9. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Vorrehnen:Freitag,21.01.2005
Aufgabe 31 Ball ineinemquartishenPotential: (5Punkte)
EinBall rolltzwishen den beiden Maxima (bei x
1
)eines quartishen Po-
tentials,U(x)=bx 2
x 4
,mit b; >0.Wir wollen dieBewegungsgleihung
unterVerwendungdesEnergieerhaltungssatzesintegrieren.
a) Finden Sie zunahstallgemein das Integral der Bewegungsgleihung in
derForm t=:::, wiein derVorlesung behandelt(dasIntegralbrauht
nohnihtgelostzuwerden).(1Punkt)
b) Betrahten Sie nunden Spezialfall E = U(x
1
)(d.h. die Gesammtener-
gie entsprihtder Energieeinesam Maximumdes Potentialsruhenden
Teilhens).ZeigenSiedassdanndieLosungderBewegungsgleihungmit
Anfangsbedingungx(0)=x
0
(wobei x
1
<x
0
<0), wiefolgtlautet:
x(t)=x
1 tanh
h
x
1 p
2=mt+Artanh(x
0
=x
1 )
i
: (1)
(2Punkte)
) Bestimmenundskizzieren Siedie Zeitt
0
, die derBall brauht, umdas
Minimumzuerreihen(d.h.x(t
0
)=0),alsFunktion vonx
0
.(1 Punkt)
d) SkizzierenSiedieFunktionx(t)furdenFallx
0
! x
1
(aberx
0 6= x
1 ),
unterBeruksihtigungdesErgebnissesvon().(1Punkt)
Aufgabe 32 Zylinderkoordinaten: (3Punkte)
DieBeziehungzwishenCartesishenundZylinderkoordinatenistwiefolgtde-
niert:(x;y;z)=(os;sin;z). Diezylindrishen Einheitsvektorensind
folgendermaendeniert:
^ e
=^e
x
os+e^
y
sin; e^
= ^e
x
sin+^e
y
os; e^
z
=e^
z
: (2)
a) ZeihnenSiediezylindrishenEinheitsvektorene^
und ^e
inderx y-
Ebene.(1Punkt)
b) ZeigenSie,dasse^
^e
=^e
^e
=e^
z e^
z
=1,und^e
^e
=e^
e^
z
=e^
z
^e
=
0,wieessihfur orthonormaleEinheitsvektorengehort.(1Punkt)
) ZeigenSiedurhAbleitungvonGl.(2)nahderZeitt,dass
d
dt
^ e
= _
^ e
=^e
_
; d
dt
^ e
= _
^ e
= e^
_
: (3)
a) Ein Proton mit Energie E
1
stosst elastish auf ein zweites, ruhendes
Proton. Nah dem Sto iegt das erste Proton in einem Winkel von
1
=30 Æ
relativzuseinerursprunglihenBewegungsrihtungweiter.Was
istdie Rihtung
2
desanderenProtons? WassinddieEndenergien E 0
1
undE 0
2
derbeidenProtonen?(2Punkte)
b) EinProton und ein Neutron (gleiherMasse m) iegenmit Geshwin-
digkeiten von v
1
bzw. v
2
und einem relativen Winkel aufeinander zu.
DerStoist inelastish,die beidenTeilhen bleibenaneinanderhangen
undbildeneinsogenanntesDeuteron-Ion.FindenSiedieRihtung
1 des
Deuteron-Ionsnahdem Sto.(1Punkt)
Aufgabe 34 Wegintegrale: (4Punkte)
a) ShreibenSiedieKraft
~
F=~r~a(~aisteinkonstanterVektor)explizitin
CartesishenundZylinderkoordinaten.(Notation:~r=e^
x x+e^
y y+e^
z z=
^ e
+^e
z z ;
~a = ^e
x a
x +^e
y a
y +^e
z a
z
= e^
a
+^e
a
+^e
z a
z
, mit den KoeÆzienten
a
x
;a
y
;a
z
konstant.)(1 Punkt)
b) ZeigenSie,dassdasWegintegralI = R
d~r
~
F,fureinenkreisformigenWeg
mitRadiusinderx-yFlahe(d.h.beiz=0)dasErgebnisI = 2 2
a
z
liefert. Hinweis: Benutzen Sie Zylinderkoordinaten,da dann fur diesen
Wegd~r=^e
dgilt.(1Punkt)
) DasStokessheTheorembesagt,dassobigesWegintegralauhalsFlahen-
integraluber diedurhden Wegeingeshlossene FlaheA
0
ausgedrukt
werdenkann:
R
d~r
~
F = R
A0 dA^e
z (r
~
F). ReproduzierenSie(unter
BenutzungCartesisherKoordinaten)hiermitdasErgebnisvon(b).
(1Punkt)
~
