ...
Wahrsheinlihkeit:
(p)d 3
p= 1
Z X
k
1 Æ
k;k
1 e
"(k
1 )
(Z
1 )
N 1
= 1
Z
1 e
"(k)
Mit p=hk und damit d 3
p=h 3
d 3
k =
2h
L
3
gibt das
(p)=
L
2hZ
3
e
"(k)
; (p)=( 1
2mkT )
3
2
exp ( p
2
2mkT )
3 a)
Es war 3
k = (2)
3
V
. Im LimesV !1 kann die X
k
ineinIntegral
uberfuhrtwerden:
X
k
= 1
3
k 0
X
k
x k
x 1
A 0
X
k
y k
y 1
A 0
X
k
z k
z 1
A
! 1
3
k Z
dk
x Z
dk
y Z
dk
z
=V Z
d 3
k
(2) 3
Fureinen d-dimensionalenWurfel gehtdas genauso:
1
V X
k
! Z
d d
k
(2) d
und damit N(")= Z
d d
k
(2) d
Æ(" "(k))
b)
Allgemein,furbeliebigeisotrope Dispersionund mit Kugelkoordinaten ind=1;2;3Dimen-
sionen:
"(k)=jkj
; =1;2 ; d d
k =S
d k
d 1
dk ; S
1
=2; S
2
=2; S
3
=4 ; k>0
Damit
N(")= S
d
(2) d
Z
1
0 k
d 1
dk
Æ(k k
0 )
j k 1
0 j
= S
d
(2) d
1
(k
0 )
d
; "=k
0
! k
0
=("=) 1=
) N(")= S
d
(2) d
1 "
! d
1
Elektronen: = h 2
2m
; =2 ; N(")= S
d
(2) d
m
h 2
2m"
h 2
d
2 1
d=3 d=2 d=1
1
4 2
2m
h 2
3=2
p
"
m
2h 2
p
2m
2h 1
p
"
N
3 (")/
p
" N
2
(")=onst: N
1 (")/
1
p
"
Photonen: =h ; =1 ; N(")= S
d
(2) d
1
h
"
h
d 1
d=3 d=2 d=1
1
2
"
2
3
1 "
2
1 1
4 a)
Mikrozustande: Besetzungszahldarstellung:
f g=fn
1
;n
2
;:::g=fn
k
1
;+1
;n
k
1
; 1
;n
k
2
;+1
;n
k
2
; 1
;:::g ; n
=0;1 ;
E
= X
"
n
= X
k X
"
(k)n
k
; N
= X
n
= X
k X
n
k
Die (k;)=(k
x
;k
y
;k
z
;) sind Quantenzahlen fur dieEnergie-Eigenzustande eines einzelnen
Teilhens,dievonden Fermionen entweder besetzt(n
=1)oderunbesetzt (n
=0)sein konnen.
Im allgemeinen gibt es1 viele solhe Eigenzustande.
Zustandssumme:
InderZustandssummewirdnun
uberalleBesetzungszahlen summiert;dadurhwerdenallemogli-
henMikrozustande desGases erreiht.Die TeilhenzahlN
kann dabeishwerkonstantgehalten
werden, daher wird grokanonishgerehnet:
Z = X
e
(E
N
)
= X
n
1
=0;1 X
n
2
=0;1 ::: e
P
("
)n
= Y
0
X
n=0;1 e
("
)n
1
A
also, mit = 1
ln(Z),
Z(T;V;)= Y
kx Y
ky Y
kz Y
=1 h
1+e ("
(k) )
i
(T;V;) = 1
X
k;
ln[1+e ("
(k) )
℄
Beahte: In wird niht
uber einzelne Teilhen summiert(wie in Aufg. 1 oder 2), sondern
uber
Zustande,die einzelne Teilhen besetzen konnen.
b)
Magnetisierung: M =
B ,
M = 1
X
k X
e
("
(k) )
1+e
("(k) ) (
B )=
X
B X
k f("
(k) )=
B X
k [hn
k;+1 i hn
k; 1 i℄
DurhEinfuhren einer Integration und einer Æ-Funktion kann man die X
k
formalloswerden:
M =
B V
X
Z
1
1
d"f("
B B)
1
V X
k
Æ(" "(k))
| {z }
=N(")
; "(k)= h 2
k 2
2m
) M(T;V;;B)=V
B Z
1
d"N(")[f("
B
B) f(" +
B B)℄
)
Zunahst einmal berehnen wir die grokanonishe Suszeptibilitat (weil wir nur die groka-
nonishe Zustandssumme kennen), und werfen spater =(T;N) raus (
Aquivalenz der Gesamt-
heiten).
(T;V;)= M
B
B=0
= 2(
B )
2
V Z
1
1
d"N(")
"
f(" )
| {z }
f 0
(" )
Sommerfeld: f 0
(" ) um " = stark gepeaked, also konnen wir fur kT ' "
F die
Zustandsdihte Taylor-entwikeln:
N(")=N()+N 0
()(" )+ 1
2 N
00
()(" ) 2
+:::
Dies einsetzen fuhrtauf dieIntegrale (nah einer Substitution"=(" ) und dann ""), siehe
Skript S.42,
1
Z
1 d"f
0
(")= 1 ; 1
Z
1 d"f
0
(")"=0 ; 1
Z
1 d"f
0
(")"
2
=
2
3 (kT)
2
;
Damit ergibt sihzunahst
(T;V;)=2V(
B )
2
"
N()+N 00
()
2
6 (kT)
2
#
+O(T 4
)
Um zu eliminieren mu man nun N =N(T;V;) bis zur Ordnung T 2
berehnen, N(T;V;) =
N =onst: setzen und nah =(T;V;N) auosen. Dies wurde inder Vorlesung gemaht, mit
dem Ergebnis (Skript S.42),
(T;V;N)="
F
2
6 N
0
("
F )
N("
F )
(kT) 2
+O(T 4
)
(Die AbhangigkeitvonN=V stekt in der Fermienergie "
F .)
Jetzt brauhen wir nohin (T;V;):
N()=N("
F )+N
0
("
F
)( "
F )+
1
2 N
00
("
F
)( "
F )
2
| {z }
=O(T 4
) +:::
Mit (T) eingesetzt gibt das
N()=N("
F )
2
6 N
0
("
F )
2
N("
F )
(kT) 2
+O(T 4
)
und damit shlielih
(T;V;N)=2V(
B )
2
N
F
"
1
2
6 (
( N
0
F
N
F )
2 N
00
F
N
F )
(kT) 2
#
; N
F
N("
F )
In d=3 istN(")=r p
",also
N 0
F
N
F
= 1
2"
F
; N
00
F
N
F
= 1
(2"
F )
2
und es folgt das Lehrbuh-Ergebnis
(T;V;N)=2V(
B )
2
N
F 2
4
1
2
12 kT
"
F
!
2 3
5
