1. Ubung zur Vorlesung Theoretishe Physik A
Universitat Karlsruhe WS 2004/05
Prof.Dr. Gerd Shon| Dr. MatthiasEshrig
www-tfp.physik.uni-karlsruhe.de/Lehre/
Vorrehnen:Freitag,29.10.2004
Aufgabe 1 (5Punkte)
Exponentialfunktion:
WirwollendieReihenentwiklungderExponentialfunktion f(x)=e x
herlei-
ten,wenndiesedurhdiefolgendenRelationendeniertwird:
f 0
(x)=f(x) f(0)=1; (1)
wobei f 0
(x) die Ableitung derFunktion f(x) bezeihnet. Die Funktion f(x)
seidurhfolgendeReihenentwiklungdargestellt:
f(x) = a
0 +a
1 x+a
2 x
2
+a
3 x
3
+ (2)
= 1
X
n=0 a
n x
n
(3)
SetzenSiedieseReihenentwiklungindieGleihungen(1)einundbestimmen
Sie die KoeÆzientena
n
. Sie erhalten zunahst eine Rekursionsrelation,wel-
he den KoeÆzienten a
n+1
mit dem KoeÆzientena
n
in Verbindungbringt.
BenutzenSie die Denition der \Fakultat" der naturlihen Zahln, deniert
durh
n! = 1234(n 1)n (4)
= n
Y
m=1
m (5)
umdieKoeÆzientena
n
allgemeinalsFunktionvonnzubestimmen.
Aufgabe 2 (5Punkte)
Logarithmusfunktion:
Leiten Sie analog zu Aufgabe 1 eine Reihenentwiklung fur die Funktion
g(x)=ln(1+x) her,wobeidieseFunktion dieRelation
g 0
(x)= 1
1+x
; g(0)=0 (6)
erfullt. BenutzenSie dabei, dass 1
1+x
als geometrishe Reihe darstellbarist,
undbestimmen SiedieReihenkoeÆzenten.
Aufgabe 3 (5Punkte)
AbleitungderUmkehrfunktion:
Essei '(y) die Umkehrfunktionzurursprunglihen Funktiony =f(x), d.h.
esgilt
'(f(x))=x: (7)
a) ZeigenSie,dassdurhDierenzierenbeiderSeitendieserGleihungunter
VerwendungderKettenregeldiefolgendeBeziehungfolgt:
d
f(x)= 1
0
: (8)
d
dx
ln(x)= 1
x
; und d
dx
artan(x)= 1
1+x 2
(9)
gelten(Hinweis:tan(x)= sin(x)
os(x) ,sin
2
(x)+os 2
(x)=1).
Aufgabe 4 (5Punkte)
Integration:
BerehnenSiediefolgendenIntegrale:
a) Z
dx 1
x 2
+px+q (p
2
>4q))
b) Z
dx ax+b
x+d
) Z
2
0 d
2 os
2
d) Z
x
0 dx
0 1 e
x 0
1+e x
0
e) Z
dx xlnx
Aufgabe 5 (10Punkte)
Hyperbelfunktionen:
DieHyperbelfunktionensindfolgendermaendeniert:
oshx= 1
2 e
x
+e x
; sinhx= 1
2 e
x
e x
; tanhx= sinhx
oshx :
a) AnalysierenSiedas Verhalten vonsinhx,oshx,tanhx fur x!0 und
x!1undskizzierenSieanhandderErgebnissedieFunktionen.Hin-
weis:fur kleinex gilte x
=1+x+ 1
2 x
2
+.
b) BerehnenSiemitHilfederDenitionen d
dx sinhx,
d
dx
oshxund d
dx tanhx.
) BeweisenSiemitHilfederDenitionendieBeziehungen
osh 2
x sinh 2
x = 1;
osh2x = osh 2
x+sinh 2
x
sinh2x = 2sinhxoshx;
tanh2x =
2tanhx
1+tanh 2
x :
Hinweis:DieShreibweiseosh 2
xfur(oshx) 2
usw.istgebrauhlih.
