1, so ist deg(f◦g

PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de

Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 9¨

Abgabe bis Fr, 17.6., 8:15 Uhr

Aufgabe 1. F¨ur jede stetige Abbildung f:S¹ → S¹ mitf(1) = 1 definieren wir den Abbildungsgrad degf als Windungszahl des Weges f◦w1. Zeigen Sie:

(a) degf =n⇔f ◦w1 ∼wn.

(b) Ist degf = 1, so istf homotop zur Identit¨at.

(c) Sindf, g:S¹→S¹ stetige Abbildungen mit f(1) =g(1) = 1, so ist deg(f◦g) = deg(f) deg(g).

Aufgabe 2. Wir betrachten den projektiven RaumRPⁿf¨urn >1 (vgl. Beispiel 16.2).

Sei e∈ Sⁿ beliebig. Wir setzen f¨ur (c) voraus (und beweisen sp¨ater), dass π1(Sⁿ, e) trivial ist, also nur aus der Klasse des konstanten Weges ι_e besteht. Zeigen Sie:

(a) Die Quotientenabbildung p:Sⁿ→RPⁿ ist eine ¨Uberlagerung und Ui:={p(x) :x∈Sⁿ, xi6= 0} ⊆RPⁿ

ist f¨ur jedesi= 1, . . . , n eine trivialisierende offene Menge.

(b) Es gibt einen Weg ˜w inSⁿvon −enach e.

(c) Istuein Weg inRPⁿ von p(e) nachp(e) und ˜ueine Hochhebung mit ˜u(0) =e, so ist entweder ˜u∼ι_e oder ˜u∗w˜∼ι_e.

(d) π₁(RPⁿ, p(e)) ist hom¨oomorph zur Gruppe{1,−1}(mit der Multiplikation).

Aufgabe 3. (a) Sind p₁: Y₁ → X₁ und p₂: Y₂ → X₂ Uberlagerungen, so ist auch¨ p1×p2:Y1×Y2→X1×X2 eine ¨Uberlagerung.

(b) Istp:Y →X eine ¨Uberlagerung undX Hausdorffsch, so ist auchY Hausdorffsch.

Aufgabe 4. Sei X = [0,1]² und p:Y → X eine ¨Uberlagerung sowie F := p⁻¹(0,0).

Zeigen Sie mit folgenden Schritten, dassX selbst eine trivialisierende Menge ist:

(a) F¨ur jedesy∈F gibt es genau eine stetige Abbildungq_y:X→Y mitq_y(0,0) =y und p◦q_y = id_X.

(b) Sindy, y⁰ ∈F verschieden, so sind q_y(X) undq_y⁰(X) disjunkt.

(c) F¨ur jedesy∈F ist qy(X)⊆Y offen.

(d) Y =S

y∈Fqy(X). (Hinweis: Isty⁰ ∈ Y, so hebe einen Weg von p(y⁰) nach (0,0) und benutze die Eindeutigkeit der Hochhebung.)

Zusatzaufgabe 5. Eine Abbildung f:Y → X heißt lokaler Hom¨oomorphismus, falls jeder Punkt in Y eine offene UmgebungV hat, f¨ur dief(V) offen und f|_V :V →f(V) ein Hom¨oomorphismus ist. Zeigen Sie:

(a) Jede ¨Uberlagerung ist ein lokaler Hom¨oomorphismus.

(b) Es gibt einen lokalen Hom¨oomorphismus f: Y → [0,1], der keine ¨Uberlagerung ist. (Hinweis: Man kann Y ⊆[0,1] w¨ahlen.)

(c) Ist f: Y → X ein lokaler Hom¨oomorphismus, X zusammenh¨angend und Haus- dorffsch und Y kompakt, so ist f eine ¨Uberlagerung. (Hinweis: Zeigen Sie erst, dass f surjektiv ist und dann, dassf⁻¹(x) endlich ist f¨ur jedes x∈X.)

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