f ( − 1) – nicht definiert, f −

H. Stichtenoth WS 2005/06 L¨ osungsvorschlag f¨ ur das 2. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 6:

a) D

_f

= R \ {− 1 } , da der Nenner ungleich Null sein muss.

f ( − 1) – nicht definiert, f −

¹2

=

₁¹

−

1 2

= 2, f (0) =

₁₊₀¹

= 1, f (2) =

₁₊₂¹

=

¹₃

; f

⁻¹

( {− 2 } ) =

x ∈ D

f

:

₁₊¹_x

= − 2 =

−

³2

, f

⁻¹

1

2

=

x ∈ D

_f

:

₁₊¹_x

=

¹₂

= { 1 } ;

b) D

_g

= [1, + ∞ ), da die Wurzelfunktion nur f¨ur nicht negative Zahlen definiert ist g ( − 1), g −

¹2

und g (0) sind nicht definiert, g(2) = √

2 − 1 = 1;

g

⁻¹

( {− 2 } ) =

x ∈ D

g

: √

x − 1 = − 2 = Ø, g

⁻¹

1

2

=

x ∈ D

_g

: √

x − 1 =

¹₂

=

5 4

;

c) D

_h

= R \ { 0 } , da der Nenner ungleich Null sein muss.

h (0) – nicht definiert, h( − 1) = min

− 1,

¹

−1

= − 1, h −

¹2

= min n

−

¹2

,

¹

−

1 2

o = − 2, h(2) = min

2,

¹₂

=

¹₂

; h

⁻¹

( {− 2 } ) =

x ∈ D

_h

: min

x,

_x¹

= − 2 =

− 2, −

¹2

, h

⁻¹

1

2

=

x ∈ D

h

: min

x,

_x¹

=

¹₂

=

1 2

, 2 . Aufgabe 7: f

_i

: N → N , i = 1, 2, 3, 4:

a) f

1

(n) :=

2, falls n = 1,

n, falls n > 1 ⇐⇒ 1 1

ց 2 −→ 2 3 −→ 3 ... ... ...

nicht injektiv, da f

⁻¹

( { 2 } ) = { 1 , 2 } , nicht surjektiv, da f

⁻¹

( { 1 } ) = Ø.

b) f

2

( n ) := n + 1 ⇐⇒ 1 1 2 ց 2 3 ց 3 ... ց 4 injektiv,

nicht surjektiv, da f

⁻¹

( { 1 } ) = Ø.

1

2

c) f

3

(n) :=

1, falls n = 1,

n − 1, falls n > 1 ⇐⇒ 1 −→ 1 2 ր 2 3 ր 3

ր 4 ...

nicht injektiv, da f

⁻¹

( { 1 } ) = { 1 , 2 } , surjektiv.

d) f

4

(n) :=







2, falls n = 1, 1 , falls n = 2 ,

n, falls n > 2 ⇐⇒ 1 1

ց 2 ր 2 3 −→ 3 4 −→ 4 ... ... ...

injektiv und surjektiv = ⇒ bijektiv.

Aufgabe 8: Z. B.:

a) h

1

(x) = 4 √

³

1 − x

⁷

= (g

1

◦ f

1

) (x) mit

f

1

(x) := 1 − x

⁷

und g

1

(x) := 4 √

³

x.

b) h

2

(x) = 5 (6x

³

− 8x

²

+ x − 4)

²⁰⁰⁴

= (g

2

◦ f

2

) (x) mit

f

2

(x) := 6x

³

− 8x

²

+ x − 4 und g

2

(x) := 5x

²⁰⁰⁴

. Aufgabe 9:

− 2 · v

2

= − 2 · 3

1

=

− 6

− 2

; 1

3 · v

3

= 6

− 3

= 2

− 1

; v

2

+ v

3

=

3 1

+

6

− 3

= 9

− 2

; 2 · v

1

+ v

2

= − 2 ·

− 2 3

+

3 1

= − 4

6

+ 3

1

= − 1

7

; v

3

− v

1

=

6

− 3

− − 2

3

= 8

− 6

.

3

1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

−2

−3

−4

−5

−6

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2

−3

−4

−5

−6

x

1

x

2

v

1

v

2

v

3

− 2 · v

2

1 3

· v

3

v

2

+ v

3

2 · v

1

+ v

2

v

3

− v

1

Aufgabe 10:

U

1

=

λ · v : v = (1 , 1 , 1)

^t

∧ λ ∈ R

a) Eine Gerade, zu der der Ursprung des Koordinatensystems geh¨ort und die durch den Vektor v = (1, 1, 1)

^t

bestimmt ist.

b) Seien u

1

= λ

1

· v ∈ U

1

und u

2

= λ

2

· v ∈ U

1

mit λ

1

, λ

2

∈ R , und sei λ ∈ R . Zu zeigen ist: u

1

+ u

2

∈ U

1

und λ · u

1

∈ U

1

.

u

1

+ u

2

= λ

1

· v + λ

2

· v = (λ

1

+ λ

2

) · v ∈ U

1

, λ

1

+ λ

2

∈ R ; λ · u

1

= λ · (λ

1

· v) = (λ · λ

1

) · v ∈ U

1

, λ · λ

1

∈ R .

Folglich U

1

ist ein Unterraum.

U

2

=

(x

1

, x

2

, 0)

^t

: x

1

, x

2

∈ R

a) Eine Ebene (genau: die (x

1

, x

2

)–Ebene des dreidimensionalen (x

1

, x

2

, x

3

)–Koordina- tensystems).

b) Seien u

1

= (x

1

, x

2

, 0)

^t

∈ U

2

und u

2

= (y

1

, y

2

, 0)

^t

∈ U

2

, und sei λ ∈ R .

4

Zu zeigen ist: u

1

+ u

2

∈ U

2

und λ · u

1

∈ U

2

: u

1

+ u

2

=



 x

1

x

2

0



 +



 y

1

y

2

0



 =





x

1

+ y

1

x

2

+ y

2

0 + 0



 =





x

1

+ y

1

x

2

+ y

2

0



 ∈ U

2

;

λ · u

1

= λ ·



 x

1

x

2

0



 =



 λ · x

1

λ · x

2

λ · 0



 =



 λ · x

1

λ · x

2

0



 ∈ U

2

. Folglich U

2

ist ein Unterraum.

U

3

=

( x

1

, x

2

, x

3

)

^t

: x

1

, x

2

, x

3

∈ R ∧ x

1

+ x

2

+ x

3

= 0 a) Eine Ebene, zu der der Ursprung des Koordinatensystems geh¨ort.

b) Seien u

1

= (x

1

, x

2

, x

3

)

^t

∈ U

3

und u

2

= (y

1

, y

2

, y

3

)

^t

∈ U

3

, d. h. x

1

+ x

2

+ x

3

= 0 und y

1

+ y

2

+ y

3

= 0, und sei λ ∈ R .

Zu zeigen ist: u

1

+ u

2

∈ U

2

und λ · u

1

∈ U

2

: u

1

+ u

2

=



 x

1

x

2

x

3



 +



 y

1

y

2

y

3



 =





x

1

+ y

1

x

2

+ y

2

x

3

+ y

3



 ∈ U

3

;

λ · u

1

= λ ·



 x

1

x

2

x

3



 =



 λ · x

1

λ · x

2

λ · x

3



 ∈ U

3

; da

(x

1

+ y

1

) + (x

2

+ y

2

) + (x

3

+ y

3

) = (x

1

+ x

2

+ x

3

) + (y

1

+ y

2

+ y

3

) = 0 + 0 = 0 und

λ · x

1

+ λ · x

2

+ λ · x

3

= λ · (x

1

+ x

2

+ x

3

) = λ · 0 = 0.

Folglich U

3

ist ein Unterraum.

U

4

=

(x

1

, x

2

, x

3

)

^t

: x

1

, x

2

, x

3

∈ R ∧ x

1

+ x

2

+ x

3

= 1 a) Eine Ebene, parallel zu U

3

.

b) Kein Unterraum, da z. B.:

u =



 1 0 0



 ∈ U

4

, aber 2 · u =



 2 0 0



 6∈ U

4

.