6. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Vorrehnen:Freitag,03.12.2004
Hinweis:DieersteKlausurzurVorlesungndetamFreitag,den17.12.2004ab15:00
Uhr imGerthsen-Horsaalstatt.
Aufgabe 22 (4Punkte)
Die-Funktion:
DieHeavisideshe-FunktionistdurhdieEigenshaft
(x a)= 8
<
:
0 fur x<a
1=2 fur x=a
1 fur x>a
(1)
deniert.SiezeihnetsihdurheinenEinheitssprungbeix=aaus.
a) StellenSiedieFunktion jxjmit Hilfeder-Funktiondar.(1Punkt)
b) Wirwollenzeigen,dassimDistributionssinnedieAbleitungder-Funktion
dieDirasheÆ-Funktionergibt, d.h.dass
d(x)
dx
=Æ(x): (2)
Zeigen Sie dazu,dass fur jede stetig dierenzierbare Funktion f(x) die
Beziehung
Z
x2
x
1 d(x)
dx
f(x)dx=f(0): (3)
furbeliebigex
1
<0<x
2
gilt(Hinweis:partielleIntegration).(1Punkt)
) FindenSieeineDarstellungder-FunktionalsGrenzwerteinerFunktio-
nenfolge, indem Sie die Lorentzfunktion-Darstellung der Deltafunktion
verwenden. (Hinweis: Benutzen Sie b) und integrierenSie die Lorentz-
funktion)(2Punkte)
Aufgabe 23 (9Punkte)
Fourier-ReihenundFourier-Integrale:
In Aufgabe 16 haben wir die Fourierreihenentwiklung einer periodishen
Funktionkennengelernt.EineandereMoglihkeiteinerFourierreihenentwik-
lungistdurhkomplexeDarstellung
f(t)= 1
X
n= 1
n e
i!nt
(4)
gegeben,wobei!= 2
T .
a) DrukenSie dieKoeÆzienten
n
durh die KoeÆzientena
n und b
n aus
Aufgabe16aus.(4Punkte)
b) ZeigenSie,dassdieinverseTransformationdurh
n
= 1
T Z
T=2
T=2 f(t)e
i!nt
dt (5)
DannliegendieWertefur=n!=2n=T dihtaufderZahlengeraden.
WirkonnendanndieSumme P
1
n= 1
ineinIntegral R
1
1 d
uberfuhren,
wobei = 2=T ! d im Limes T ! 1. Wir shreiben formal
()(2n=T)=
n
.ZeigenSie,dassdanndieFunktionf(t)durh
f(t)= Z
1
1 d
2
~
f()e it
(6)
ausgedruktwerdenkann.BestimmenSie
~
f()alsFunktionvon()und
T.BestimmenSieausGleihung(5)auhdieinverseTransformation,d.h.
bestimmen Sie
~
f().(3 Punkte)
Aufgabe 24 (7Punkte)
EinshwingvorgangbeigetriebenemharmonishenOszillator:
WirwollennoheinmaldenunterdampftenFalldesgetriebenenharmonishen
Oszillators
x (t)+2x(t)_ +! 2
0
x(t)=fos(!
t) (7)
imResonanzfall!
=!
0
betrahten.DieAnfangsbedingungenseienmit
x(t=0)=0 x(t_ =0)=0 (8)
gegeben.
a) GebenSiedie allgemeineLosungx(t) alsFunktion von,f und!
0 fur
dieangegebenenAnfangsbedingungenan.(2Punkte)
b) NehmenSienunan,dassf = p
2! 2
0 und!
0
= p
2.BerehnenSiedie
homogeneundpartikulareLosungfurdiesenFall.ZeihnenSiequalitativ
die Auslenkung x als Funktion von t fur t = 05 jeweils fur die
homogeneLosung,diepartikulareLosungunddieallgemeineLosung.
